高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.3.2 第1课时 函数的极值

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。5．3.2　函数的极值与最大(小)值第1课时　函数的极值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．导语同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值．一、函数极值概念的理解问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝－eq \f(1,2)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))不是极大值，所以④错误；对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确．反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　A解析　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．跟踪训练2　求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝x2e－x.解　(1)函数f(x)的定义域为R.令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，解得x＝－eq \f(\r(3),3)或x＝eq \f(\r(3),3).当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：f(x)在x＝－eq \f(\r(3),3)处取得极大值eq \f(2\r(3),9)，在x＝eq \f(\r(3),3)处取得极小值－eq \f(2\r(3),9).(2)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)＝4e－2＝eq \f(4,e2).三、由极值求参数的值或范围例3　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.答案　4　－11解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝10，,f′1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋a＋b＝9，,2a＋b＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))不符合题意，应舍去．而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.(2)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝m＋32－4m＋6>0，,f′1＝1－m＋3＋m＋6>0，,\f(m＋3,2)>1，))解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟　已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练3　若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(28,3)))解析　∵f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝eq \f(28,3)；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－eq \f(4,3).且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－eq \f(4,3)0；在区间(0，＋∞)上，y′