选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列优秀第2课时学案及答案

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第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
学习目标　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
导语
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质．
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；
S奇＝a1＋qS偶．
例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
答案　2
解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝2.
(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________．
答案　300
解析　由＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练1　(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．
答案　2　9
解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.
答案　12×n－1，n∈N*
解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，
所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以a·q3＝64，
即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N*.
二、等比数列中的片段和问题
问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.
S2n－Sn＝－＝，
S3n－S2n＝－＝，
而(S2n－Sn)2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
知识梳理　
1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得

②÷①得1＋qn＝，
即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，
得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
跟踪训练2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
答案　C
解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为(　　)
A．96 B．126 C．192 D．252
答案　C
解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有
S6＝＝378，
解得a1＝192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
反思感悟　(1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
跟踪训练3　我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为________．
答案　3
解析　设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，解得a1＝3.

1．知识清单：
(1)奇数项和、偶数项和的性质．
(2)片段和性质．
(3)等比数列前n项和的实际应用．
2．方法归纳：公式法、分类讨论．
3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．

1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
答案　A
解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
2．在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(　　)
A．2n－1 B.
C. D.
答案　B
解析　由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
答案　C
解析　根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴≥200，
∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，
即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
答案　80
解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，
Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
课时对点练

1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为(　　 )
A．8 B．－2 C．4 D．2
答案　D
解析　由＝q，可知q＝2.
2．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
答案　B
解析　设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
答案　A
解析　易知q≠－1，
因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，
即S9－S6＝，
所以a7＋a8＋a9＝.
4．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　)
A．1.14a B．11×(1.15－1)a
C．1.15a D．10×(1.16－1)a
答案　B
解析　从今年起到第5年，这个厂的总产值为
a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1)．
5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，
所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝.
6．(多选)下列结论不正确的是(　　)
A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列
B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
答案　BC
解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；
对于B选项，对任意n∈N*，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
对于C选项，若等比数列{an}的公比q＝－1，且当n为正偶数时，则Sn＝＝0，
所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；
对于D选项，对任意的n∈N*，
Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确．
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
答案　6
解析　每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.
由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.
由于26＝64,27＝128，
则n＋1≥7，即n≥6.
8．设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________．
答案　3
解析　易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，
故q3＝27，则q＝3.
9．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
解　方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．
由已知a1＝1，q≠1，有

由②÷①，得q＝2，
∴＝85,4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)由题意知S6≠2S3，q≠1，
由等比数列的前n项和等距分段的性质知，
q3＝＝＝8，故q＝2，
∴S3＝＝7，代入q可得a1＝1，
∴an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝2n－1＋n－1，
∴Tn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)]
＝2n＋－1.

11．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
答案　B
解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
12．若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于(　　)
A．200 B．120 C．110 D．102
答案　D
解析　因为lg xn＋1＝1＋lg xn，
所以lg xn＋1－lg xn＝lg ＝1，所以＝10，
所以数列{xn}是等比数列，公比为10，
所以lg(x101＋x102＋…＋x200)
＝lg[(x1＋x2＋…＋x100)·10100]
＝lg(100×10100)＝102.
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　D
解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，＝q，
即2＋q＝，
所以q＝.
所以Tn＝a1·a2·…·an
＝aq1＋2＋…＋n－1＝，
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
14．如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_______ cm2.

答案　31
解析　记这些正方形的边长为an，则a1＝4，a2＝2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公比的等比数列，所以这5个正方形面积的和为S5＝＝32＝31.

15．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案　1－
解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，
又an＝f(n)，
∴＝＝f(1)＝a1＝，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝1－.
16．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二　根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．