2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二三角恒等变换与解三角形

这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练二三角恒等变换与解三角形，共6页。
专题强化练(二)　三角恒等变换与解三角形
1．(2022·福田区校级一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c.已知2bcos B＝ccos A＋acos C.
(1)求B；
(2)若a＝2，b＝，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
解：(1)因为2bcos B＝ccos A＋acos C，
所以由正弦定理可得，2sin Bcos B＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin (C＋A)＝sin B，
因为0＜B＜π，
所以sin B≠0，
所以cos B＝，
所以B＝.
(2)由(1)知∠ABC＝，

因为a＝BC＝2，b＝CA＝，
所以由正弦定理可得＝，
即＝，
所以sin∠BAC＝，
所以∠BAC＝或∠BAC＝(舍去)，
所以∠C＝π－－＝，
因为AD⊥AC，
所以cos∠C＝，CD＝CB＋BD＝，
所以2＋BD＝＝6＋2，
所以BD＝4＋2.
2．(2022·江门模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，求a的取值范围．
解：(1)由(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，
可得(a＋b)(a－b)＝(a－c)c，
化为a2＋c2－b2＝ac，
则cos B＝＝＝，
由0＜B＜，可得B＝.
(2)由cos B＝，B＝，c＝2，
可得b2＝a2＋12－2a，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
即为解得＜a＜4，
则a的取值范围是(，4)．
3．(2022·惠州一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1－cos 2B＝cos(A－C)＋cos B，且＝.
(1)求证：b2＝ac；
(2)当BD＝b时，求cos ∠ABC.
(1)证明：因为1－cos 2B＝cos (A－C)＋cos B，
所以2sin2B＝cos (A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C，
由正弦定理得b2＝ac.
(2)解：因为＝，即D为AC的中点，
则＝(＋)，
两边同时平方得，42＝2＋2＋2·，
即4b2＝c2＋a2＋2accos ∠ABC，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos ∠ABC，
两式相加得a2＋c2＝，
由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝.
4．(2022·汕头一模)在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin (B＋C)＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2, ________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选①：
则A＝π－3B，且A＜B＜C，
因为a＝1，b＝2，
由正弦定理得＝＝，则＝，即＝，
所以2sin 3B＝sin B，2(3sin B－4sin3B)＝sin B，
得sin2B＝，
因为B∈(0，π)，所以sin B＝，
因为A＜B＜C，所以角B为锐角，
所以cos B＝＝，
所以sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝，
所以由正弦定理得c＝＝＝.
若选②：
则由△ABC的面积为，a＝1，b＝2，
得absin C＝sin C＝，
所以cos C＝±＝±，
当C为锐角时，cos C＝，此时由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝2，
所以c＝，
当C为钝角时，cos C＝，此时由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4＋2×1×2×＝8，
所以c＝2，
综上，c＝或c＝2.
若选③：
由sin (B＋C)＝，得sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝，
由正弦定理得＝，则sin B＝＝＝>1，所以三角形不存在．
5．(2022·禅城区模拟)在①3asin C＝4ccos A；②2bsin＝a sin B这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ________，a＝3.

(1)求sin A；
(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求边c.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选①：
(1)在①3asin C＝4ccos A，
由正弦定理可得3sin Asin C＝4sin Ccos A，因为sin C≠0，所以可得tan A＝，
在△ABC中，所以A∈(0，)，
所以sin A＝＝.
(2)因为∠ABM＝，设BM＝CM＝m，
由图可得cos∠BMC＝－cos∠BMA＝－sin A＝－，
在△BMC中，由余弦定理可得BC2＝BM2＋CM2－2BM·CM·cos∠BMC，而BC＝a＝3，
所以18＝2m2－2m2(－)，解得m＝，
在Rt△ABM中，c＝AB＝＝＝.

若选②：
(1)因为2bsin＝asin B，
所以2bsin＝asin B，
由正弦定理可得2sin Bcos＝sin Asin B＝2sincossin B，
因为sin B≠0，cos≠0，所以sin＝，cos＝＝，
所以sin A＝2sincos＝2··＝.
(2)答案同选①.
6．(2022·广东二模)如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α.

(1)证明：PBsin ∠ABC＝ABsin α；
(2)若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，求PC.
(1)证明：因为∠APB＝180°－∠PAB－∠PBA＝180°－α－∠PBA＝180°－(α＋∠PBA)，而∠ABC＝∠PBA＋∠PBC＝∠PBA＋α，
所以sin ∠APB＝sin ∠ABC，
在△ABP中，由正弦定理知，＝，
所以ABsin α＝PBsin ∠APB＝PBsin ∠ABC，得证．
(2)解：由(1)知，PBsin ∠ABC＝ABsin α，
因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以PB＝sin α，
而∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－(α＋∠PCB)＝180°－∠ACB＝135°，
在△BCP中，由正弦定理知，
＝＝，
所以＝＝＝，
解得cos α＝2sin α，PC＝ sin α，
因为sin2α＋cos2α＝1，且α∈(0°，45°)，所以sin α＝，
故PC＝sin α＝.