还剩9页未读，
继续阅读
辽宁省大连市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（含答案）
展开
这是一份辽宁省大连市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了已知函数等内容，欢迎下载使用。
大连市2022~2023学年度第二学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；
2.本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，，则角的终边位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（）
A. B.1 C. D.
4.1988年3月14日，Lany Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）。历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值。按照这种方法，的近似值的表达式是（）
A. B.
C. D.
5.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（）
A. B.8 C. D.6
6.某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，，，且，则旗杆的高度为（）
A. B. C. D.
7.菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，管有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
10.在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则角的值可能为（）
A. B. C. D.
11.如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为1，.若将正三棱锥绕旋转，使得点，分别旋转至点，处，且，，，四点共面，点，分别位于两侧，连接，则（）
A.平面
B.
C.多面体的体积为原多面体的体积的2倍
D.点，旋转运动的轨迹长相等
12.在中，，，，为中点，在上，且，延长线交于点，则下列结论正确的有（）
A. B. C.的面积为D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知实数，满足，为虚数单位，则________.
14.已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________.
15.下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则________.
16.如图，在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球，为的中点，为棱上的动点，当直线、与平面成角相等时，_____，此时四面体的外接球表面积为________.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，且，点是的中点.
（I）证明：平面；
（II）证明：平面.
18.（本小题满分12分）
已知函数，.
（I）求的最小正周期：
（II）求在区间上的最大值与最小值.
19.（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，.
（I）求角的大小；
（II）若，，点在边上，为的平分线，求长.
20.（本小题满分12分）
在正三棱台中，，，为中点，在上，.
（I）请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
（II）求直线与平面所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）
已知函数（，）图像的一个对称中心为，当时，，将函数图像向左平移个单位长度，再将所得图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图像.
（I）求函数与的解析式；
（II）求满足在内恰有2023个零点的实数与正整数的值.
22.（本小题满分12分）
如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.
（I）求证：平面；
（II）若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：
（Ⅲ）当平面平面时，求四面体体积的最大值。
大连市2022~2023学年度第二学期期末考试
高一数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
一、单项选择题：
1.D2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.A
二、多项选择题：
9.AD 10.AB 11.BC 12.BCD
三、填空题：
13.； 14.； 15.； 16.1，
四、解答题：
17.（本小题满分10分）
解：（I）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面，底面，
所以.
在中，，为线段的中点，所以.
又，平面，平面.所以平面.
（II）设与的交点为，连接，
因为是的中点，是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
18.（本小题满分12分）
解：（I）
所以的最小正周期为；
（II）因为，所以，
所以，所以，
当时，，当时，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
19.（本小题满分12分）
解：（I）因为，所以，
即，
由正弦定理得：，
，即，
因为，所以；
（II）法一：因为
所以
得.
法二：由正弦定理得：，，
又，，所以，
因为，.
所以，，
又因为，
所以，
得.
法三：由正弦定理得：，，
又，，所以，
所以，
所以
，
所以.
20.（本小题满分12分）
解：（I）作图
，
（II）由（I）可知，，由，，
易知，所以，
所以，
所以，
棱台的高，
设直线与平面所成角为，
所以.
（其他方法请酌情给分）
21.（本小题满分12分）
解：（I）由题意得，的最大值为1，最小值为−1，
，，，得，
将代入得：，，，
.
函数图像向左平移个单位长度得，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得.
（II），
函数的零点即为方程的根，
设，讨论方程的根，显然，
若方程的根，则在内可对应两个，
若方程的根，则在内可对应两个，
此时函数在内只能有偶数个零点，不符合题意.
故必有，
当时，，，
在内有1个零点，内有2个零点，
，；
当时，，，
在内有2个零点，一个周期内有3个零点，此时在内有2022个零点，在内有2个零点，不符合题意，
综上所述，，.
22.（本小题满分12分）
（I）证明：四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
，
平面，平面，平面；
（II）解：取中点，连接，交于点，
过点作，交于点，连接，
过点作，垂足为.
是边长为2的等边三角形，，，
是二面角的平面角，，
，，，
，，平面，平面，
平面，，
同（I）过程可得：，，，
，，
，
，，
在中，，
四边形的面积，
当，即或时，的最小值为.
（III）解：由（II）知，是二面角的平面角，设，
点到平面的距离，
设，则，，
平面平面，，平面，平面，
平面，，
中，，
，
，，，
，即四面体体积的最大值为，此时.
大连市2022~2023学年度第二学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；
2.本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，，则角的终边位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（）
A. B.1 C. D.
4.1988年3月14日，Lany Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）。历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值。按照这种方法，的近似值的表达式是（）
A. B.
C. D.
5.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（）
A. B.8 C. D.6
6.某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，，，且，则旗杆的高度为（）
A. B. C. D.
7.菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，管有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
10.在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则角的值可能为（）
A. B. C. D.
11.如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为1，.若将正三棱锥绕旋转，使得点，分别旋转至点，处，且，，，四点共面，点，分别位于两侧，连接，则（）
A.平面
B.
C.多面体的体积为原多面体的体积的2倍
D.点，旋转运动的轨迹长相等
12.在中，，，，为中点，在上，且，延长线交于点，则下列结论正确的有（）
A. B. C.的面积为D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知实数，满足，为虚数单位，则________.
14.已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________.
15.下面两图是正四面体与它的外接球被过球心的平面所被形成的截面图，图①中的三角形为正三角形，其面积为，图②中三角形的面积为，则________.
16.如图，在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球，为的中点，为棱上的动点，当直线、与平面成角相等时，_____，此时四面体的外接球表面积为________.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，且，点是的中点.
（I）证明：平面；
（II）证明：平面.
18.（本小题满分12分）
已知函数，.
（I）求的最小正周期：
（II）求在区间上的最大值与最小值.
19.（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，.
（I）求角的大小；
（II）若，，点在边上，为的平分线，求长.
20.（本小题满分12分）
在正三棱台中，，，为中点，在上，.
（I）请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
（II）求直线与平面所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）
已知函数（，）图像的一个对称中心为，当时，，将函数图像向左平移个单位长度，再将所得图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图像.
（I）求函数与的解析式；
（II）求满足在内恰有2023个零点的实数与正整数的值.
22.（本小题满分12分）
如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，点为直角顶点.，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形，设.
（I）求证：平面；
（II）若二面角的大小为，，则为何值时，四边形的面积最小，并求出最小值：
（Ⅲ）当平面平面时，求四面体体积的最大值。
大连市2022~2023学年度第二学期期末考试
高一数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
一、单项选择题：
1.D2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.A
二、多项选择题：
9.AD 10.AB 11.BC 12.BCD
三、填空题：
13.； 14.； 15.； 16.1，
四、解答题：
17.（本小题满分10分）
解：（I）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面，底面，
所以.
在中，，为线段的中点，所以.
又，平面，平面.所以平面.
（II）设与的交点为，连接，
因为是的中点，是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
18.（本小题满分12分）
解：（I）
所以的最小正周期为；
（II）因为，所以，
所以，所以，
当时，，当时，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
19.（本小题满分12分）
解：（I）因为，所以，
即，
由正弦定理得：，
，即，
因为，所以；
（II）法一：因为
所以
得.
法二：由正弦定理得：，，
又，，所以，
因为，.
所以，，
又因为，
所以，
得.
法三：由正弦定理得：，，
又，，所以，
所以，
所以
，
所以.
20.（本小题满分12分）
解：（I）作图
，
（II）由（I）可知，，由，，
易知，所以，
所以，
所以，
棱台的高，
设直线与平面所成角为，
所以.
（其他方法请酌情给分）
21.（本小题满分12分）
解：（I）由题意得，的最大值为1，最小值为−1，
，，，得，
将代入得：，，，
.
函数图像向左平移个单位长度得，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得.
（II），
函数的零点即为方程的根，
设，讨论方程的根，显然，
若方程的根，则在内可对应两个，
若方程的根，则在内可对应两个，
此时函数在内只能有偶数个零点，不符合题意.
故必有，
当时，，，
在内有1个零点，内有2个零点，
，；
当时，，，
在内有2个零点，一个周期内有3个零点，此时在内有2022个零点，在内有2个零点，不符合题意，
综上所述，，.
22.（本小题满分12分）
（I）证明：四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
，
平面，平面，平面；
（II）解：取中点，连接，交于点，
过点作，交于点，连接，
过点作，垂足为.
是边长为2的等边三角形，，，
是二面角的平面角，，
，，，
，，平面，平面，
平面，，
同（I）过程可得：，，，
，，
，
，，
在中，，
四边形的面积，
当，即或时，的最小值为.
（III）解：由（II）知，是二面角的平面角，设，
点到平面的距离，
设，则，，
平面平面，，平面，平面，
平面，，
中，，
，
，，，
，即四面体体积的最大值为，此时.
相关试卷
辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题： 这是一份辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，文件包含辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题教师版含解析docx、辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市高三上学期期末数学试题及答案： 这是一份2022-2023学年辽宁省大连市高三上学期期末数学试题及答案，共26页。
辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案： 这是一份辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题及答案，文件包含辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题教师版含解析docx、辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
