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数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品课时练习
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这是一份数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品课时练习，共6页。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是( )
A.14 B.23 C.48 D.120
2.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为 ( )
A.19 B.20 C.21 D.22
3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有( )
A.12种 B.24种
C.72种 D.216种
4.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使每一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可使用,则不同染色的方法种数为( )
A.80 B.100 C.110 D.120
5.若在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有________种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有________种不同的方法.
6.已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b∈A,则|a|<|b|的情况有________种.
7.有一项活动,需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?
8.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:
(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?
(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次函数?
能 力 练
综合应用 核心素养
9.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
10.三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如:147,642,777,420等.等差三位数的总个数为 ( )
A.32 B.36 C.40 D.45
11.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有______种不同的选法( )
A.10 B.20 C.21 D.40
12.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有 ( )
A.4 320种 B.2 880种
C.1 440种 D.720种
13.如右图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )
A.26 B.24 C.20 D.19
14.设m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,-2},则函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是( )
A.12 B.916 C.1116 D.1316
15.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少2台,其他小学允许1台也没有,则不同的分配方案共有( )
A.13种 B.15种 C.20种 D.30种
16. 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个符合下列要求的无重复数字的数?
(1)四位整数;
(2)比2 000大的四位偶数.
【参考答案】
1. C 解析：分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.
所以不同的取法种数是8×6=48.
2. D 解析：当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.
3. A 解析：先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.
4. D 解析：如图,
若先染A有5种色可选,B有4种色可选,C有3种色可选,D有2种色可选,则不同染色方法共有5×4×3×2=120(种).
5. 5 6 解析：对于图1,按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可,故有2+3=5(种)不同的方法.对于图2,按要求接通电路必须分两步进行:第一步,合上A中的一个开关;第二步,合上B中的一个开关,故有2×3=6(种)不同的方法.
6. 18 解析：当a=-3时,0种,当a=-2时,2种,当a=-1时,4种;当a=0时,6种,当a=1时,4种;当a=2时,2种,当a=3时,0种,故共有:2+4+6+4+2=18(种).
7. 解： (1)选1人,可分三类:第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法,共有3+8+5=16(种)不同的选法.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分三步:第1步,选教师,有3种不同的选法;第2步,选男同学,有8种不同的选法;第3步,选女同学,有5种不同的选法,共有3×8×5=120(种)不同的选法.
8.解：(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.
(2)当y=ax2+bx+c的图像开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图像开口向上的二次函数.
9. C 解析：小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,故选C.
10. D 解析：由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”,则只要各位数字不为零即可,有9个;若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”,则百位数字不大于7,有7个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”,则百位数字不大于5,有5个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”,则百位数字不大于3,有3个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”,则百位数字只能为1,有1个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-1的“等差三位数,则百位数字不小于2,有8个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-2的“等差三位数”,则百位数字不小于4,有6个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-3的“等差三位数”,则百位数字不小于6,有4个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-4的“等差三位数”,则百位数字不小于8,有2个.
综上所述,“等差三位数”的总数为9+7+5+3+1+8+6+4+2=45个.
11. B 解析：“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:①既会英语又会日语的不当选;②既会英语又会日语的按会英语当选;③既会英语又会日语的按会日语当选.
既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法; 从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法;仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法.根据分类加法计数原理,共有6×2+6×1+2×1=20(种)不同选法.
12. A 解析：分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.
根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4=4 320种不同的涂色方法.
13. D 解析：因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类加法计数原理,完成从A向B传递有四种方法,12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和,即3+4+6+6=19,故选D.
14.C 解析：根据题意,f'(x)=3x2+m,又因为m>0,所以f'(x)=3x2+m>0;故f(x)=x3+mx+n在R上单调递增,
若函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点,则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.
所以m+n≤-1且2m+n≥-8,所以-2m-8≤n≤-m-1,当m=1时,n取-2,-4,-8;当m=2时,n取-4,-8,-12;当m=3时,n取-4,-8,-12;当m=4时,n取-8,-12;共11种取法,而m有4种选法,n有4种选法,则函数f(x)=x3+mx+n有4×4=16(种)情况,故函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是1116,故选C.
15. B 解析：①先给A、B两所希望小学分配电脑,若每个学校2台,由于电脑型号相同,故只有1种情况,其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学,若一所小学2台,其他的没有,有3种情况;若2所小学各1台,另一所小学没有,有3种情况,共有6种情况;
②若A、B两所希望小学其中一所得3台,另一所2台,有2种情况,
再将剩余的1台电脑分给其他3所小学,有3种情况,共3×2=6种情况;
③若给A、B两所希望小学各分配3台电脑,有1种情况;
④若A、B两所希望小学其中一所得4台,另一所2台,有2种情况.
综上,共6+6+1+2=15种情况.
16. 解：(1)分步解决:
第1步,千位数字有5种选取方法;第2步,百位数字有5种选取方法;第3步,十位数字有4种选取方法;
第4步,个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位整数5×5×4×3=300(个).
(2)(方法一)按个位是0,2,4分为三类:
第1类,个位是0的有4×4×3=48(个);第2类,个位是2的有3×4×3=36(个);第3类,个位是4的有3×4×3=36(个).则由分类加法计数原理知,有48+36+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数.
(方法二)按千位是2,3,4,5分四类:
第1类,千位是2的有2×4×3=24(个);第2类,千位是3的有3×4×3=36(个);
第3类,千位是4的有2×4×3=24(个);第4类,千位是5的有3×4×3=36(个).
由分类加法计数原理知,有24+36+24+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是( )
A.14 B.23 C.48 D.120
2.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为 ( )
A.19 B.20 C.21 D.22
3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有( )
A.12种 B.24种
C.72种 D.216种
4.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使每一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可使用,则不同染色的方法种数为( )
A.80 B.100 C.110 D.120
5.若在如图1的电路中,只合上一个开关可以接通电路,有________种不同的方法;在如图2的电路中,合上两个开关可以接通电路,有________种不同的方法.
6.已知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b∈A,则|a|<|b|的情况有________种.
7.有一项活动,需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?
8.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:
(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?
(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次函数?
能 力 练
综合应用 核心素养
9.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
10.三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如:147,642,777,420等.等差三位数的总个数为 ( )
A.32 B.36 C.40 D.45
11.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有______种不同的选法( )
A.10 B.20 C.21 D.40
12.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有 ( )
A.4 320种 B.2 880种
C.1 440种 D.720种
13.如右图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )
A.26 B.24 C.20 D.19
14.设m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,-2},则函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是( )
A.12 B.916 C.1116 D.1316
15.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少2台,其他小学允许1台也没有,则不同的分配方案共有( )
A.13种 B.15种 C.20种 D.30种
16. 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个符合下列要求的无重复数字的数?
(1)四位整数;
(2)比2 000大的四位偶数.
【参考答案】
1. C 解析：分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.
所以不同的取法种数是8×6=48.
2. D 解析：当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.
3. A 解析：先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.
4. D 解析：如图,
若先染A有5种色可选,B有4种色可选,C有3种色可选,D有2种色可选,则不同染色方法共有5×4×3×2=120(种).
5. 5 6 解析：对于图1,按要求接通电路,只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可,故有2+3=5(种)不同的方法.对于图2,按要求接通电路必须分两步进行:第一步,合上A中的一个开关;第二步,合上B中的一个开关,故有2×3=6(种)不同的方法.
6. 18 解析：当a=-3时,0种,当a=-2时,2种,当a=-1时,4种;当a=0时,6种,当a=1时,4种;当a=2时,2种,当a=3时,0种,故共有:2+4+6+4+2=18(种).
7. 解： (1)选1人,可分三类:第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法,共有3+8+5=16(种)不同的选法.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分三步:第1步,选教师,有3种不同的选法;第2步,选男同学,有8种不同的选法;第3步,选女同学,有5种不同的选法,共有3×8×5=120(种)不同的选法.
8.解：(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.
(2)当y=ax2+bx+c的图像开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图像开口向上的二次函数.
9. C 解析：小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,故选C.
10. D 解析：由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”,则只要各位数字不为零即可,有9个;若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”,则百位数字不大于7,有7个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”,则百位数字不大于5,有5个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”,则百位数字不大于3,有3个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”,则百位数字只能为1,有1个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-1的“等差三位数,则百位数字不小于2,有8个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-2的“等差三位数”,则百位数字不小于4,有6个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-3的“等差三位数”,则百位数字不小于6,有4个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-4的“等差三位数”,则百位数字不小于8,有2个.
综上所述,“等差三位数”的总数为9+7+5+3+1+8+6+4+2=45个.
11. B 解析：“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:①既会英语又会日语的不当选;②既会英语又会日语的按会英语当选;③既会英语又会日语的按会日语当选.
既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法; 从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法;仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法.根据分类加法计数原理,共有6×2+6×1+2×1=20(种)不同选法.
12. A 解析：分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.
根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4=4 320种不同的涂色方法.
13. D 解析：因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类加法计数原理,完成从A向B传递有四种方法,12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和,即3+4+6+6=19,故选D.
14.C 解析：根据题意,f'(x)=3x2+m,又因为m>0,所以f'(x)=3x2+m>0;故f(x)=x3+mx+n在R上单调递增,
若函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点,则只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.
所以m+n≤-1且2m+n≥-8,所以-2m-8≤n≤-m-1,当m=1时,n取-2,-4,-8;当m=2时,n取-4,-8,-12;当m=3时,n取-4,-8,-12;当m=4时,n取-8,-12;共11种取法,而m有4种选法,n有4种选法,则函数f(x)=x3+mx+n有4×4=16(种)情况,故函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是1116,故选C.
15. B 解析：①先给A、B两所希望小学分配电脑,若每个学校2台,由于电脑型号相同,故只有1种情况,其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学,若一所小学2台,其他的没有,有3种情况;若2所小学各1台,另一所小学没有,有3种情况,共有6种情况;
②若A、B两所希望小学其中一所得3台,另一所2台,有2种情况,
再将剩余的1台电脑分给其他3所小学,有3种情况,共3×2=6种情况;
③若给A、B两所希望小学各分配3台电脑,有1种情况;
④若A、B两所希望小学其中一所得4台,另一所2台,有2种情况.
综上,共6+6+1+2=15种情况.
16. 解：(1)分步解决:
第1步,千位数字有5种选取方法;第2步,百位数字有5种选取方法;第3步,十位数字有4种选取方法;
第4步,个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位整数5×5×4×3=300(个).
(2)(方法一)按个位是0,2,4分为三类:
第1类,个位是0的有4×4×3=48(个);第2类,个位是2的有3×4×3=36(个);第3类,个位是4的有3×4×3=36(个).则由分类加法计数原理知,有48+36+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数.
(方法二)按千位是2,3,4,5分四类:
第1类,千位是2的有2×4×3=24(个);第2类,千位是3的有3×4×3=36(个);
第3类,千位是4的有2×4×3=24(个);第4类,千位是5的有3×4×3=36(个).
由分类加法计数原理知,有24+36+24+36=120(个)无重复数字的比2000大的四位偶数。
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