高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优质学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优质学案设计，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
【学习目标】
课程标准
素养要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.能用计数原理证明二项式定理.(数学抽象)
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学运算)
3.能解决与二项式定理有关的简单问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主学习】
一．二项式定理
1.(a＋b)n＝ (n∈N*)，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数 (k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．
2.二项展开式的特点：
(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；
(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
二．二项展开式的通项
1.二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第 项：Tk＋1＝Can－kbk.
2.在应用通项Tk＋1＝Can－kbk时，要注意：
(1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项．
(2)二项展开式的第k＋1项的二项式系数是C，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．
如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C·24.
当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．
(3)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Can－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为Cbn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的．





【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　　)
2.展开式中的常数项为________．

【经典例题】
题型一 　二项式定理的正用、逆用
点拨：运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
例1　(1)写出展开式：；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).





【跟踪训练】1
（1）若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a0=(　　)
A.-32 B.-2 C.1 D.32
（2）用二项式定理展开(x+2y)4.




题型二 　二项展开式通项的应用
角度1 二项展开式中的特定项问题
点拨：
二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：(1)求第k项；(2)求含xr(或xpyq)的项；(3)求常数项；(4)求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算．
例2 （1）(x+2)8的展开式中x6的系数是(　　)
A.28　　 B.56　　 C.112　　 D.224
（2）的展开式中的常数项为________. 

角度2 系数配对问题
点拨：求两个(或多个)二项式乘积的展开式常用方法：(1)对每一个二项式展开，于是问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，此时只需利用多项式乘法法则对其展开即可(即用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项)；(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开．
例3　(1)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．

角度3 特殊三项式(可化为二项式)的展开式问题
点拨：解决三项式问题有三种方法，方法一：先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解；方法二：三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解；方法三：三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解．以上方法也可推广到四项式．
例4　(x3＋3x－4)4的展开式中x的系数是________．


【跟踪训练】2
(1)在的展开式中，x2的系数是________．
(2) (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
(3)的展开式中，常数项为________．

题型三 　二项式定理的灵活应用
例5 展开式中x3的系数为10，则a的值等于(　　)
A．－1　　　B． C．1　　　D．2
【跟踪训练】3 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所有的有理项的系数和为________．

【当堂达标】
1.二项式(1-2x)9的展开式中x6的系数为(　　)
A. B.- C.26 D.-·26
2.若的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是(　　)
A．2 B． C．±2 D．±
3.展开式中的常数项是70,则n=________. 
4.设f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f(2)=________. 
5.求的展开式.
6.在二项式的展开式中，求(1)第4项；(2)常数项；(3)有理项．




【参考答案】
【自主学习】
一．Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn C
二．Can－kbk k＋1
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2. 24 解析：展开式中通项公式Tk＋1＝Cx4－k·＝(－2)kCx4－2k，当4－2k＝0时，展开式为常数，此时k＝2，展开式的常数项为：T3＝4C＝24.


【经典例题】
例1解析：(1)方法一　＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)1＋C(2x)0＝32x5－120x2＋－＋－.
方法二　＝＝(4x3－3)5＝[C(4x3)5(－3)0＋C(4x3)4(－3)1＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)1(－3)4＋C(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)1＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
【跟踪训练】1 （1）D 解析：x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,令x-2=0,即x=2,可得a0=25=32.
（2）(x+2y)4=x4+x3(2y)+x2(2y)2+x(2y)3+(2y)4=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
例2 （1）C 解析：由T2+1=x8-2·22=112x6,所以(x+2)8的展开式中x6的系数是112.
（2）28 解析：由题意,可知:此二项式的展开式的通项公式为
Tk+1=(2x)8-k=·28-k··x8-k·=·(-1)k28-4k·x8-4k.
所以当8-4k=0,即k=2时,Tk+1为常数项.此时T2+1=·(-1)228-4×2=28.
例3　(1)C 解析：(1)因为(x＋y)5的展开式的第k＋1项Tk＋1＝Cx5－kyk，
所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15，故选C.
(2)61 解析：(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
二项式(2x＋1)6的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r.
所以当r＝6时，x2的系数为1×C＝1.当r＝4时，x2的系数为22×C＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.
例4　－768 解析：方法一　(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3×4＋C(x2＋3x)2×42－C(x2＋3x)×43＋C×44，显然，展开式中只有第四项中含x，所以展开式中x的系数是－C×3×43＝－768.
方法二　(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4×(x＋4)4＝(Cx4－Cx3＋Cx2－Cx＋C)(Cx4＋Cx3×4＋Cx2×42＋Cx×43＋C×44)，所以展开式中x的系数是－C44＋C43＝－768.
方法三　(x2＋3x－4)4＝(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)，从上述1个因式中取3x，其他3个因式取－4，则x的系数是C×3×(－4)3＝－768.
【跟踪训练】2 (1)10　解析：(1)Tk＋1＝C·x5－k·＝C·2k·x5－3k，令5－3k＝2，得k＝1.
故在的展开式中，x2的系数为C·21＝10.
(2)A 解析：(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为:1×+2×=12.
(3)－5 解析：＝，Tk＋1＝C(－1)4－k(k＝0，1，2，3，4)
k＝0时，T1＝1，的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk－r＝(－1)kCxk－2r(r≤k)，
令k＝2r可得或，常数项为1－12＋6＝－5.
例5 D 解析：展开式的通项公式Tk＋1＝C·x5－k·＝akC·x5－2k，令5－2k＝3，所以k＝1. 因为x3的系数为10，所以aC＝10.所以a＝2.故选D.
【跟踪训练】3 解析：Tk＋1＝C·xn－k·＝Cxn－k(k＝0，1，2，3，…，n)
由题意知：C·＝C·，解得n＝5，
∴Tk＋1＝Cx5－k(k＝0，1，2，3，…，5)
当k＝0，2，4时，对应项是有理项，所以有理项的系数和为
C＋C＋C＝1＋＋＝.
【当堂达标】
1.C 解析：二项式(1-2x)9=+(-2x)+…+(-2x)k+…+(-2x)9,其展开式中x6的系数为:(-2)6=26.
2. D 解析：(1)二项式的通项公式为：Tk＋1＝C·(mx)6－k·＝C·m6－k·(－2)k·x6－k，
因为的展开式中x3项的系数是240，所以当6－k＝3时，有C·m6－k·(－2)k＝240成立，解得k＝2，因此有C·m6－2·(－2)2＝240,m＝±.故选D.
3. 4 解析：因为==,
所以Tk+1=(-1)kx2n-2k,又因为展开式的常数项为70,令2n-2k=0得,k=n,所以(-1)n=70,又=70,所以n=4.
4. 3 解析：f(x)=x5(-1)0+x4(-1)1+x3(-1)2+x2(-1)3+x(-1)4+·(-1)5+2=(x-1)5+2,
所以f(2)=3.
5. 解：方法一:=+
(3)3+(3)2()2+(3)()3+()4=81x2+108x+54++.
方法二:(3+)4==(1+3x)4
=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.
6. 解：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx12－r＝(－1)rCx12－r.
(1)令r＝3，则T4＝(－1)3Cx12－×3＝－220x8.
(2)令12－r＝0，则r＝9，从而，常数项为(－1)9C＝－220.
(3)当r＝0，3，6，9，12时，是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝x－4.