高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用优秀导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

8.2 一元线性回归模型及其应用
【学习目标】
学习目标
素养要求
1.了解随机误差、残差、残差图的概念．
2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．
3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．
1. 数学运算
2. 数学建模
【自主学习】
一、回归分析的相关概念
1.回归分析
回归分析是对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2.回归直线方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：

其中＝i，＝i， 称为样本点的中心．
3.线性回归模型
线性回归模型为 ，其中 为模型的未知参数， 称为随机误差，自变量x称为 变量，因变量y称为 变量．
二、残差的概念
对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝ ，i＝1,2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的 ．
三、刻画回归效果的方式
残差图
作图时纵坐标为 ，横坐标可以选为 ，或 ，或
等，这样作出的图形称为残差图
残差
图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高
残差
平方和
残差平方和为 ，残差平方和 ，模型的拟合效果越好
相关
指数R2

R2＝ ，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于 ，表示模型的拟合效果越好




【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1）经验回归方程适用于一切样本和总体．(　　）
(2）经验回归方程一般都有局限性．(　　）
(3）样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围．(　　）
(4）经验回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．(　　）
2.如果记录了x，y的几组数据分别为(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y关于x的经验回归直线必过点(　　）
A．(2，2） B．(1.5，2） C．(1，2） D．(1.5，4）
【经典例题】
题型一 求线性回归方程
点拨：求线性回归方程的基本步骤
1.列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
2.计算：，，，，iyi.
3.代入公式求出＝x＋中参数，的值．
4.写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．










【跟踪训练】1 为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2016年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
车流量x/万辆
1
2
3
4
5
6
7
PM2.5的浓度y(微克/立方米)
28
30
35
41
49
56
62
(1)由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)①利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；
②规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？(结果以万辆为单位，保留整数．)
参考公式：回归直线的方程是＝x＋，其中＝，＝－．








题型二 线性回归分析
点拨：“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用
1.相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－可知，R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．
2．残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报的精度也越高．
例2 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？
(参考数据：＝5 101.56，＝9 511.43，iyi＝6 746.76)









【跟踪训练】2已知某种商品的单价x(单位：元）与需求量y(单位：件）之间的关系有如下一组数据：

x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．










题型三 非线性回归分析
点拨：解决非线性回归问题的方法及步骤
1.确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；
2．画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；
3.变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；
例如：①反比例函数y＝a＋可作变换t＝，得y＝a＋bt．
②幂函数型y＝axb(a>0)可作变换Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，则有Y＝m＋bt．
③指数型函数y＝kabx(a>0且a≠1，k>0)可作变换Y＝lny，m＝lnk，则有：Y＝m＋(blna)x
4．分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；
5．写出非线性回归方程．
例3 为了研究某种细菌随时间x的变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：
时间x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190

(1)将天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2)描述解释变量与预报变量之间的关系；
(3)计算残差、相关指数R2．










【跟踪训练】3 电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电．由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0）表示．现测得时间t(s）时的电压U(V）如下所示：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
试求电压U对时间t的回归方程．











【当堂达标】
1.已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：
x
6
5
10
12
y
6
5
3
2
则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为(　　)
A．＝0.7x－2.3　　　 B．＝－0.7x＋10.3
C．＝－10.3x＋0.7　　　 D．＝10.3x－0.7
2.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：

由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx　　　　　　 B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex　　　 D．y＝a＋blnx
3.已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数＝4，＝5，经验回归方程＝x＋中的系数，满足＋＝4，则经验回归方程为________．





4.某种产品的广告费用支出x与销售额y(单元：百万元)之间有如下的对应数据：
x/百万元
2
4
5
6
8
y/百万元
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额．










5.关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．




























【参考答案】
【自主学习】
一、1. 相关关系 2. (，) 3.y＝bx＋a＋e a和b e 解释 预报
二、yi－bxi－a 残差
三、残差 样本编号 身高数据 体重的估计值 越窄 (yi－i)2 越小
1－ 1
【小试牛刀】
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．D解析：因为＝＝1.5，＝＝4，所以样本点的中心为(1.5，4)，而经验直线过样本点的中心．故选D.
【经典例题】
例1 解：(1)如图：

(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，
＝＝4，＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，＝－ ＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
【跟踪训练】1 (1)由数据可得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(28＋30＋35＋41＋49＋56＋62)＝43，iyi＝1372，＝140，＝＝＝6，＝－＝43－6×4＝19，故y关于x的线性回归方程为＝6x＋19．
(2)①当车流量为8万辆，即x＝8时，＝6×8＋19＝67.故当车流量为8万辆时，PM2.5的浓度约为67微克/立方米．
②根据题意得6x＋19≤100，即x≤13.5，故要使该市某日空气质量为优或良，应控制当天车流量在13万辆以内．
例2　解：(1)散点图如下．

(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为＝x＋.＝30.36，＝43.5，
＝5 101.56，＝9 511.43.
＝1 320.66，2＝921.729 6，
iyi＝6 746.76.则＝≈0.29，＝－≈34.70.
故所求的回归直线方程为＝0.29x＋34.70.当x＝56.7时，＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.
估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由于i＝xi＋，可以算得i＝yi－i分别为1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，残差平方和：≈8.43.
(4)(yi－)2＝50.18，故R2＝1－≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.
【跟踪训练】2 解：计算可得＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝－1.15，＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
y
12
10
7
5
3

12
9.7
7.4
5.1
2.8
y－
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
所以(yi－i)2＝0.3，又(yi－)2＝53.2，所以R2＝1－≈0.994.
故回归模型的拟合效果很好．
例3 (1)由表中数据作散点图如下图所示．

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的图象的周围，其中c1和c2是待定系数．于是令z＝ln y，则z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)，因此变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋a的周围，因此可以用线性回归模型来拟合z与x的关系，则变换后的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由表中数据得到线性回归方程＝0.69x＋1.115．
因此细菌繁殖个数关于时间的回归方程为＝e0.69x＋1.115．
(3)列出残差表：
编号i
1
2
3
4
5
6
i
6.08
12.12
24.17
48.18
96.06
191.52
yi
6
12
25
49
95
190
i
－0.08
－0.12
0.83
0.82
－1.06
－1.52
＝(yi－i)2＝4.8161，(yi－)2＝24630.1，R2＝1－≈0.9998．
故解释变量天数对预报变量繁殖个数解释了99.98%，说明该回归模型拟合效果非常好．
【跟踪训练】3解：对U＝Aebt两边取自然对数得ln U＝ln A＋bt
令y＝ln U，a＝ln A，即＝＋t，
t
0
1
2
3
4
5
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
t
6
7
8
9
10

y
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6

即ln U＝－0.3t＋4.6，所以U^＝e－0.3t＋4.6.
【当堂达标】
1.B 解析：根据表中数据，得＝(6＋5＋10＋12)＝，＝(6＋5＋3＋2)＝4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证＝时，＝－0.7×＋10.3≈4，即回归直线＝－0.7x＋10.3过样本中心点(，)．故选B．
2.D 解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋blnx．故选D．
3. ＝x＋ 解析：经验回归方程＝x＋过样本中心点(4，5)，所以4＋＝5；
又＋＝4，解方程组得＝，＝，所以经验回归方程为：＝x＋.
4.(1)散点图如图所示：

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
4
5
6
8
25
yi
30
40
60
50
70
250
xiyi
60
160
300
300
560
1 380
x
4
16
25
36
64
145
所以，＝＝5，＝＝50，＝145，iyi＝1 380.于是可得＝＝＝6.5，＝－ ＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.
(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元.
5.解：由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－1
－5
8
－9
－3
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.82，
由于R＝0.845，R＝0.82,0.845>0.82，
∴R>R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果.