高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用优秀教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用优秀教学设计，共14页。

课题
6.4平面向量的应用
单元
第六单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是平面向量的应用，是在学习了平面向量概念及其运算的基础上展开的,将平面向量与解析几何有效结合，有助于解决很多实际问题。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用平面向量解决实际问题；
2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：掌握平面向量的应用；
4.直观想象：利用平面向量解决一系列实际问题；
5.数学运算:能够正确运用平面向量解决实际问题；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
平面向量的应用
难点
平面向量的应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
旧知导入：
思考：你还记得平面向量学习了哪些知识吗？
平面向量的定义； 2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算；3、平面向量的数量积运算；4、平面向量基本定理；5、平面向量的坐标表示及坐标运算；
平面向量在解决数学和实际问题中有举足轻重的作用，那么，接下来我们将借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：平面几何中的向量方法
有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标。
你能体会到这句话的含义吗？我们一起用两个具体实例来说明向量方法在平面几何中的应用。

方法总结
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。


小试牛刀
1、已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F，连接DP，EF。求证DP垂直EF。

2、如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解 设eq \(AD,\s\up16(→))＝a，eq \(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \(BD,\s\up16(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up16(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2).
又|eq \(AC,\s\up16(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
方法总结：向量在平面几何中常见的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理
a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(3)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|=eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2) (a＝(x，y))或AB＝|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22) (A(x1，y1)，B(x2，y2))
知识探究（二）：向量在物理中的应用举例
下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。


思考：
小试牛刀
1、如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_____N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_____.

2、一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解：如图建立坐标系，则F1＝(1，eq \r(3))，F2＝(2eq \r(3)，2)，F3＝(－3，3eq \r(3))，则F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2，2＋4eq \r(3))．又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，故合力F所做的功为W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝4eq \r(2)×6eq \r(3)＝24eq \r(6)(J)，所以合力F所做的功为24eq \r(6) J.
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|csθ(θ为F和s的夹角)．
3、在风速为75(eq \r(6)－eq \r(2)) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解：设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－w.如右图所示．
∴vb，va，w构成三角形．
设|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|va|，|eq \(CB,\s\up16(→))|＝|w|，|eq \(AC,\s\up16(→))|＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
设|eq \(AB,\s\up16(→))|＝150，则|eq \(CB,\s\up16(→))|＝75(eq \r(6)－eq \r(2))．
∴|eq \(CD,\s\up16(→))|＝|eq \(BE,\s\up16(→))|＝|eq \(EA,\s\up16(→))|＝75eq \r(2)，|eq \(DA,\s\up16(→))|＝75eq \r(6).
从而|eq \(AC,\s\up16(→))|＝150eq \r(2)，∠CAD＝30°.
∴|vb|＝150eq \r(2) km/h，方向为北偏西60°.
方法总结：向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提．
知识探究（三）：余弦定理
思考1：我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？

余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即

利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。
思考3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
由余弦定理可得如下推论：

利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
思考4：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？

小试牛刀
1、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( × )
(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( √ )
(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( √ )
例7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
解：已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.
方法总结：
(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用
(2)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．
(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．
例8、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2csAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．
解：由2csAsinB＝sinC，得
2csAsinB＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，
∴A＝B．
由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴由余弦定理，得csC＝eq \f(1,2)，C＝60°，∴△ABC为等边三角形
方法总结：
利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
知识探究（四）：正弦定理
思考1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
初中我们学过：
1、等边对等角；2、大边对大角，小边对小角。
我们可以作如下转化：


利用正弦定理，既可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？

方法总结：
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路
(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．
(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
思考3：例10中的C为什么有两种情况？
方法总结：
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．
(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．

知识探究（五）：余弦定理、正弦定理应用举例
例11 在△ABC中，若sinA＝2sinBcsC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状
解：由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.
∴A＝eq \f(π,2)，B＋C＝eq \f(π,2).
∵sinA＝2sinBcsC，即sinA＝2sinBcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，
∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝eq \f(π,4)，∴△ABC为等腰直角三角形．
方法总结：
判断三角形形状的方法
判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断。

方法总结：
解三角形在实际测量中的常见问题
(1)距离问题
解决问题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
(2)高度问题
解决问题策略
测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面．将空间问题转化为平面问题，利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思想．
(3)角度问题
测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．
解决问题策略
测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求量．
正、余弦定理的综合运用
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC(acsB＋bcsA)＝c.
(1)求C；(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
解：(1)2csC(acsB＋bcsA)＝c，
由正弦定理，得2csC(sinAcsB＋sinBcsA)＝sinC，2csCsin(A＋B)＝sinC．
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2csC＝1，csC＝eq \f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcsC,7＝a2＋b2－2ab·eq \f(1,2)，即(a＋b)2－3ab＝7，
S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(\r(3),4)ab＝eq \f(3\r(3),2)，
所以ab＝6，所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7).
2、如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
解、在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，
由正弦定理eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，即eq \f(30,sin15°)＝eq \f(AC,sin30°)，
AC＝eq \f(15,sin15°)＝eq \f(15,sin45°－30°)＝eq \f(15,sin45°cs30°－cs45°sin30°)
＝eq \f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq \r(6)＋eq \r(2))(海里)，
∴A到直线BC的距离为d＝ACsin45°＝15(eq \r(3)＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险.
学生探究平面向量在几何中的应用。
学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量在向量及解三角形中的应用。
学生通过练习题，巩固平面向量的应用，并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成提升训练。
探究得出平面向量在几何中的应用,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
利用练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过提升训练，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书

教学反思