高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.2.1 基本初等函数的导数

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。§5.2　导数的运算5．2.1　基本初等函数的导数学习目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．导语同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．一、基本初等函数的求导公式问题1　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？问题2　如何求常函数f(x)＝c的导数？知识梳理基本初等函数的导数公式注意点：对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.例1　求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lg x；(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq \f(x,2)－1.跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝2 021；(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.二、导数公式的应用例2　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)跟踪训练2　从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．三、利用导数研究曲线的切线方程例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．延伸探究　1．已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .2．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．跟踪训练3　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　)A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ．1．知识清单：(1)常用函数的导数．(2)基本初等函数的导数公式及应用．(3)利用导数研究曲线的切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法．3．常见误区：不化简成基本初等函数．1．(多选)下列选项正确的是(　　)A．y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)B．y＝eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq \f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2xln 2D．y＝log2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)2．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　)A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 13．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于(　　)A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－14．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是 ．课时对点练1．下列求导运算正确的是(　　)A．(cos x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln xC．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)2．下列各式中正确的个数是(　　)①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′＝；④(cos 2)′＝－sin 2.A．1 B．2 C．3 D．43．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　)A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 34．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　)A．4 B．－4 C．5 D．－55．若函数f(x)＝cos x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为(　　)A．0 B．－1 C．1 D．26．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．8．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为 ．9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于(　　)A．2 B．0 C．1 D．－112．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)A．－4 B．3 C．－2 D．113．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq \f(1,xln a)f(x)＝ln xf′(x)＝eq \f(1,x)