高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义

这是一份高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义，文件包含高中数学新教材选择性必修第二册第5章512第2课时导数的几何意义教师版docx、高中数学新教材选择性必修第二册第5章512第2课时导数的几何意义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。

高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。第2课时　导数的几何意义学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．导语同学们，经过前两节课的学习，我们经历了从物理中的瞬时变化，到几何中的切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，不禁会想，我们学习导数的意义何在，其实，之前所学只为今天，今天我们将揭开谜底，一探导数的几何意义．一、导数的几何意义问题1　导数f′(x0)的几何意义是什么？提示　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图．容易发现，平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，这就是导数的几何意义．知识梳理函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例1　已知曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3).(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解　(1)∵P(2,4)在曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)上，∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为k＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2Δx＋\f(1,3)Δx2))＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为k＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)x0＋Δx3－\f(1,3)x\o\al(3,0),Δx)＝xeq \o\al(2,0)，∴切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq \o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq \o\al(2,0)·x－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3).∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2xeq \o\al(2,0)－eq \f(2,3)xeq \o\al(3,0)＋eq \f(4,3)，即xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0.∴xeq \o\al(3,0)＋xeq \o\al(2,0)－4xeq \o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq \o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.反思感悟　求曲线过某点的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪训练1　求曲线y＝eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程．解　曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线的斜率为k＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(－1,22＋Δx)＝－eq \f(1,4)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.二、函数的单调性与导数的关系问题2　函数的单调性和导数有什么关系？提示　如图当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减．当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减．通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢．知识梳理若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．例2　已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．跟踪训练2　已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是(　　)A．f′(1)－1)的导函数．解　令f(x)＝eq \r(x＋1)，则f′(x)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq \f(1,2\r(x＋1)).反思感悟　不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－eq \f(1,2)x.求f′(x)．解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq \f(1,2)Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq \f(1,2).∴f′(x)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2x－eq \f(1,2).1．知识清单：(1)导数的几何意义．(2)函数的单调性与导数的关系．(3)导函数的概念．2．方法归纳：方程思想、数形结合．3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　)A．4 B．－4 C．－2 D．2答案　D解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.2．已知曲线f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)A．－2 B．－1 C．1 D．2答案　D解析　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq \f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq \f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq \f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq \f(Δy,Δx)＝x＋eq \f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.3．曲线f(x)＝eq \f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)A．45° B．60° C．135° D．120°答案　C解析　f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(1,x＋Δxx)＝－eq \f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．答案　(3,30)解析　令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2xeq \o\al(2,0)＋4x0)，则f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．课时对点练1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交答案　B解析　因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.2．若eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的导函数f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于(　　)A．2x B.eq \f(1,3)x3 C．x2 D．3x2答案　C解析　由导数的定义可知，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2.3．已知曲线y＝x2上一点A(2,4)，则在点A处的切线斜率为(　　)A．4 B．16 C．8 D．2答案　A解析　k＝y′|x＝2＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(2＋Δx2－22,Δx)＝4.4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0答案　A解析　设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.5．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　)答案　D解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．6．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为eq \f(π,4)的是(　　)A．(0,0) B．(1，－1)C．(－1,1) D．(1,1)答案　BC解析　设切点坐标为(x0，y0)，则＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx－x\o\al(3,0)－2x0,Δx)＝3xeq \o\al(2,0)－2＝tan eq \f(π,4)＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.7．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.答案　3解析　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．答案　2解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解　y′＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则＝2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝xeq \o\al(2,0)＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，则＝2x1＝－eq \f(1,4)，解得x1＝－eq \f(1,8)，所以y1＝xeq \o\al(2,1)＝eq \f(1,64)，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))，经检验，符合题意．故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．解　因为y′＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2,Δx)＝2x＋1，所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，设直线l2与曲线相切于点P(x0，xeq \o\al(2,0)＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(xeq \o\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－eq \f(1,3)，x0＝－eq \f(2,3)，所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.11．若曲线y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案　C解析　y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0))),Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x\o\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq \f(1,x\o\al(2,0))<1.即k<1.12．已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)A．f′(a)