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2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数 5，0，3−64，π，其中，无理数共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 25的平方根是( )
A. 5 B. ±5 C. 5 D. ± 5
3. 数轴上表示1， 2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是( )
A. 2−1 B. 1− 2 C. 2− 2 D. 2−2
4. 下列运算中，计算正确的是( )
A. a3+a3=a6 B. (2a2)3=6a6 C. a2⋅a3=a6 D. (2a3)2=4a6
5. 若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为( )
A. ±16 B. ±12 C. 12 D. −12
6. 如果把分式3xx2+y2中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小3倍
7. 方程x−2x−4−3=2x−4有增根，则增根是( )
A. x=6 B. x=5 C. x=4 D. x=3
8. 关于x的不等式组2x+13≥x−12x>a+1有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A. −7 B. −3 C. 0 D. 7
9. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是( )
A. − 2, 2 B. 2−1， 2+1
C. 1− 2，1+ 2 D. 1− 2， 2
10. 将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为( )
A. 16 B. 24 C. 30 D. 40
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. (−5)2= ______ ．
12. 已知x+y=3，x2+y2=11，则xy= ______ ．
13. 已知a1=t1+t，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2022= ______ (用含有t的式子表示)．
14. 如图，在锐角△ABC中，AC=8cm，S△ABC=18cm2，AD平分∠BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______cm．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 25+(−2023)0+(12)−1．
16. (本小题8.0分)
解不等式组1−12(3−x)
先化简，再求值：(xx+2+2x−2)÷x2+4x+2，其中x=2022．
18. (本小题8.0分)
某校需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
(1)求A、B两种奖品单价各是多少元？
(2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，求出自变量m的取值范围．
19. (本小题10.0分)
如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点．
(1)根据要求在网格中画图并标注相关字母：
①画线段AB；
②画直线AC；
③过点B画AD的平行线BE；
④过点D画AC的垂线，垂足为F．
(2)点D与直线AC上各点连接的所有线段中，最短线段是______ ，依据是______ ．
20. (本小题10.0分)
实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)上述操作能验证的公式是______ (请选择正确的一个)．
A.a2+ab=a(a+b) B.a2−b2=(a−b)(a+b) C.a2−2ab+b2=(a−b)2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______ ；②计算：82−72+62−52+42−32+22−1；③计算：(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)．
21. (本小题12.0分)
如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3=180°．
试说明：∠GDC=∠B，在下列解答中，填空(理由或数学式)．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADB=∠EFB=90°(______ ).
∴EF//AD(______ ).
∴ ______ +∠2=180°(______ ).
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3(______ ).
∴AB// ______ (______ ).
∴∠GDC=∠B(______ ).
22. (本小题12.0分)
某学校2021年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000元，购买乙种足球共花费2800元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2022年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
23. (本小题14.0分)
如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点G在点F的右侧时，若α=30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：3−64=−4，
无理数有： 5，π，共2个，
故选：B．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样无限不循环小数．
2.【答案】B
【解析】解；25的平方根是±5，
故选：B．
根据开平方的意义，可得答案．
本题考查了平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
3.【答案】C
【解析】解：∵数轴上1， 2的对应点分别是点A和点B，
∴AB= 2−1，
∵A是线段BC的中点，
∴CA=AB，
∴点C的坐标为：1−( 2−1)=2− 2．
故选：C．
首先根据数轴上1， 2的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
4.【答案】D
【解析】解：A.a3+a3=2a3，故本选项不合题意；
B.(2a2)3=8a6，故本选项不合题意；
C.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
D.(2a3)2=4a6，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴4x2+mx+9=(2x±3)2=4x2±12x+9，
∴m=±12，
m=±12．
故选：B．
这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3积的2倍．
此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6.【答案】D
【解析】解：分式3xx2+y2中的x和y都扩大3倍，得
3×3x(3x)2+(3y)2=9x9x2+9y2=13×3xx2+y2
所以分式的值缩小了3倍；
故选：D．
根据分式的性质即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质，把x，y换成3x，3y是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母x−4=0，
∴x=4，即分式方程增根为x=4，
故选：C．
根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据分式方程判断出最简公分母，令最简公分母为零即可求出x的值．
此题考查了分式方程的求解．注意增根形成的原因：最简公分母为零．
8.【答案】D
【解析】解：2x+13≥x−1①2x>a+1②，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x>a+12，
所以不等式组的解集为：a+12
∴2≤a+12<3，
解得3≤a<5，
∵a为整数，
∴a为3，4，
∴和为3+4=7，
故选：D．
分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：数轴上正方形的对角线长为： 12+12= 2，由图中可知1和A之间的距离为 2．
∴点A表示的数是1− 2；点B表示的数为1+ 2．
故选：C．
先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数−较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
10.【答案】D
【解析】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，
则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，
5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2 (x+y)+(2x+y)=16，
解得，x+y=4，
如图，图2中长方形的周长为48，
∴AB+2 (x+y)+2x+y+y−x=24，
∴AB=24−3x−4y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2 (AB+AD)
=2(24−3x−4y+x+y+2x+y+y−x)
=2 (24−x−y)
=48−2 (x+y)
=48−8=40，
故选：D．
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2(AB+AD)，计算即可得到答案．
此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
11.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5，
故答案为：5．
a2=|a|，据此即可求得答案．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：∵x+y=3，
∴(x+y)2=9，
∴x2+y2+2xy=9
∵x2+y2=11，
∴11+2xy=9，
∴xy=−1．
故答案为：−1．
把x+y=3两边平方，然后利用完全平方公式求解即可．
本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
13.【答案】−1t
【解析】解：∵a1=t1+t，
a2=11−t1+t=t+1，
a3=11−(t+1)=−1t，
a4=11−(−1t)=t1+t，
∴结果每3个一循环，
∵2022=3×674，
∴a2022=−1t．
故答案为：−1t．
根据题意求出a1，a2，a3，a4，并从中找出规律即可求出答案．
本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
14.【答案】92
【解析】解：作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE(E在AC上)，
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴R必在AC上，
∵N关于AD的对称点为R，
∴MR=MN，
∴BM+MN=BM+MR，
即BM+MN=BR≥BE(垂线段最短)，
∵△ABC的面积是18cm2，AC=8cm，
∴12×8×BE=18，
∴BE=92cm，
即BM+MN的最小值为92cm．
故答案为：92．
根据题意画出符合条件的图形，作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE(E在AC上)，求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值．
本题考查了平面展开−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
15.【答案】解：原式=5+1+2=8．
【解析】由算术平方根性质解得 25=5，由a0=1(a≠0)解得(−2023)0=1，(12)−1=112=2据此解题．
本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16.【答案】解：1−12(3−x)
解不等式②得，x≤4，
把不等式的解集表示在数轴上，
∴原不等式组的解集是−1
此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=[x(x−2)(x+2)(x−2)+2(x+2)(x+2)(x−2)]÷x2+4x+2=x2+4(x+2)(x−2)⋅x+2x2+4=1x−2；
当x=2022时，原式=12022−2=12020．
【解析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
依题意得：3x+2y=605x+3y=95，
解得：x=10y=15．
答：A种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是15元．
(2)若购买A种奖品m件，则购买B种奖品(100−m)件，
依题意得：m≤3(100−m)10m+15(100−m)≤1150，
解得：70≤m≤75．
答：自变量m的取值范围为70≤m≤75．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A、B两种奖品的单价；
(2)若购买A种奖品m件，则购买B种奖品(100−m)件，根据“购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
19.【答案】DF 垂线段最短
【解析】解：(1)如图：
①线段AB即为所求；②直线AC即为所求；③BE即为所求；④点F即为所求；
(2)根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，DF最短，理由是垂线段最短；
∵DF⊥AC，
∴DF最短；
(1)根据线段的定义，直线的定义，平行线的作法，垂线的作法作图即可；
(2)根据垂线段的性质判断即可．
本题考查了线段、直线、平行线、垂线的作法，垂线段的性质；掌握利用直尺和三角板作图的步骤是解题关键．
20.【答案】B 4
【解析】解：(1)图一中的阴影部分面积为：a2−b2，
图二中阴影部分面积为：(a+b)(a−b)，
而这两者面积相等，所以有：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：B．
(2)①4a2−b2=(2a+b)(2a−b)=24，
又2a+b=6，
∴2a−b=4．
②82−72+62−52+42−32+22−1
=(8+7)(8−7)+(6+5)(6−5)+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)
=8+7+6+5+4+3+2+1
=4×9
=36．
③(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)
=(2n+2n−1)(2n−2n+1)+(2n−2+2n−3)(2n−2+2n+3)+……+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)=2n+2n−1+2n−2+2n−3+⋯+4+3+2+1
=(2n+1)2n2
=2n2+n．
故答案为：B，4．
(1)根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；
(2)使用(1)得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．
本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．
21.【答案】垂直的定义 同位角相等两直线平行 ∠1 两直线平行同旁内角互补 同角的补角相等 DG 内错角相等两直线平行 两直线平行同位角相等
【解析】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义)，
∴EF//AD (同位角相等两直线平行)，
∴∠1+∠2=180°(两直线平行同旁内角互补)，
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3 (同角的补角相等)，
∴AB//DG(内错角相等两直线平行)，
∴∠GDC=∠B (两直线平行同位角相等)．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)设甲种足球每个x元，则乙种足球每个(x+20)元，
由题意得：4000x=2×2800x+20，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴50+20=70(元)．
答：一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元．
(2)设购买乙种足球m个，50×1.1=55，70×0.9=63，
由题意得：55(50−m)+63m≤2910，
m≤20．
答：这所学校最多可购买20个乙种足球．
【解析】(1)设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要(x+20)元，根据数量=总价÷单价结合购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可购买m个乙种足球，则购买(50−m)个甲种足球，根据总价=单价×数量结合此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)结论：AB//CD．
理由：如图1中，
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME．
∴∠AEM=∠FME，
∴AB//CD．
(2)①如图2中，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∵α=30°，
∴∠EHN=90°−∠HEN=30°．
∴∠HEN=60°，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF=∠HEG，
∵∠AEM=∠EMF，
∴∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=12∠AEG=60°，
∴∠AEG=120°，则∠GEB=60°，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β=60°；
②猜想：α=12β或α=90°−12β
理由：1)当点G在F的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°−β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF+∠HEF=12∠AEG=90°−12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=90°−∠HEN=12β．
(2)当点G在F的左侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=180°−∠EGH=180°−β，∠AEG=∠EGH=β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF12(∠AEF−∠FEG)=12∠AEG=12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=90°−∠HEN=90°−12β．
综上所述，α=12β或α=90°−12β．
【解析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM=∠FME即可．
(2)①根据三角形内角和定理得出∠HEN=60°，根据角平分线的定义∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=60°，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠BEG，即可解决问题．
②结论：α=12β.根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．
2022-2023学年安徽省蚌埠市怀远实验中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数 5，0，3−64，π，其中，无理数共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 25的平方根是( )
A. 5 B. ±5 C. 5 D. ± 5
3. 数轴上表示1， 2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是( )
A. 2−1 B. 1− 2 C. 2− 2 D. 2−2
4. 下列运算中，计算正确的是( )
A. a3+a3=a6 B. (2a2)3=6a6 C. a2⋅a3=a6 D. (2a3)2=4a6
5. 若4x2+mx+9是完全平方式，则m的值为( )
A. ±16 B. ±12 C. 12 D. −12
6. 如果把分式3xx2+y2中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小3倍
7. 方程x−2x−4−3=2x−4有增根，则增根是( )
A. x=6 B. x=5 C. x=4 D. x=3
8. 关于x的不等式组2x+13≥x−12x>a+1有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A. −7 B. −3 C. 0 D. 7
9. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是( )
A. − 2, 2 B. 2−1， 2+1
C. 1− 2，1+ 2 D. 1− 2， 2
10. 将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为( )
A. 16 B. 24 C. 30 D. 40
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. (−5)2= ______ ．
12. 已知x+y=3，x2+y2=11，则xy= ______ ．
13. 已知a1=t1+t，a2=11−a1，a3=11−a2，…，an+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2022= ______ (用含有t的式子表示)．
14. 如图，在锐角△ABC中，AC=8cm，S△ABC=18cm2，AD平分∠BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______cm．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算： 25+(−2023)0+(12)−1．
16. (本小题8.0分)
解不等式组1−12(3−x)
先化简，再求值：(xx+2+2x−2)÷x2+4x+2，其中x=2022．
18. (本小题8.0分)
某校需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
(1)求A、B两种奖品单价各是多少元？
(2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，求出自变量m的取值范围．
19. (本小题10.0分)
如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点．
(1)根据要求在网格中画图并标注相关字母：
①画线段AB；
②画直线AC；
③过点B画AD的平行线BE；
④过点D画AC的垂线，垂足为F．
(2)点D与直线AC上各点连接的所有线段中，最短线段是______ ，依据是______ ．
20. (本小题10.0分)
实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)上述操作能验证的公式是______ (请选择正确的一个)．
A.a2+ab=a(a+b) B.a2−b2=(a−b)(a+b) C.a2−2ab+b2=(a−b)2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______ ；②计算：82−72+62−52+42−32+22−1；③计算：(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)．
21. (本小题12.0分)
如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3=180°．
试说明：∠GDC=∠B，在下列解答中，填空(理由或数学式)．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADB=∠EFB=90°(______ ).
∴EF//AD(______ ).
∴ ______ +∠2=180°(______ ).
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3(______ ).
∴AB// ______ (______ ).
∴∠GDC=∠B(______ ).
22. (本小题12.0分)
某学校2021年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000元，购买乙种足球共花费2800元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2022年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
23. (本小题14.0分)
如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点G在点F的右侧时，若α=30°，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：3−64=−4，
无理数有： 5，π，共2个，
故选：B．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样无限不循环小数．
2.【答案】B
【解析】解；25的平方根是±5，
故选：B．
根据开平方的意义，可得答案．
本题考查了平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
3.【答案】C
【解析】解：∵数轴上1， 2的对应点分别是点A和点B，
∴AB= 2−1，
∵A是线段BC的中点，
∴CA=AB，
∴点C的坐标为：1−( 2−1)=2− 2．
故选：C．
首先根据数轴上1， 2的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
4.【答案】D
【解析】解：A.a3+a3=2a3，故本选项不合题意；
B.(2a2)3=8a6，故本选项不合题意；
C.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
D.(2a3)2=4a6，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴4x2+mx+9=(2x±3)2=4x2±12x+9，
∴m=±12，
m=±12．
故选：B．
这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3积的2倍．
此题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6.【答案】D
【解析】解：分式3xx2+y2中的x和y都扩大3倍，得
3×3x(3x)2+(3y)2=9x9x2+9y2=13×3xx2+y2
所以分式的值缩小了3倍；
故选：D．
根据分式的性质即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质，把x，y换成3x，3y是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母x−4=0，
∴x=4，即分式方程增根为x=4，
故选：C．
根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据分式方程判断出最简公分母，令最简公分母为零即可求出x的值．
此题考查了分式方程的求解．注意增根形成的原因：最简公分母为零．
8.【答案】D
【解析】解：2x+13≥x−1①2x>a+1②，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x>a+12，
所以不等式组的解集为：a+12
∴2≤a+12<3，
解得3≤a<5，
∵a为整数，
∴a为3，4，
∴和为3+4=7，
故选：D．
分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：数轴上正方形的对角线长为： 12+12= 2，由图中可知1和A之间的距离为 2．
∴点A表示的数是1− 2；点B表示的数为1+ 2．
故选：C．
先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数−较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
10.【答案】D
【解析】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，
则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，
5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2 (x+y)+(2x+y)=16，
解得，x+y=4，
如图，图2中长方形的周长为48，
∴AB+2 (x+y)+2x+y+y−x=24，
∴AB=24−3x−4y，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2 (AB+AD)
=2(24−3x−4y+x+y+2x+y+y−x)
=2 (24−x−y)
=48−2 (x+y)
=48−8=40，
故选：D．
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2(AB+AD)，计算即可得到答案．
此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
11.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5，
故答案为：5．
a2=|a|，据此即可求得答案．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：∵x+y=3，
∴(x+y)2=9，
∴x2+y2+2xy=9
∵x2+y2=11，
∴11+2xy=9，
∴xy=−1．
故答案为：−1．
把x+y=3两边平方，然后利用完全平方公式求解即可．
本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
13.【答案】−1t
【解析】解：∵a1=t1+t，
a2=11−t1+t=t+1，
a3=11−(t+1)=−1t，
a4=11−(−1t)=t1+t，
∴结果每3个一循环，
∵2022=3×674，
∴a2022=−1t．
故答案为：−1t．
根据题意求出a1，a2，a3，a4，并从中找出规律即可求出答案．
本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
14.【答案】92
【解析】解：作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE(E在AC上)，
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴R必在AC上，
∵N关于AD的对称点为R，
∴MR=MN，
∴BM+MN=BM+MR，
即BM+MN=BR≥BE(垂线段最短)，
∵△ABC的面积是18cm2，AC=8cm，
∴12×8×BE=18，
∴BE=92cm，
即BM+MN的最小值为92cm．
故答案为：92．
根据题意画出符合条件的图形，作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE(E在AC上)，求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值．
本题考查了平面展开−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
15.【答案】解：原式=5+1+2=8．
【解析】由算术平方根性质解得 25=5，由a0=1(a≠0)解得(−2023)0=1，(12)−1=112=2据此解题．
本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16.【答案】解：1−12(3−x)
解不等式②得，x≤4，
把不等式的解集表示在数轴上，
∴原不等式组的解集是−1
此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=[x(x−2)(x+2)(x−2)+2(x+2)(x+2)(x−2)]÷x2+4x+2=x2+4(x+2)(x−2)⋅x+2x2+4=1x−2；
当x=2022时，原式=12022−2=12020．
【解析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
依题意得：3x+2y=605x+3y=95，
解得：x=10y=15．
答：A种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是15元．
(2)若购买A种奖品m件，则购买B种奖品(100−m)件，
依题意得：m≤3(100−m)10m+15(100−m)≤1150，
解得：70≤m≤75．
答：自变量m的取值范围为70≤m≤75．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A、B两种奖品的单价；
(2)若购买A种奖品m件，则购买B种奖品(100−m)件，根据“购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
19.【答案】DF 垂线段最短
【解析】解：(1)如图：
①线段AB即为所求；②直线AC即为所求；③BE即为所求；④点F即为所求；
(2)根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，DF最短，理由是垂线段最短；
∵DF⊥AC，
∴DF最短；
(1)根据线段的定义，直线的定义，平行线的作法，垂线的作法作图即可；
(2)根据垂线段的性质判断即可．
本题考查了线段、直线、平行线、垂线的作法，垂线段的性质；掌握利用直尺和三角板作图的步骤是解题关键．
20.【答案】B 4
【解析】解：(1)图一中的阴影部分面积为：a2−b2，
图二中阴影部分面积为：(a+b)(a−b)，
而这两者面积相等，所以有：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：B．
(2)①4a2−b2=(2a+b)(2a−b)=24，
又2a+b=6，
∴2a−b=4．
②82−72+62−52+42−32+22−1
=(8+7)(8−7)+(6+5)(6−5)+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)
=8+7+6+5+4+3+2+1
=4×9
=36．
③(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+⋯+42−32+22−1(n≥1)
=(2n+2n−1)(2n−2n+1)+(2n−2+2n−3)(2n−2+2n+3)+……+(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)=2n+2n−1+2n−2+2n−3+⋯+4+3+2+1
=(2n+1)2n2
=2n2+n．
故答案为：B，4．
(1)根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；
(2)使用(1)得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．
本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．
21.【答案】垂直的定义 同位角相等两直线平行 ∠1 两直线平行同旁内角互补 同角的补角相等 DG 内错角相等两直线平行 两直线平行同位角相等
【解析】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°(垂直的定义)，
∴EF//AD (同位角相等两直线平行)，
∴∠1+∠2=180°(两直线平行同旁内角互补)，
又∵∠2+∠3=180°(已知)，
∴∠1=∠3 (同角的补角相等)，
∴AB//DG(内错角相等两直线平行)，
∴∠GDC=∠B (两直线平行同位角相等)．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)设甲种足球每个x元，则乙种足球每个(x+20)元，
由题意得：4000x=2×2800x+20，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
∴50+20=70(元)．
答：一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元．
(2)设购买乙种足球m个，50×1.1=55，70×0.9=63，
由题意得：55(50−m)+63m≤2910，
m≤20．
答：这所学校最多可购买20个乙种足球．
【解析】(1)设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要(x+20)元，根据数量=总价÷单价结合购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可购买m个乙种足球，则购买(50−m)个甲种足球，根据总价=单价×数量结合此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)结论：AB//CD．
理由：如图1中，
∵EM平分∠AEF交CD于点M，
∴∠AEM=∠MEF，
∵∠FEM=∠FME．
∴∠AEM=∠FME，
∴AB//CD．
(2)①如图2中，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∵α=30°，
∴∠EHN=90°−∠HEN=30°．
∴∠HEN=60°，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF=∠HEG，
∵∠AEM=∠EMF，
∴∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=12∠AEG=60°，
∴∠AEG=120°，则∠GEB=60°，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β=60°；
②猜想：α=12β或α=90°−12β
理由：1)当点G在F的右侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=∠EGH=β，
∴∠AEG=180°−β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF+∠HEF=12∠AEG=90°−12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=90°−∠HEN=12β．
(2)当点G在F的左侧时，
∵AB//CD，
∴∠BEG=180°−∠EGH=180°−β，∠AEG=∠EGH=β，
∵∠AEM=∠EMF，∠HEF=∠HEG，
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF12(∠AEF−∠FEG)=12∠AEG=12β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE=90°，
∴α=∠EHN=90°−∠HEN=90°−12β．
综上所述，α=12β或α=90°−12β．
【解析】(1)根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM=∠FME即可．
(2)①根据三角形内角和定理得出∠HEN=60°，根据角平分线的定义∠HEN=12∠FEG+12∠AEF=60°，利用平角的定义求出∠GEB的度数，根据平行线的性质求∠BEG，即可解决问题．
②结论：α=12β.根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．
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