高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.1.1 变化率问题

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。§5.1　导数的概念及其意义5．1.1　变化率问题学习目标　1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想．导语同学们，大家知道，在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这其实是在提醒司机安全驾驶，其实它测速的方式是在固定的路程上，看你用了多少时间，从而达到测速的目的；大家也经常能听到家长们讨论车辆油耗的问题，你的车几个油？这里所说的几个油实际上是汽车百公里的油耗，不过有些车上可以查看汽车的瞬时油耗，今天我们就来研究生活中的变化率问题．一、平均速度问题1　在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤eq \f(65,49)内的平均速度吗？提示　0≤t≤0.5时，eq \x\to(v)＝eq \f(h0.5－h0,0.5－0)＝4.05(m/s)；1≤t≤2时，eq \x\to(v)＝eq \f(h2－h1,2－1)＝－8.2(m/s)；0≤t≤eq \f(65,49)时，eq \x\to(v)＝eq \f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h0,\f(65,49)－0)＝0(m/s)；虽然运动员在0≤t≤eq \f(65,49)这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态．例1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)分别求s(t)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度；(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义．解　(1)物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的平均速度为eq \x\to(v)1＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))－s0,\f(π,4)－0)＝eq \f(\f(\r(2),2)－0,\f(π,4))＝eq \f(2\r(2),π).物体在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的平均速度为eq \x\to(v)2＝eq \f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(π,2)－\f(π,4))＝eq \f(1－\f(\r(2),2),\f(π,4))＝eq \f(4－2\r(2),π).(2)由(1)可知eq \x\to(v)1－eq \x\to(v)2＝eq \f(4\r(2)－4,π)>0，所以eq \x\to(v)2eq \x\to(v)2>eq \x\to(v)3 B.eq \x\to(v)3>eq \x\to(v)2>eq \x\to(v)1C.eq \x\to(v)2>eq \x\to(v)1>eq \x\to(v)3 D.eq \x\to(v)2>eq \x\to(v)3>eq \x\to(v)1答案　B解析　设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，则eq \x\to(v)1＝eq \f(st1－st0,t1－t0)＝kO′A，eq \x\to(v)2＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq \x\to(v)3＝eq \f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即eq \x\to(v)3>eq \x\to(v)2>eq \x\to(v)1.12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案　A解析　由题意可知k＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1.13．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　)A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大答案　B解析　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．14．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.答案　5解析　因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以eq \f(ft－f－2,t－－2)＝eq \f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq \f(28π,3)，则m的值为________．答案　2解析　体积的增加量ΔV＝eq \f(4π,3)m3－eq \f(4π,3)＝eq \f(4π,3)(m3－1)，所以eq \f(ΔV,ΔR)＝eq \f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq \f(28π,3)，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．16．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3t－32，0≤t