高中人教A版 (2019)7.4 二项分布与超几何分布优质导学案及答案

这是一份高中人教A版 (2019)7.4 二项分布与超几何分布优质导学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

7.4.2 超几何分布
【学习目标】
课程标准
素养要求
1.结合生活中的实例,了解超几何分布
2.了解超几何分布的均值及其意义
1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象)
2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)
3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)
【自主学习】
一、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k）＝____________，
k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．
思考1：如何判断随机变量X是否服从超几何分布？

思考2：当随机变量X服从参数为N、M、n(M≤N，n≤N)的超几何分布时，X的所有可能取值有哪些？
第1类：当N-M≥n时，X的所有可能取值为： ，
举例：从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为 ；
从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为 .
第2类：当N-M 举例：从10件产品(含8件次品)中取4件，其中含有的次品数X的所有可能取值为 ，
从10件产品(含5件次品)中取8件，其中含有的次品数X的所有可能取值为 .
二、超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则E(X）＝________．

【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1）超几何分布的模型是有放回的抽样．(　　）
(2）二项分布与超几何分布是同一种分布．(　　）
(3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(　　）
(4)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.(　　)
2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为(　　)
A.N=10,M=4,n=6 B.N=10,M=6,n=4
C.N=14,M=10,n=4 D.N=14,M=4,n=10
【经典例题】
题型一 超几何分布模型的概率
点拨：关于超几何分布的概率求法
1、首先明确随机变量是否服从超几何分布,把握等可能、不放回两个特点;其次是明确公式中的参数,即N,M,n的值各是什么;最后代入公式计算概率.
2.含有“至少”的事件可以考虑求其对立事件的概率;含有“或”的事件应该考虑其中的两个事件是否互斥,利用互斥事件和的概率求值.
例1　在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少有一件为二级品的概率是________. 
【跟踪训练】1 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．


题型二　超几何分布模型的分布列
点拨：关于超几何分布的分布列
1、先确定随机变量的取值,再分别利用公式计算相应的概率,最后列出分布列;
2、当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.
例2 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.



【跟踪训练】2 为了解学生的身体素质情况,现从我校学生中随机抽取10人进行体能测试,测试的分数(百分制)依次为:52,65,72,78,86,86,86,87,87,88.根据有关国家标准,成绩不低于79分的为优秀,从这10人中随机选取3人,记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数,求X的分布列.



题型三　超几何分布的实际应用
点拨：
1、关于超几何分布的均值
(1)超几何分布的均值与二项分布的均值都是np,但是n,p的意义不同,超几何分布中n是不放回地随机抽取的产品数,p是次品率.
(2)对于不放回抽取,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.
2、关于超几何分布的应用
对于服从超几何分布的随机变量,通过公式可以计算概率,列分布列,求期望,利用这些数字特征,可以解决实际生活中与之相关的问题.
例3 一批产品有50件,其中一等品30件,二等品15件,三等品5件,若从中任取20件,预计二等品有________件. 
【跟踪训练】3 某班组织知识竞赛,已知题目共有10道,随机抽取3道回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,某人只能答对10道题目中的6道,试求:
(1)他能答对抽到题目数的分布列;
(2)他能通过初试的概率.




【当堂达标】
1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中随机抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )
A. B. C. D.
2.盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球,其中有4个红球3个白球,从盒子中任取3个球,则恰好取到2个红球1个白球的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为________. 
4.从一批含13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．




5.10件产品中有3件次品,7件正品,现从中抽取5件,求抽取次品件数ξ的分布列.
















【参考答案】
【自主学习】
一、
思考1：判断超几何分布时必须满足以下两条：
(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N-M件为乙类(或正品).
(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数.
思考2：0,1,2，…，l (l为M与n中较小的一个) 0,1,2,3 0,1,2
n+M-N，n+M-N+1，n+M-N+2，…，l(l为M与n中较小的一个) 2,3 3,4,5
二、 np
【小试牛刀】
1．(1)×　(2)×　(3)√ (4)×
2.A 解析：根据超几何分布概率模型知N=10,M=4,n=6.
【经典例题】
例1 解析：设随机变量X表示取出二级品的件数,则P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++=.
【跟踪训练】1 解：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.故中奖的概率为.
例2 解：(1)X可能取的值为0，1,2，3，P(X=k)=，k=0,1，2,3.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




(2)由(1)，“所选3人中女生人数X>1”的概率为
P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=.
【跟踪训练】2 解：由题意可得,X的取值可能为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为:
X
0
1
2
3
P





例3 6 解析：利用超几何分布的均值解决问题,这批产品中,二等品率为,因此预计二等品为6件.
【跟踪训练】3 解：(1)设随机抽出的3道题目某人能答对的道数为X,则X=0,1,2,3,X服从超几何分布,X的分布列如表:
X
0
1
2
3
P




即
X
0
1
2
3
P




(2)要至少答对其中2道才能通过初试,则可以通过初试包括两种情况,即答对其中2道和答对3道,这两种情况是互斥的,根据(1)的计算可得P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
【当堂达标】
1.D 解析：由超几何分布的概率公式可知，所求概率为，故选D.
2.B 解析：由题意得所求概率为P===.
3. 15 解析：用X表示中奖票数,P(X≥1)=+>0.5.解得n≥15.
4.解：由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.故至少有一件次品的概率为.
5 . 解：ξ可能取值为0,1,2,3.
ξ=0表示取出5件全是正品.P(ξ=0)===.
ξ=1表示取出5件产品中有1件次品,4件正品.P(ξ=1)===.
ξ=2表示取出5件产品中有2件次品,3件正品.P(ξ=2)===.
ξ=3表示取出5件产品中有3件次品,2件正品.P(ξ=3)===.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P