选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀导学案

这是一份选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

6.3.2　二项式系数的性质
【学习目标】
课程标准
素养要求
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
1.了解杨辉三角,并探索其中的规律.(数学抽象)
2.掌握二项式系数的性质及其应用,掌握“赋值法”并会灵活运用.(逻辑推理、数学运算)
【自主学习】
一．对称性
1.与首末两端 的两个二项式系数相等,即=.
2.直线 将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,是图象的对称轴.
二．增减性与最大值
(1)当>1,即k<时,随k的增加而 ;当k>时,随k的增加而
.
(2)当n是偶数时,中间一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取最大值.

三．各二项式系数的和
+++…+= ；
++…=++…= .
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(　　)
(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.(　　)
(3)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　)
(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　)
2.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)
A．n，n＋1　　B．n－1，n C．n＋1，n＋2　D．n＋2，n＋3

【经典例题】
题型一 　二项式系数和问题
例1 若n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)
A．14 B．－14 C．7 D．－7
【跟踪训练】1已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，求展开式中的常数项.



题型二 　二项展开式中系数和问题
点拨：赋值法求解二项展开式系数策略
1.对于(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式，令x＝0，得a0 ；令x＝1，得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋b)n；令x＝－1得偶数项与奇数项系数的差．
2.对于形如(ax2＋bx＋c)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x＝1.对于(ax＋by)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x＝y＝1.
例2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
(1)求a1＋a2＋…＋a7；
(2)求a1＋a3＋a5＋a7；
(3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|





【跟踪训练】2 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)
A．29 B．29－1 C．39 D．39－1


题型三　系数最大项问题
角度1 二项式系数最大问题
点拨：求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数Cn最大；当n是奇数时，展开式的中间两项的二项式系数，最大．
例3 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
角度2 展开式系数最大问题
点拨：
1.在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地列出不等式组即可．
2.当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.
例4 已知f(x)＝，f(x)的展开式的各二项式系数的和等于128.
(1)求n的值；
(2)求f(x)的展开式中的有理项；
(3)求f(x)的展开式中系数最大的项．


【跟踪训练】3 已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项.
(2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)



【当堂达标】
1.在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　)
A．－32 B．0 C．32 D．1
2.的展开式中，系数最大的项是( )
A.第项 B.第项 C.第项 D.第项与第项
3.设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_______________.
4.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=________. 
5.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.




6.在的展开式中.求：
(1)所有项的系数和；
(2)的系数；
(3)系数最大的项.







【参考答案】
【自主学习】
一． “等距离” r=
二． 增大 减小
三． 2n 2n-1
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.C 解析：因为2n＋1是奇数，所以中间两项，即第n＋1，n＋2项二项式系数最大．
【经典例题】
例1 A 解析：因为2n＝128，所以n＝7，所以展开式的通项为
Tr＋1＝C7－r·r＝C·27－r·r·，令7－r＝－3，
解得r＝6，所以的系数为C27－6·6＝14.
【跟踪训练】1 解：由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得，所以，
因为的展开式的通项为，
且的展开式中含的项为，含的项为，
所以展开式中常数项为.
例2 解：(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1，等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，②
①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.
(3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7.
由(2)可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
【跟踪训练】2 D 解析：.令x＝0，则a0＝1，令x＝2，a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39，
所以2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1 .
例3 B 解析：根据二项式系数的性质，知(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为C＝a，而(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，则13×＝7×，解得m＝6.故选B.
例4 解：(1)因为f(x)＝，
所以f(x)的展开式的各二项式系数的和等于2n＝128，所以n＝7.
(2)f(x)的展开式中的通项公式为Tr＋1＝C·2r·，令7－为整数，可得r＝0，3，6，故展开式的有理项为T1＝x7，T4＝280x3，T7＝448x－1.
(3)第r＋1项的系数为C·2r，
C2r≥C2r－1，且C2r≥C2r＋1，
解得≤r≤，故r＝5，
故f(x)的展开式中系数最大的项为第6项T6＝．
【跟踪训练】3 解：(1)由已知得++=121,则n(n-1)+n+1=121,
即n2+n-240=0,解得n=15,或n=-16(舍去),所以,展开式中二项式系数最大的项是T8=(3x)7和T9=(3x)8.
(2)Tr+1=(3x)r,设≤1,则≤1,即≤1,解得r≤12,
同理,由≥1,解得r≥11,所以展开式中系数最大的项对应的r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=(3x)11和T13=(3x)12.
【当堂达标】
1.C 解析：由题意知2n＝32，得n＝5.令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(3×12－1)5＝32.故选C.
2 .C 解析：在的展开式中，第项的系数与该项的二项式系数相同，易知该式的展开式共有项，所以第项的系数最大，故选C.
3. 112 解析：由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得，则的通项为.令，得，则展开式中的常数项为.
4. - 解析：令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减,
得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-.
5. 解：设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为+++…+=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,
将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=,即所有奇数项系数之和为.
6. 解：(1)令，可得该展开式中所有项的系数和为.
(2)该展开式的通项公式为，，令，解得，
故的系数为.
(3)设第项的系数最大，则
解得，又，所以，故该展开式中系数最大的项为.