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2023高考数学二轮专题复习与测试大题基础练三立体几何
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这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试大题基础练三立体几何,共12页。试卷主要包含了设平面BFG的法向量为n=,等内容,欢迎下载使用。
大题基础练(三) 立体几何
1.(2022·光明区校级模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠ABC=,且AB=BC=2AA1,M为棱A1C1的中点.
(1)求证:BM⊥平面AB1C;
(2)求二面角A1-B1-CA的余弦值.
(1)证明:如图1,取AC的中点N,连接B1M,BN,MN,B1N,
图1
由题可得B1B⊥平面ABC,所以B1B⊥AC,B1B⊥BN,
因为AB=BC=2AA1,∠ABC=,所以BN=AB=AA1=B1B,BN⊥AC,
又B1B∩BN=B,所以AC⊥平面B1BMN,且四边形B1BMN为正方形,所以AC⊥BM,BM⊥B1N,
又AC∩B1N=N,所以BM⊥平面AB1C.
(2)由(1)可知,AC,BN,MN两两垂直,以N为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系,
图2
令AA1=1,则AB=BC=2,AC=2,
故B(1,0,0),C(0,-,0),A1(0,,1),B1(1,0,1),
M(0,0,1),
所以=(-1,0,1),=(-1,-,-1),
=(0,-2,-1),
由(1)可知=(-1,0,1)为平面AB1C的一个法向量,
设平面A1B1C的一个法向量为m=(x,y,z),
则令y=,则x=3,
z=-6,
所以平面A1B1C的一个法向量为m=(3,,-6),
所以cos〈,m〉===-,
结合题意可知二面角A1-B1-CA的余弦值为.
2.(2022·天河区校级三模)如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线BD,AE上异于端点的动点,且BM=AN.
(1)求证:直线MN∥平面CDE;
(2)当MN的长最小时,求二面角A-MN-D的正弦值.
(1)证明:过N作NN′∥AD与ED交于N′点,过M作MM′∥AD与CD交于M′点,连接M′N′.
由已知条件AD=2AF=2AB=2,可知矩形ABCD与矩形ADEF全等.
因为BM=AN,AE=BD,NN′∥AD∥MM′
所以====,
所以NN′=MM′,
又NN′∥AD∥MM′,则四边形MNN′M′为平行四边形,
所以MN∥N′M′,
因为MN不在平面CDE内,M′N′⊂平面CDE,
所以MN∥平面CDE.
(2)解:由平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,
又AF⊂平面ADEF,AF⊥AD,
所以AF⊥平面ABCD.
以A为原点,分别以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
过M点作MG⊥AD,垂足为G,连接NG,易知NG⊥AD,设AG=a(0
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