人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品ppt课件

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数.
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
问题1　观察以下几列数：①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；
③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023；④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.
1.一般地，我们把按照　　　　　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第　项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第　项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　表示.其中第1项也叫做　　.2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为　　.
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项.
例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列.
反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列.
问题2　我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}；
对于③，an＝2 023，n∈{x|x是本班学生的学号}；
如果数列{an}的第n项an与它的　　　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　　　　.注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一.
例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解　这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
解　数列中的项，有的是分数，有的是整数，
解　这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(3)0,1,0,1；
解　各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
(4)9,99,999,9 999.
解　由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，
1.试写出前4项为1,11,111,1111，…的一个通项公式.
解　由上式中的每一项乘7即可，
2.试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式.
反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：(1)1,3,7,15,31，…；
解　由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…可得an＝2n－1.
解　由2×3＝(1＋1)×(1＋2)，3×4＝(2＋1)×(2＋2)，4×5＝(3＋1)×(3＋2)，5×6＝(4＋1)×(4＋2)，…可得an＝(n＋1)(n＋2).
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，….
问题3　在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示.
例3　已知数列{an}的通项公式是an＝　　　　 ，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，
解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，
反思感悟　求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组 (n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
跟踪训练3　已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是A.3 B.4 C.5 D.6
解析　因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4，所以当n＝3时，an取得最小值.
1.知识清单：(1)数列的概念与分类.(2)数列的通项公式.(3)数列与函数的关系.2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
1.下列说法正确的是A.数列中不能重复出现同一个数B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列C.1,1,1,1不是数列D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
解析　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确.
3.在数列{an}中，an＝ ，则{an}A.是常数列 B.不是单调数列C.是递增数列 D.是递减数列
由反比例函数的性质得{an}是递减数列.
4.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________.
an＝2n＋1，n∈N*
1.(多选)下列说法正确的是A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示
解析　数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
2.已知数列an＝ ，则数列是A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列
3.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
5.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为
6.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
解析　选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为_____.
又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为673.
8.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项的值是_____.
因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，则数列中的最小项的值是38.
9.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；
解　各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
解　每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，
解　通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设an＝kn＋b(k≠0)，
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)求a2 021.
解　a2 021＝4×2 021－2＝8 082.
解析　结合函数的单调性，要使数列{an}递增，
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
解析　f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
16.在数列{an}中，an＝ .(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以0

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