高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.2.3 简单复合函数的导数

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。5．2.3　简单复合函数的导数学习目标　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　)A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))答案　BCD解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数．反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数(　　)A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq \f(1,x)C．y＝2ln x D．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))答案　ACD二、求复合函数的导数问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？提示　y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.知识梳理复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．例2　求下列函数的导数：(1)y＝eq \f(1,1－3x4)；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解　(1)令u＝1－3x，则y＝eq \f(1,u4)＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，则y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2). (3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′uu′x＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,2x＋1ln 2).(4)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；(2)y＝5log2(1－x)；(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x，则y′x＝＝·(－2)＝.(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).(3)设y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，则y′x＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cos u·2＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).三、复合函数的导数的应用例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．解　设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)，所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq \f(π,4)cos eq \f(7π,3)＝eq \f(π,8)(m/h)．s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为eq \f(π,8) m/h.反思感悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．跟踪训练3　已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．答案　2解析　s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn答案　AD2．函数y＝(2 021－8x)3的导数y′等于(　　)A．3(2 021－8x)2 B．－24xC．－24(2 021－8x)2 D．24(2 021－8x)2答案　C解析　y′＝3(2 021－8x)2×(2 021－8x)′＝3(2 021－8x)2×(－8)＝－24(2 021－8x)2.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　)A．1 B.eq \f(3,2) C．－1 D．－2答案　B解析　f′(x)＝eq \f(3,3x＋2)－6x，故f′(0)＝eq \f(3,2)－0＝eq \f(3,2).4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案　2解析　易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，故a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2.课时对点练1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4答案　BCD解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，其中B由y＝cos u，u＝x＋eq \f(π,4)复合而成；C由y＝eq \f(1,u)，u＝ln x复合而成；D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)等于(　　)A．ln 3 B．－ln 3 C.eq \f(1,ln 3) D．－eq \f(1,ln 3)答案　C解析　f′(x)＝eq \f(1,x－1ln 3)，故f′(2)＝eq \f(1,ln 3).3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)答案　B解析　∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).4．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负舍)．5．曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于(　　)A．2e B．e C．6 D．2答案　C解析　∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C.6．(多选)下列结论中不正确的是(　　)A．若y＝cos eq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sin eq \f(1,x)B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5xD．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x答案　ACD解析　对于A，y＝cos eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sin eq \f(1,x)，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcos 2x，故错误．7．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s.答案　20解析　∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案　2解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝eq \f(1,x＋a)，∴＝eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.9．求下列函数的导数：(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos 4x.(4)y＝eq \f(1,\r(1－x2))；(5)y＝sin 2xcos 3x；(6)y＝x3ecos x.解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.(3)∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－eq \f(1,2)sin2 2x＝1－eq \f(1,4)(1－cos 4x)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cos 4x.∴y′＝－sin 4x.(4)设y＝，u＝1－x2，则y′x＝＝·(－2x)＝.(5)∵y＝sin 2xcos 3x，∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.(6)y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．解　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1)．由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. 11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3) D．1答案　A解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).12．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0答案　A解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).13．(多选)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)答案　CD解析　因为y＝eq \f(4,ex＋1)，所以y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).因为ex>0，所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).14．设函数f(x)＝cos(eq \r(3)x＋φ)(0