高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 习题课 与ex、ln x有关的常用不等式

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。习题课　与ex、ln x有关的常用不等式学习目标　1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见的几种变形形式.2.掌握一般的证明不等式的方法．一、经典不等式ex≥x＋1例1　证明不等式ex≥x＋1.证明　设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0，所以当x0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1.反思感悟　与ex有关的常用不等式(1)ex≥1＋x(x∈R)．(2)ex≥ex(x∈R)．跟踪训练1　求证：ex－1≥x.证明　方法一　令H(x)＝ex－1－x，则H′(x)＝ex－1－1.若x0，H(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴H(x)min＝H(1)＝0，∴H(x)≥0，∴ex－1≥x.方法二　令t＝x－1，则x＝t＋1.由et≥t＋1，得ex－1≥x.二、经典不等式ln x≤x－1例2　证明不等式ln x≤x－1.证明　由题意知x>0，令f(x)＝x－1－ln x，所以f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，所以当f′(x)>0时，x>1；当f′(x)0时，函数g(x)单调递增．即g(x)>g(0)＝0.故g(x)＝ln(1＋x)－eq \f(x,1＋x)>0，即eq \f(x,1＋x)eq \f(a,2)，由f′(x)0时，ex>x＋1，令g(x)＝ex－x－1(x>0)，则g′(x)＝ex－1，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴当x>0时，g(x)>g(0)＝0即ex>x＋1，∴ex－ln x－2>x＋1－ln x－2＝x－ln x－1.∴只要证明x－ln x－1≥0(x>0)，令h(x)＝x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)(x>0)，易知h(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝0即x－ln x－1≥0成立，∴f(x)＋ex>x2＋x＋2成立．1．知识清单：(1)常见的几种经典不等式．(2)一般不等式的证明方法．2．方法归纳：构造法、转化法、分类讨论．3．常见误区：在证明不等式的转化过程中是否做到了等价转化．1．若a＝eq \f(ln 2,2)，b＝eq \f(ln 3,3)，c＝eq \f(ln 6,6)，则(　　)A．a0等价为f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得xf(x)，综上所述，h(x)>t(x)>f(x)．11．已知函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x2)ex，若f(x1)＝f(x2)，且x1f(－x2)；②f(x2)>f(－x1)；③f(x1)>f(－x1)；④f(x2)>f(－x2).正确的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　B解析　f′(x)＝eq \f(－xx2－2x＋3ex,1＋x22)，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又f(0)＝1，f(1)＝0，当x0，所以x10在函数定义域内恒成立，即k>eq \f(ln x,x2)在函数定义域内恒成立，设g(x)＝eq \f(ln x,x2)，则g′(x)＝eq \f(x－2xln x,x4)＝eq \f(x1－2ln x,x4)，当x∈(0，eq \r(e))时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(eq \r(e)，＋∞)时，g′(x)