数学人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征优质导学案

这是一份数学人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征优质导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
【学习目标】
课程标准
素养要求
理解离散型随机变量的数字特征.
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(数学抽象、数学运算)
2.掌握两点分布的均值.(数学运算)
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主学习】
一、离散型随机变量的均值
1.定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝ = 为随机变量X的均值或数学期望．
2.意义：它反映了离散型随机变量取值的 ．
思考：离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗?
二、性质：
__________；__________；__________.
三、两点分布的数学期望
如果随机变量X服从两点分布,那么__________.
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.(　　)
(2)随机变量的均值相同,则两个分布也一定相同.(　　)
(3)若X服从两点分布,则E(X)=np.(　　)
2.若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
p



则E(X)＝(　　)
A．0　　　B．－1 C．－ D．－
3.设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
【经典例题】
题型一 求离散型随机变量X的均值
点拨：求离散型随机变量X的均值的步骤
1.理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
2.求出X取每个值的概率．
3.写出X的分布列(有时也可省略)．
4.利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．









【跟踪训练】1 已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望E(X).









题型二 离散型随机变量的均值公式及性质
点拨：
对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
例2 已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P



m

(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．





【跟踪训练】2 已知随机变量X的分布列如表:
X
-1
0
1
P


m
若ξ=aX+3,且E(ξ)=5,则a的值为________. 
题型三 均值的实际应用
点拨：均值实际应用问题的解题策略
首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,并根据期望的大小作出判断.
例3 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
7.5万元
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.





　
【跟踪训练】3 甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数,已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示.

(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).




【当堂达标】

1.已知某离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3





则的数学期望( )
A． B．1 C． D．2
2.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=________;E(ξ)=________. 
3.已知随机变量X的分布列如表所示，则_____________.
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
b
0.2
0.1
4.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．
5.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为元(超过部分不足1小时的按1小时计算).甲、乙两人相互独立地来到该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，又知两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量.求的分布列与数学期望.














【参考答案】
【自主学习】
一、1. x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
2. 平均水平
思考：不相同.离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化.
二、；；
三、p
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)×
2.C 解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
3. 35 解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.

【经典例题】
例1 解：X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
【跟踪训练】1 解：(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P





(2)由(1)知E(X)=3·P(X=3)+4·P(X=4)+5·P(X=5)+6·P(X=6)=.
例2 解：(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P





所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
【跟踪训练】2 15 解析：由随机变量分布列的性质,得++m=1,解得m=.E(X)=
(-1)×+0×+1×=.因为E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=a+3=5,所以a=15.
例3 解：(1)设下周一无雨的概率为p,由题意知,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,
所以基地收益X的分布列为
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a,综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.
【跟踪训练】3 解：(1)由题图乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.
所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.15,P(X甲=9)=0.3,
所以P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.
(2)因为E(X甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,E(X乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,
则有E(X甲)>E(X乙),所以估计甲的水平更高.
【当堂达标】
1.B 解析：由题意可得，可得..故选B.
2.　1解析：由题知,随机取出红球的概率为,随机取出绿球的概率为,随机取出黄球的概率为,ξ的取值情况共有0,1,2,P(ξ=0)=+×=,P(ξ=1)=×+××+××=,
P(ξ=2)=××+××+××+××=,所以E(ξ)=1×+2×=1.
3.1 解析：因为，所以.
所以，所以.
4.－3解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2.
解得a＝－3.
5.解：（1）若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，元，元.
两人都付0元的概率为;
两人都付元的概率为;
两人都付元的概率为；
则两人所付费用相同的概率为
（2）由题意得的所有可能取值为.
;
;
;
;
。
的分布列为

0




P





.