数学选择性必修 第二册4.3 等比数列精品ppt课件

这是一份数学选择性必修 第二册4.3 等比数列精品ppt课件，文件包含高中数学新教材选择性必修第二册第4章431第3课时等比数列的性质pptx、高中数学新教材选择性必修第二册第4章431第3课时等比数列的性质教师版docx、高中数学新教材选择性必修第二册第4章431第3课时等比数列的性质学生版docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性 质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.
一、由等比数列构造新等比数列
二、等比数列中任意两项之间的关系
三、等比数列中多项之间的关系
问题1　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列.
例1　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是A. B.C.{an·an＋1} D.{an＋an＋1}
解析　取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.
反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况.
跟踪训练1　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为A.{an}是等比数列B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公　比相同
解析　因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，
问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
等比数列通项公式的推广和变形an＝　　　　.
例2　在等比数列{an}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求n；
解　设等比数列{an}的公比为q.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
所以n－8＝1，所以n＝9.
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
反思感悟　等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，
解析　等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，
问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？
提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，
因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.
设数列{an}为等比数列，则：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列.注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
ak·al＝am·an
例3　已知{an}为等比数列.
解　在等比数列{an}中，
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
解　由等比中项，化简条件得
即(a6＋a8)2＝49，∵an>0，∴a6＋a8＝7.
(3)若an>0，a5a6＝9，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值.
解　由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a2·…·a10)＝lg3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝lg395＝10.
反思感悟　利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
跟踪训练3　 (1)公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则lg2a16等于A.4 B.5 C.6 D.7
解析　因为a3a11＝16，所以 ＝16.又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即lg2a16＝5.
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝_____.
解析　方法一　因为{an}是等比数列，
＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.因为an>0，
所以a8＝ .
1.知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列.(2)等比数列中任意两项之间的关系.(3)等比数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、类比思想.3.常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项.
1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为
2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.
3.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是
解析　奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，
4.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当 取最小值时，数列{an}的公比是____.
解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4，
所以数列{an}的公比是2.
2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于A.6 B.2 C.2或6 D.－2
解析　由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，
3.在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于
解析　因为a4＝a2·q2，
又因为a1<0，a2>0，所以q<0.
4.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则 的值为A.4 B.2 C.－2 D.－4
5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为A.2 B. C.3 D.
解析　方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，
方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，
解析　设正项等比数列{an}的公比q＞0，
∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
8.已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝____.
解析　因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)
＝(a3＋a5)2＝π2.
9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
解　∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
10.已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
解　∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解　设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.
若G是a5，a7的等比中项，
∴a5，a7的等比中项为±3.
11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则lg3(a1a2·…·a9)等于A.38 B.39 C.9 D.7
解析　因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，
解析　方法一　∵a3，a5的等比中项为±a4，
方法二　∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
13.等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于A.±2 B.±4 C.2 D.4
解析　∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.
14.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于______.
解析　由于{an}是等比数列，
而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
解析　∵{an}是等比数列，∴a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，
16.已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
解　设{an}的公差为d，
所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*).设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列.c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，
则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*).故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*).
(2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.
解　由题意得，bk应为数列{bn}的最大项.由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*).当n<3时，bn＋1－bn>0，bn3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…，所以k＝3或k＝4.