高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第4章 章末复习课

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。章末复习课一、等差与等比数列的基本运算1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．2．通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．例1　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解　(1)设数列{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设数列{bn}的公差为d，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12，))所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n，n∈N*.反思感悟　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn.解　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以aeq \o\al(2,1)＝1×(a1＋2)，即aeq \o\al(2,1)－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为a1＞0，所以a1＝2，所以Sn＝2n＋eq \f(nn－1,2)＝eq \f(n2,2)＋eq \f(3n,2)，n∈N*.二、等差、等比数列的判定1．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列．2．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养．例2　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求数列{an}的通项公式．解　(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2n＋1,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，又a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.所以b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1，n∈N*.反思感悟　判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)))为与正整数n无关的常数．(2)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若aeq \o\al(2,n)＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列．跟踪训练2　已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,5)，且当n>1，n∈N*时，有eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an).(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列；(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．(1)证明　当n≥2时，由eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)，得an－1－an＝4an－1an，两边同除以an－1an，得eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4.所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项eq \f(1,a1)＝5，公差d＝4的等差数列．(2)解　由(1)得eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝4n＋1，所以an＝eq \f(1,4n＋1)，所以a1a2＝eq \f(1,5)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,45)，假设a1a2是数列{an}中的第t项，则at＝eq \f(1,4t＋1)＝eq \f(1,45)，解得t＝11∈N*，所以a1a2是数列{an}中的第11项．三、数列求和1．数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等．2．通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．例3　已知数列{an}是n次多项式f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数，且f(1)＝eq \f(nn＋1,2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，并说明f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))