2023届高三数学一轮复习大题专练02导数恒成立问题2含解析

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一轮大题专练2—导数（恒成立问题2）
1．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅰ）证明：令，，
（1）当时，，
因为，
所以在，上单调递增，且，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
（2）当时，则，所以．
综上所述，当时，．
（Ⅱ）解：令，，
则，
由题意得在，上恒成立，因为，
所以，所以，
下证当时，在，上恒成立，
因为，
令，只需证明在，上恒成立，
（1）当时，，
，因为在，上单调递减，所以，
所以在，上单调递减，所以，
所以在，上单调递减，所以；
（2）当时，．
综上所述，实数的取值范围是，．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：为自然对数的底数）恒成立．
解：（1）的定义域为，，分
当时，恒成立，所以在上单调递增；分
当时，令，得到．
所以，当时，，则在上单调递增；
当，时，，则在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减分
（2）证明：记函数，则，分
易知在上单调递增，
又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分
且，则，
即，分
当时，，则在上单调递减，
当，时，，则在，上单调递增，
所以，
结合，知，分
所以，分
则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分
3．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；
（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围．
解：（1）对任意的，，总存在，，使得，，．
，，．
，在，上单调递增，
（1）．
，，．
，
①时，，函数在，上单调递增，（1），解得．
②时，，不成立，舍去．
③时，，函数在，上单调递减，，而，舍去．
综上可得：的取值范围是，．
（2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，，也即，．
令，．
，
时，，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去．
时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，．
，解得．
的取值范围是，．
4．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数，，
所以，
当时，，在，上单调递减，
当时，，在，上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减．
综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，又，
故不等式等价于对任意恒成立，
，所以，即，解得，
当时，，
恒成立，
故，
故当时，对任意恒成立，
所以的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合．
解：（1），
，
设切点为，，则，
代入直线得：，
即，，
令，有（1），
，在单调递增，
方程有唯一解，
；
（2），，
恒成立，
设，则，
令，，△，
有2个不相等实根，，
则，不妨设，
当，，当，，，
在单调递减，在，单调递增，
，
由得到，
，
令，
则，
当时，，当时，，
则在单调递增，在单调递减，
（1），
，，则，故，
实数的取值集合是．
6．设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，，
所以，
令，所以，
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数，
所以（1），即，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
（Ⅱ）因为，所以且，
所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，
令，，则且（1），
当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；
当时，由，得，
若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，
所以存在，使得（1），即时不满足题意；
若，，则，故在上为减函数，
所以（1），所以恒成立，故符合题意．
综上所述，实数的取值范围是，．
7．已知为自然对数的底数，函数．
（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；
（2）当，时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为，
由（1），得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令，，，
当，时，恒成立等价于恒成立，
由于，，，
所以当时，，
函数在，上单调递增，
所以，在区间，上恒成立，符合题意，
当时，在，单调递增，
，
①当时，即时，，
函数在，单调递增，
所以在，恒成立，符合题意，
②当即时，，，
若，即时，在恒小于0，
则在单调递减，，不符合题意，
若，即时，
存在使得，
所以当时，，
则在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上所述，的取值范围是，．
8．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线为，求，；
（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围．
解：（1）函数的导数，
根据函数导数的几何意义，可得（1），即．
则，点坐标为
点在直线上

故，．
（2）当时，
关于的不等式在，上恒成立，
，
设，则，
由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，
当时，，
则在，递增，可得，
则．
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