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2023年天津市红桥区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年天津市红桥区中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年天津市红桥区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算3÷(−13)的结果等于( )
A. −9 B. 9 C. −1 D. 1
2. 2tan45°的值等于( )
A. 1 B. 22 C. 2 D. 2
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 据2023年5月4日津云报道，今年“五一”假期，我市接待游客约11038500人次，延续了我市第一季度文旅市场热度.将11038500用科学记数法表示应为( )
A. 0.110385×108 B. 1.10385×107 C. 1.10385×106 D. 11.0385×106
5. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 估计 51的值在( )
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
7. 方程组2x+5y=254x+3y=15的解是( )
A. x=5y=3 B. x=0y=5 C. x=3y=7 D. x=1y=2
8. 已知点A(x1,−6)，B(x2,−3 2)，C(x3,3)在反比例函数y=−18x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x1
A. 1 B. −1 C. 1m D. 1m−1
10. 如图，四边形ABCD为菱形，点A(−3,0)，点D(0,4)，点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为( )
A. (5,4)
B. (4,5)
C. (4,3)
D. (3,4)
11. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF.则下列结论中一定正确的是( )
A. EG//HF B. FG=FC
C. ∠EBD=∠DFG D. GF⊥BC
12. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，顶点在第三象限.有下列结论：①abc>0；②7a−c<0；③当x=−t2−4时(t为常数)，y≥c.其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算(−2x2)3的结果等于______．
14. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、4个黑球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．
15. 计算(2 3+1)(2 3−1)的结果等于______ ．
16. 直线y=3x−5与y轴的交点坐标为______ ．
17. 在四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AC，若BC=4，AD= 5，∠ADB=2∠CBD，则AB的长为______ ．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，B为小正方形边的中点，以AB为直径的半圆经过点C，且C为AB的中点．
(1)∠BAC的大小等于______ (度)；
(2)P是BC上的动点，过点P作直线AC的垂线，交AB的延长线于点D；点Q在AC上，且满足AQ= 2BD，连接PQ.当PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的.(不要求证明)
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解不等式组1+x2≥1①3(x−1)≤9②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______ ．
20. (本小题8.0分)
某校为了解学生利用课余时间参加义务劳动的情况，随机调查了部分学生参加义务劳动的时间(单位：h).根据统计的结果，绘制出统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______ ，图①中的m的值为______ ；
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该校有400名学生参加了义务劳动，估计其中劳动时间大于3h的学生人数．
21. (本小题10.0分)
已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，AD与BC相交于点E．
(1)如图①，∠ABC的平分线交AD于点F，求∠DBF的大小；
(2)如图②，AD的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点G，若GB=GE，求∠G的大小．
22. (本小题10.0分)
如图，在海中有一个小岛，在它周围6nmile有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B处测得小岛A在北偏东55°方向，航行6n mile到达C点，这是测得小岛A在北偏东29°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？(参考数据：tan29°≈0.55，tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，tan61°≈1.80)
23. (本小题10.0分)
甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速行驶前往B地，甲车从A地出发行驶2h后，由于车辆发生故障，修车停留了一段时间，修车结束后匀速行驶至B地，结果比乙车晚到了30min，如图是甲、乙两车行驶的路程y(km)与离开A地的时间x(h)的函数图象．
离开A地的时间/h
1
4
7.5
甲车行驶的路程/km
______
180
______
乙车行驶的路程/km
______
240
______
(1)填表：
(2)求甲车从A地到B地的过程中，y关于x的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距60km时，求离开A地的时间(直接写出结果即可)．
24. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，点A(0,2)，点B在x轴的负半轴上，∠OBA=30°.将△OAB绕点O顺时针旋转，得△OA′B′，点A，B旋转后的对应点为A′，B′.记旋转角为α．
(1)如图①，当α=30°时，求△OA′B′与AB的交点C的坐标；
(2)如图②，连接A′B，当A′B′经过点A时，求A′B的长；
(3)设线段A′B的中点为M，连接B′M，求线段B′M的长的取值范围(直接写出结果即可)．
25. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+2(a,b为常数，a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点E．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，在该抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)Q为x轴上方抛物线上的动点，过点Q作直线AQ，BQ，分别交抛物线的对称轴于点M，N，点Q在运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3÷(−13)
=3×(−3)
=−9，
故选：A．
根据有理数的除法运算法则运算即可．
本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算法则，准确计算是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：2tan45°=2×1=2．
故选：D．
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】B
【解析】解：11038500=1.10385×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】D
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左右两边分别是一个小正方形．
故选：D．
根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵49<51<64，
∴7< 51<8，
∴ 51在7到8之间，
故选：D．
先求出 51的范围，即可求出答案．
本题考查了估算无理数的大小．解题的关键是能够正确估算无理数大小，难度不大，注意夹逼法的运用．
7.【答案】B
【解析】解：2x+5y=25①4x+3y=15②，
①×2−②得：7y=35，
解得：y=5，
把y=5代入①得：2x+25=25，
解得：x=0，
则方程组的解为x=0y=5．
故选：B．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8.【答案】C
【解析】解：当y=−6时，−18x1=−6，解得：x1=3；
当y=−3 2时，−18x2=−3 2，解得：x2=3 2；
当y=3时，−18x3=3，解得：x3=−6．
∴x3
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出x1，x2，x3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2，x3的值是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：原式=2m−1−mm(m−1)
=m−1m(m−1)
=1m．
故选：C．
直接利用异分母分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵点A(−3,0)，点D(0,4)，
∴OA=3，OD=4，
∵∠AOD=90°，
∴AD= OA2+OD2= 32+42=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD=5，CD//AB，
∴CD⊥OD，
∴点C的坐标为(5,4)，
故选：A．
由勾股定理得AD=5，再由菱形的性质得CD=AD=5，CD//AB，则CD⊥OD，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：由折叠得，∠A=∠EGB=90°，∠C=∠FHD=90°，
∴∠EGB=∠FHD，
∴EG//HF，故A正确；
由折叠得，FC=FH，
在△FGH中，∠FHD=90°，
∴FH≠FG，
∴FC≠FG，故B不正确；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠得，∠ABE=12∠ABD，∠CDF=12∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴GF与BC不一定垂直，故D不正确；
若∠EBD=∠DFG，
∵∠EBD=∠BDF，
∴∠DFG=∠BDF，
∵∠BDF=∠CDF，
∴∠DFG=∠CDF，
∴FG//CD，
∴FG⊥BC，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
故选：A．
由折叠得∠EGB=∠FHD=90°，得到EG//HF，故A正确；由折叠得，FC=FH，在△FGH中H≠FG，故FC≠FG，故B不正确；证明△ABE≌△CDF，AE=CF，说明GF与BC不一定垂直，故D不正确；只有当GF//CD时，即FG⊥BC时，∠EBD=∠DFG，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
本题考查了矩形的性质的应用，三角形的全等的证明及性质的应用是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，
∵顶点在第三象限，
∴抛物线开口向上，
∴a>0，c>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴abc>0，故①正确，
∵−b2a=−4，
∴b=8a，
∵当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴−7a+c>0，
∴7a−c<0，故②正确，
∵抛物线经过点(−6,0)，(−2,0)，
∴抛物线表达式为：y=a(x+6)(x+2)=ax2+8ax+12a，
∴c=12a，
当x=−t2−4时，y=a(−t2−4+6)(−t2−4+2)=a(t4−4)，
∴y−c=a(t4−4)−12a=a(t4−16)，
∵a>0，
∴当t4−16≥0，即t≥2或t≤−2时，有y≥c，故③错误，
故选：C．
根据抛物线经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，顶点在第三象限，可判断a、b、c的范围；根据对称轴为直线x=−4可得b=8a，再由当x=−1时，y=a−b+c>0，可判断②，由抛物线与x轴的交点可得c=12a，再将x=−t2−4代入抛物线可得y=a(t4−4)，由y≥c可求t的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象与字母系数的关系，熟练掌握二次函数中a、b、c的作用是解决本题的关键．
13.【答案】−8x6
【解析】解：(−2x2)3=−8x6，
故答案为：−8x6．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
此题主要考查了积的乘方，关键是掌握积的乘方的计算法则．
14.【答案】29
【解析】解：从袋子中随机取出1个球，共有9种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为29，
故答案为：29．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15.【答案】11
【解析】解：(2 3+1)(2 3−1)
=(2 3)2−12
=12−1
=11，
故答案为：11．
根据平方差公式，可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．
16.【答案】(0,−5)
【解析】解：当x=0时，y=3×0−5=−5，
即直线y=3x−5与y轴的交点坐标(0,−5)，
故答案为：(0,−5)．
令x−0时，求出y的值即可得出结论．
本题考察一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点满足函数关系式是关键．
17.【答案】 13
【解析】解：如图，延长AD，BC交于点E，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠ADB=2∠CBD，
∠ADB=∠E+∠DBE，
∴E=∠DBE，
∴BD=ED，
又∵∠BCD=90°，
∴BC=CE=4，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC=2，
∴HE=6，
∵E=E，AHE=∠DCE=90°，
∴AHE∽△DCE，
∴CEHE=DEAE，
∴46=DEDE+ 5，
解得：DE=2 5，
∴AE=AD+DE=3 5，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AH= AE2−HE2= 45−36=3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB= AH2+BH2= 9+3= 13，
故答案为： 13．
延长AD，BC交于点E，过点A作AH⊥BC于H，由外角的性质可证BD=ED，由等腰三角形的性质可得BC=CE=4，BH=CH=2，通过证明△AHE∽△DCE，可求AE=3 5，利用勾股定理可求AH，AB的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键
18.【答案】45
【解析】解：(1)连接BC，AB为圆的直径，∠ACB=90°，
∵C为AB的中点，AC=BC，
∴AC=BC，即△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
故答案为：45；
(2)如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH相交于点I；取格点M，N，连接MN与AB相交于点O；连接IO，与半圆相交于点P，则点P即为所求．
(1)连接BC，证明△ACB是等腰直角三角形即可；
(2)如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH相交于点I；取格点M，N，连接MN与AB相交于点O；连接IO，与半圆相交于点P，则点P即为所求．
本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
19.【答案】x≥1 x≤4 1≤x≤4
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥1；
(2)解不等式②，得x≤4；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
(4)原不等式组的解集为1≤x≤4，
故答案为：x≥1；x≤4；1≤x≤4．
分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，即可确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20.【答案】40 30
【解析】解：(1)4÷10%=40(人)．1240×100%=30%．
故答案为：40；30．
(2)由题可得平均数=4×2+4×2.5+12×3+16×3.5+4×440=3.15(h)．
众数为：3.5(h)
中位数=3+3.52=3.25(h)．
答：这组数据的平均数是3.15；众数是3.5；中位数是3.25．
(3)16+440×400=200(人)．
答：估计其中劳动时间大于3h的学生人数为200人．
(1)利用两个统计图中已知的信息劳动2小时的人数除以占比求出抽样调查的人数，利用劳动3小时的人数除以调查总人数求出m的值．
(2)根据平均数、众数、中位数的定义分别求出答案．
(3)利用用样本估计总体求出该校劳动时间大于3h的学生人数．
本题以数据统计为背景考查了数据整理与分析，考核了学生在统计图中数形结合的能力，解题关键是掌握平均数、众数、中位数的求法，以及如何利用样本估计总体．
21.【答案】解：(1)如图①，
∵D为BC的中点，
∴∠FAB=∠EBD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBA=∠EBF，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBD+∠EBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∵AB是圆的直径，
∴∠D=90°，
∴∠DBF=45°；
(2)如图②，
连接BD，
∵BG切圆于B，
∴直径AB⊥BG，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠G+∠BAG=∠BAG+∠ABD=90°，
∴∠G=∠ABD，
∵D是BC中点，
∴∠EAB=∠EBD，
∵∠GEB=∠EAB+∠EBA，
∴∠GEB=∠EBD+∠EBA=∠ABD，
∴∠GEB=∠G，
∵GE=GB，
∴∠GEB=∠GBE，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠G=60°．
【解析】(1)由圆周角定理得到∠FAB=∠EBD，∠D=90°，由角平分线定义得到∠FBA=∠EBF，因此∠FAB+∠FBA=∠EBD+∠EBF，得到∠DFB=∠DBF，因此∠DBF=45°；
(2)连接BD，由圆周角定理，三角形外角的性质推出∠GEB=∠ABD，由余角的性质得到∠G=∠ABD，得到∠G=∠GEB，由等腰三角形的性质得到∠GEB=∠GBE，因此△GEB是等边三角形，得到∠G=60°．
本题考查圆周角定理，切线的性质，角平分线定义，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由以上知识点证明∠DFB=∠DBF，∠GEB=∠G，从而得到△DBF是等腰直角三角形，△GEB是等边三角形．
22.【答案】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
设AD为xnmile，
由题意得，∠B=90°−55°=35°，∠ACD=90°−29°=61°，
则CD=ADtan∠ACD=x1.8，BD=ADtan∠B=x0.7，
由题意得，x0.7−x1.8=6，
解得x≈6.87，
∵6.87nmile>6nmile，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【解析】作AD⊥BC，交BC的延长线于D，设AD为xnmile，根据正切的概念用x分别表示出BD、CD，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
23.【答案】90 405 60 450
【解析】解：(1)由图象可知，甲车的速度为1802=90(km/h)，乙车的速度为4507.5=60(km/h)，
∴当x=1时，甲车行驶的路程为90km，乙车行驶的路程为60km；
当x=4时，甲车在修车，甲车行驶的路程为180km，乙车行驶的路程为4×60=240(km)；
当x=7.5时，甲车行驶的路程为180+(7.5−5)×90=405(km)，乙车行驶的路程为7.5×60=450(km)；
故答案为：90，405；60，450；
(2)①0≤x≤2时，y=90x；
②当2
解得k=90b=−270，
∴y=90x−270，
综上所述，y关于x的函数解析式为y=90x(0≤x≤2)180(2
解得x=2或4或7，
答：当甲、乙两车相距60k的路程时，离开A地的时间为2小时或4小时或7小时．
(1)根据图象可得两车速度，进而得出结论；
(2)根据(1)的速度，利用待定系数法解答即可；
(3)根据速度，路程，时间之间的关系分情况讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，理解题意，从函数图象中获取信息是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ABO=∠BOB′=30°，
∴CB=CO，∠BAO=∠AOC=60°，
∴OC=AC，
∴点C是AB的中点，
∵OA=2，
∴OB=OA⋅tan∠BAO=2 3，
∴B(−2 3,0)，
∴C(− 3,1)；
(2)如图1，
作A′D⊥OA于D，
∵OA=OA′=2，∠AA′O=60°，
∴△AOA′是等边三角形，
∴OA′=OA=2，
∴OD=12OA=1，A′D= 32OA′= 3，
∴A′( 3,1)，
∴A′B= (2 3+ 3)2+12=2 7；
(3)如图2，
作A′C⊥x轴于点C，作B′D⊥BC于D，
∴∠OCA′=∠ODB′=90°，
∴∠COA′+∠CA′O=90°，
∵∠A′OB′=90°，
∴∠COA′+∠DOB′=90°，
∴∠DOB′=∠CA′O，
∴△COA′∽△DB′O，
∴A′COD=OCOB′=OA′OB′= 33，
设点A′(a,b)，则B′(− 3b, 3a)，M(a−2 32,b2)，
∴a2+b2=4，
∴B′M2=(a+2 3b−2 32)2+(b−2 3a2)2=16−( 3a+6b)，
设a=2cosα，b=2sinα，
∴B′M2=16−2 39cos(α−θ)(其中cosθ= 1313)，
∴ 16−2 39≤B′M≤ 16+2 39．
【解析】(1)可推出点C是AB的中点，进而求得结果；
(2)作A′D⊥OA于D，可推出△AOA′是等边三角形，进而表示出点A′DE坐标，进一步得出结果；
(3)作A′C⊥x轴于点C，作B′D⊥BC于D，可证得△COA′∽△DB′O，从而A′COD=OCOB′=OA′OB′= 33，设点A′(a,b)，则B′(− 3b, 3a)，M(a−2 32,b2)，可表示出B′M2=(a+2 3b−2 32)2+(b−2 3a2)2=16−( 3a+6b)，设a=2cosα，b=2sinα，从而B′M2=16−2 39cos(α−θ)(其中cosθ= 1313)，进而得出 16−2 39≤B′M≤ 16+2 39．
本题考查了解直角三角形，直角坐标系中，两点之间的距离公式，中点坐标公式等知识，解决问题的关键解直角三角形的运用．
25.【答案】解：(1)抛物线y=ax2+bx+2(a,b为常数，a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，
a−b+2=09a+3b+2=0，
解得a=−23b=43．
∴y=−23x2+43x+2．
，
(2)y=−23x2+43x+2．
∴点C坐标(0,2)，
①P点在BC的上方，∠PCB=∠ABC，
∴PC//x轴，
∴点C、P是一对对称点，对称轴是直线x=−b2a=1．
∴P点坐标为(2,2)．
②P在BC下方，∠PCB=∠ABC，
∴DC=DB，
设D的坐标为(d,0)，
∴BD=CD=3−d，
根据勾股定理得，4+d2=(3−d)2，
∴d=56，
∴D的坐标(56,0)．
设直线CD的表达式为y=kx+b，
0=56k+bb=2，
解得：k=−125b=2，
∴y=−125x+2．
当−23x2+43x+2=−125x+2时，
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=285．
∴x=285，
y=−125×285+2=−28625．
∴P的坐标(285,−28625).
，
(3)作QM⊥x轴于F．
∵MN⊥x轴于E，
∴MN//QF，
∴AEAF=EMFQ,ENFQ=EBFB，
∴EM+ENFQ=AEAF+EBFB，
设Q点坐标为(x,y)，
∴AE=2，AF=x+1，BE=2，BF=3−x，FQ=y=−23x2+43x+2．
∴EM+EN=(2x+1+23−x)×(−23x2+43x+2)
=(2x+1+23−x)×(−23)×(x2−2x−3)
=(−23)(2x+1+23−x)×(x−3)(x+1)
=−43×(x−3−x+1)
=163．
∴EM+EN的值为定值，EM=EN=163．
【解析】(1)把A、B两点坐标代入y=ax2+bx+2，求出a，b的值即可．
(2)点P的位置要分类讨论，P在BC上方时，P和C是对称点，已知C的坐标，可求P.P在BC下方时，利用等边对等角，勾股定理求出D的坐标，求出CD的表达式，再求直线CD和抛物线的交点坐标，可得P的坐标．
(3)添加辅助线QF⊥x轴，得平行线，找出成比例线段，用坐标表示线段，求出EM+EN的值．
此题考查了待定系数法，二次函数的性质，等角对等边，勾股定理，比例线段等知识点，以及数形结合的数学思想，难度较大，得分率较低．
2023年天津市红桥区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算3÷(−13)的结果等于( )
A. −9 B. 9 C. −1 D. 1
2. 2tan45°的值等于( )
A. 1 B. 22 C. 2 D. 2
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 据2023年5月4日津云报道，今年“五一”假期，我市接待游客约11038500人次，延续了我市第一季度文旅市场热度.将11038500用科学记数法表示应为( )
A. 0.110385×108 B. 1.10385×107 C. 1.10385×106 D. 11.0385×106
5. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 估计 51的值在( )
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
7. 方程组2x+5y=254x+3y=15的解是( )
A. x=5y=3 B. x=0y=5 C. x=3y=7 D. x=1y=2
8. 已知点A(x1,−6)，B(x2,−3 2)，C(x3,3)在反比例函数y=−18x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x1
A. 1 B. −1 C. 1m D. 1m−1
10. 如图，四边形ABCD为菱形，点A(−3,0)，点D(0,4)，点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为( )
A. (5,4)
B. (4,5)
C. (4,3)
D. (3,4)
11. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，连接BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，翻折后点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连接GF.则下列结论中一定正确的是( )
A. EG//HF B. FG=FC
C. ∠EBD=∠DFG D. GF⊥BC
12. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，顶点在第三象限.有下列结论：①abc>0；②7a−c<0；③当x=−t2−4时(t为常数)，y≥c.其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算(−2x2)3的结果等于______．
14. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、4个黑球和3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．
15. 计算(2 3+1)(2 3−1)的结果等于______ ．
16. 直线y=3x−5与y轴的交点坐标为______ ．
17. 在四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AC，若BC=4，AD= 5，∠ADB=2∠CBD，则AB的长为______ ．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，B为小正方形边的中点，以AB为直径的半圆经过点C，且C为AB的中点．
(1)∠BAC的大小等于______ (度)；
(2)P是BC上的动点，过点P作直线AC的垂线，交AB的延长线于点D；点Q在AC上，且满足AQ= 2BD，连接PQ.当PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的.(不要求证明)
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解不等式组1+x2≥1①3(x−1)≤9②，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______ ．
20. (本小题8.0分)
某校为了解学生利用课余时间参加义务劳动的情况，随机调查了部分学生参加义务劳动的时间(单位：h).根据统计的结果，绘制出统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______ ，图①中的m的值为______ ；
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该校有400名学生参加了义务劳动，估计其中劳动时间大于3h的学生人数．
21. (本小题10.0分)
已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点，AD与BC相交于点E．
(1)如图①，∠ABC的平分线交AD于点F，求∠DBF的大小；
(2)如图②，AD的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点G，若GB=GE，求∠G的大小．
22. (本小题10.0分)
如图，在海中有一个小岛，在它周围6nmile有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B处测得小岛A在北偏东55°方向，航行6n mile到达C点，这是测得小岛A在北偏东29°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？(参考数据：tan29°≈0.55，tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，tan61°≈1.80)
23. (本小题10.0分)
甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速行驶前往B地，甲车从A地出发行驶2h后，由于车辆发生故障，修车停留了一段时间，修车结束后匀速行驶至B地，结果比乙车晚到了30min，如图是甲、乙两车行驶的路程y(km)与离开A地的时间x(h)的函数图象．
离开A地的时间/h
1
4
7.5
甲车行驶的路程/km
______
180
______
乙车行驶的路程/km
______
240
______
(1)填表：
(2)求甲车从A地到B地的过程中，y关于x的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距60km时，求离开A地的时间(直接写出结果即可)．
24. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，点A(0,2)，点B在x轴的负半轴上，∠OBA=30°.将△OAB绕点O顺时针旋转，得△OA′B′，点A，B旋转后的对应点为A′，B′.记旋转角为α．
(1)如图①，当α=30°时，求△OA′B′与AB的交点C的坐标；
(2)如图②，连接A′B，当A′B′经过点A时，求A′B的长；
(3)设线段A′B的中点为M，连接B′M，求线段B′M的长的取值范围(直接写出结果即可)．
25. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+2(a,b为常数，a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点E．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，在该抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)Q为x轴上方抛物线上的动点，过点Q作直线AQ，BQ，分别交抛物线的对称轴于点M，N，点Q在运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3÷(−13)
=3×(−3)
=−9，
故选：A．
根据有理数的除法运算法则运算即可．
本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算法则，准确计算是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：2tan45°=2×1=2．
故选：D．
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】B
【解析】解：11038500=1.10385×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】D
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左右两边分别是一个小正方形．
故选：D．
根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵49<51<64，
∴7< 51<8，
∴ 51在7到8之间，
故选：D．
先求出 51的范围，即可求出答案．
本题考查了估算无理数的大小．解题的关键是能够正确估算无理数大小，难度不大，注意夹逼法的运用．
7.【答案】B
【解析】解：2x+5y=25①4x+3y=15②，
①×2−②得：7y=35，
解得：y=5，
把y=5代入①得：2x+25=25，
解得：x=0，
则方程组的解为x=0y=5．
故选：B．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8.【答案】C
【解析】解：当y=−6时，−18x1=−6，解得：x1=3；
当y=−3 2时，−18x2=−3 2，解得：x2=3 2；
当y=3时，−18x3=3，解得：x3=−6．
∴x3
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出x1，x2，x3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2，x3的值是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：原式=2m−1−mm(m−1)
=m−1m(m−1)
=1m．
故选：C．
直接利用异分母分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵点A(−3,0)，点D(0,4)，
∴OA=3，OD=4，
∵∠AOD=90°，
∴AD= OA2+OD2= 32+42=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD=5，CD//AB，
∴CD⊥OD，
∴点C的坐标为(5,4)，
故选：A．
由勾股定理得AD=5，再由菱形的性质得CD=AD=5，CD//AB，则CD⊥OD，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：由折叠得，∠A=∠EGB=90°，∠C=∠FHD=90°，
∴∠EGB=∠FHD，
∴EG//HF，故A正确；
由折叠得，FC=FH，
在△FGH中，∠FHD=90°，
∴FH≠FG，
∴FC≠FG，故B不正确；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠得，∠ABE=12∠ABD，∠CDF=12∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴GF与BC不一定垂直，故D不正确；
若∠EBD=∠DFG，
∵∠EBD=∠BDF，
∴∠DFG=∠BDF，
∵∠BDF=∠CDF，
∴∠DFG=∠CDF，
∴FG//CD，
∴FG⊥BC，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
故选：A．
由折叠得∠EGB=∠FHD=90°，得到EG//HF，故A正确；由折叠得，FC=FH，在△FGH中H≠FG，故FC≠FG，故B不正确；证明△ABE≌△CDF，AE=CF，说明GF与BC不一定垂直，故D不正确；只有当GF//CD时，即FG⊥BC时，∠EBD=∠DFG，而GF与BC不一定垂直，故C不正确．
本题考查了矩形的性质的应用，三角形的全等的证明及性质的应用是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，
∵顶点在第三象限，
∴抛物线开口向上，
∴a>0，c>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴abc>0，故①正确，
∵−b2a=−4，
∴b=8a，
∵当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴−7a+c>0，
∴7a−c<0，故②正确，
∵抛物线经过点(−6,0)，(−2,0)，
∴抛物线表达式为：y=a(x+6)(x+2)=ax2+8ax+12a，
∴c=12a，
当x=−t2−4时，y=a(−t2−4+6)(−t2−4+2)=a(t4−4)，
∴y−c=a(t4−4)−12a=a(t4−16)，
∵a>0，
∴当t4−16≥0，即t≥2或t≤−2时，有y≥c，故③错误，
故选：C．
根据抛物线经过点(−6,0)，对称轴为直线x=−4，顶点在第三象限，可判断a、b、c的范围；根据对称轴为直线x=−4可得b=8a，再由当x=−1时，y=a−b+c>0，可判断②，由抛物线与x轴的交点可得c=12a，再将x=−t2−4代入抛物线可得y=a(t4−4)，由y≥c可求t的取值范围．
本题主要考查了二次函数图象与字母系数的关系，熟练掌握二次函数中a、b、c的作用是解决本题的关键．
13.【答案】−8x6
【解析】解：(−2x2)3=−8x6，
故答案为：−8x6．
根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
此题主要考查了积的乘方，关键是掌握积的乘方的计算法则．
14.【答案】29
【解析】解：从袋子中随机取出1个球，共有9种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为29，
故答案为：29．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15.【答案】11
【解析】解：(2 3+1)(2 3−1)
=(2 3)2−12
=12−1
=11，
故答案为：11．
根据平方差公式，可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．
16.【答案】(0,−5)
【解析】解：当x=0时，y=3×0−5=−5，
即直线y=3x−5与y轴的交点坐标(0,−5)，
故答案为：(0,−5)．
令x−0时，求出y的值即可得出结论．
本题考察一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点满足函数关系式是关键．
17.【答案】 13
【解析】解：如图，延长AD，BC交于点E，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠ADB=2∠CBD，
∠ADB=∠E+∠DBE，
∴E=∠DBE，
∴BD=ED，
又∵∠BCD=90°，
∴BC=CE=4，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC=2，
∴HE=6，
∵E=E，AHE=∠DCE=90°，
∴AHE∽△DCE，
∴CEHE=DEAE，
∴46=DEDE+ 5，
解得：DE=2 5，
∴AE=AD+DE=3 5，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AH= AE2−HE2= 45−36=3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB= AH2+BH2= 9+3= 13，
故答案为： 13．
延长AD，BC交于点E，过点A作AH⊥BC于H，由外角的性质可证BD=ED，由等腰三角形的性质可得BC=CE=4，BH=CH=2，通过证明△AHE∽△DCE，可求AE=3 5，利用勾股定理可求AH，AB的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键
18.【答案】45
【解析】解：(1)连接BC，AB为圆的直径，∠ACB=90°，
∵C为AB的中点，AC=BC，
∴AC=BC，即△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
故答案为：45；
(2)如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH相交于点I；取格点M，N，连接MN与AB相交于点O；连接IO，与半圆相交于点P，则点P即为所求．
(1)连接BC，证明△ACB是等腰直角三角形即可；
(2)如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH相交于点I；取格点M，N，连接MN与AB相交于点O；连接IO，与半圆相交于点P，则点P即为所求．
本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
19.【答案】x≥1 x≤4 1≤x≤4
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥1；
(2)解不等式②，得x≤4；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
(4)原不等式组的解集为1≤x≤4，
故答案为：x≥1；x≤4；1≤x≤4．
分别求出每一个不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上，即可确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20.【答案】40 30
【解析】解：(1)4÷10%=40(人)．1240×100%=30%．
故答案为：40；30．
(2)由题可得平均数=4×2+4×2.5+12×3+16×3.5+4×440=3.15(h)．
众数为：3.5(h)
中位数=3+3.52=3.25(h)．
答：这组数据的平均数是3.15；众数是3.5；中位数是3.25．
(3)16+440×400=200(人)．
答：估计其中劳动时间大于3h的学生人数为200人．
(1)利用两个统计图中已知的信息劳动2小时的人数除以占比求出抽样调查的人数，利用劳动3小时的人数除以调查总人数求出m的值．
(2)根据平均数、众数、中位数的定义分别求出答案．
(3)利用用样本估计总体求出该校劳动时间大于3h的学生人数．
本题以数据统计为背景考查了数据整理与分析，考核了学生在统计图中数形结合的能力，解题关键是掌握平均数、众数、中位数的求法，以及如何利用样本估计总体．
21.【答案】解：(1)如图①，
∵D为BC的中点，
∴∠FAB=∠EBD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBA=∠EBF，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBD+∠EBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∵AB是圆的直径，
∴∠D=90°，
∴∠DBF=45°；
(2)如图②，
连接BD，
∵BG切圆于B，
∴直径AB⊥BG，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠G+∠BAG=∠BAG+∠ABD=90°，
∴∠G=∠ABD，
∵D是BC中点，
∴∠EAB=∠EBD，
∵∠GEB=∠EAB+∠EBA，
∴∠GEB=∠EBD+∠EBA=∠ABD，
∴∠GEB=∠G，
∵GE=GB，
∴∠GEB=∠GBE，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠G=60°．
【解析】(1)由圆周角定理得到∠FAB=∠EBD，∠D=90°，由角平分线定义得到∠FBA=∠EBF，因此∠FAB+∠FBA=∠EBD+∠EBF，得到∠DFB=∠DBF，因此∠DBF=45°；
(2)连接BD，由圆周角定理，三角形外角的性质推出∠GEB=∠ABD，由余角的性质得到∠G=∠ABD，得到∠G=∠GEB，由等腰三角形的性质得到∠GEB=∠GBE，因此△GEB是等边三角形，得到∠G=60°．
本题考查圆周角定理，切线的性质，角平分线定义，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是由以上知识点证明∠DFB=∠DBF，∠GEB=∠G，从而得到△DBF是等腰直角三角形，△GEB是等边三角形．
22.【答案】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于D，
设AD为xnmile，
由题意得，∠B=90°−55°=35°，∠ACD=90°−29°=61°，
则CD=ADtan∠ACD=x1.8，BD=ADtan∠B=x0.7，
由题意得，x0.7−x1.8=6，
解得x≈6.87，
∵6.87nmile>6nmile，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【解析】作AD⊥BC，交BC的延长线于D，设AD为xnmile，根据正切的概念用x分别表示出BD、CD，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
23.【答案】90 405 60 450
【解析】解：(1)由图象可知，甲车的速度为1802=90(km/h)，乙车的速度为4507.5=60(km/h)，
∴当x=1时，甲车行驶的路程为90km，乙车行驶的路程为60km；
当x=4时，甲车在修车，甲车行驶的路程为180km，乙车行驶的路程为4×60=240(km)；
当x=7.5时，甲车行驶的路程为180+(7.5−5)×90=405(km)，乙车行驶的路程为7.5×60=450(km)；
故答案为：90，405；60，450；
(2)①0≤x≤2时，y=90x；
②当2
解得k=90b=−270，
∴y=90x−270，
综上所述，y关于x的函数解析式为y=90x(0≤x≤2)180(2
解得x=2或4或7，
答：当甲、乙两车相距60k的路程时，离开A地的时间为2小时或4小时或7小时．
(1)根据图象可得两车速度，进而得出结论；
(2)根据(1)的速度，利用待定系数法解答即可；
(3)根据速度，路程，时间之间的关系分情况讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，理解题意，从函数图象中获取信息是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ABO=∠BOB′=30°，
∴CB=CO，∠BAO=∠AOC=60°，
∴OC=AC，
∴点C是AB的中点，
∵OA=2，
∴OB=OA⋅tan∠BAO=2 3，
∴B(−2 3,0)，
∴C(− 3,1)；
(2)如图1，
作A′D⊥OA于D，
∵OA=OA′=2，∠AA′O=60°，
∴△AOA′是等边三角形，
∴OA′=OA=2，
∴OD=12OA=1，A′D= 32OA′= 3，
∴A′( 3,1)，
∴A′B= (2 3+ 3)2+12=2 7；
(3)如图2，
作A′C⊥x轴于点C，作B′D⊥BC于D，
∴∠OCA′=∠ODB′=90°，
∴∠COA′+∠CA′O=90°，
∵∠A′OB′=90°，
∴∠COA′+∠DOB′=90°，
∴∠DOB′=∠CA′O，
∴△COA′∽△DB′O，
∴A′COD=OCOB′=OA′OB′= 33，
设点A′(a,b)，则B′(− 3b, 3a)，M(a−2 32,b2)，
∴a2+b2=4，
∴B′M2=(a+2 3b−2 32)2+(b−2 3a2)2=16−( 3a+6b)，
设a=2cosα，b=2sinα，
∴B′M2=16−2 39cos(α−θ)(其中cosθ= 1313)，
∴ 16−2 39≤B′M≤ 16+2 39．
【解析】(1)可推出点C是AB的中点，进而求得结果；
(2)作A′D⊥OA于D，可推出△AOA′是等边三角形，进而表示出点A′DE坐标，进一步得出结果；
(3)作A′C⊥x轴于点C，作B′D⊥BC于D，可证得△COA′∽△DB′O，从而A′COD=OCOB′=OA′OB′= 33，设点A′(a,b)，则B′(− 3b, 3a)，M(a−2 32,b2)，可表示出B′M2=(a+2 3b−2 32)2+(b−2 3a2)2=16−( 3a+6b)，设a=2cosα，b=2sinα，从而B′M2=16−2 39cos(α−θ)(其中cosθ= 1313)，进而得出 16−2 39≤B′M≤ 16+2 39．
本题考查了解直角三角形，直角坐标系中，两点之间的距离公式，中点坐标公式等知识，解决问题的关键解直角三角形的运用．
25.【答案】解：(1)抛物线y=ax2+bx+2(a,b为常数，a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，
a−b+2=09a+3b+2=0，
解得a=−23b=43．
∴y=−23x2+43x+2．
，
(2)y=−23x2+43x+2．
∴点C坐标(0,2)，
①P点在BC的上方，∠PCB=∠ABC，
∴PC//x轴，
∴点C、P是一对对称点，对称轴是直线x=−b2a=1．
∴P点坐标为(2,2)．
②P在BC下方，∠PCB=∠ABC，
∴DC=DB，
设D的坐标为(d,0)，
∴BD=CD=3−d，
根据勾股定理得，4+d2=(3−d)2，
∴d=56，
∴D的坐标(56,0)．
设直线CD的表达式为y=kx+b，
0=56k+bb=2，
解得：k=−125b=2，
∴y=−125x+2．
当−23x2+43x+2=−125x+2时，
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=285．
∴x=285，
y=−125×285+2=−28625．
∴P的坐标(285,−28625).
，
(3)作QM⊥x轴于F．
∵MN⊥x轴于E，
∴MN//QF，
∴AEAF=EMFQ,ENFQ=EBFB，
∴EM+ENFQ=AEAF+EBFB，
设Q点坐标为(x,y)，
∴AE=2，AF=x+1，BE=2，BF=3−x，FQ=y=−23x2+43x+2．
∴EM+EN=(2x+1+23−x)×(−23x2+43x+2)
=(2x+1+23−x)×(−23)×(x2−2x−3)
=(−23)(2x+1+23−x)×(x−3)(x+1)
=−43×(x−3−x+1)
=163．
∴EM+EN的值为定值，EM=EN=163．
【解析】(1)把A、B两点坐标代入y=ax2+bx+2，求出a，b的值即可．
(2)点P的位置要分类讨论，P在BC上方时，P和C是对称点，已知C的坐标，可求P.P在BC下方时，利用等边对等角，勾股定理求出D的坐标，求出CD的表达式，再求直线CD和抛物线的交点坐标，可得P的坐标．
(3)添加辅助线QF⊥x轴，得平行线，找出成比例线段，用坐标表示线段，求出EM+EN的值．
此题考查了待定系数法，二次函数的性质，等角对等边，勾股定理，比例线段等知识点，以及数形结合的数学思想，难度较大，得分率较低．
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