2023届高三数学一轮复习大题专练05导数零点个数问题1含解析

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一轮大题专练5—导数（零点个数问题1）
1．设函数，．
（1）证明：当，时，；
（2）判断函数在上的零点个数．
解：（1）证明：
令，，
在，上单调递增
注意到，
存在唯一的使
且当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
注意到，，
，．
（2），，
当时，，单调递减．
，
在上有一个零点
当时，由（1）知，，无零点
当时，
令，
且当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，当时，也无零点
综上：在上有唯一的零点．
2．已知函数在区间，上的最小值为，最大值为1．
（1）求实数，的值；
（2）若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围．
解：（1）函数，则，
①当时，令，可得或，
此时函数的增区间为，，的减区间为，
由，，
，（2），
因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，
则有，解得，；
②当时，令，可得，
此时函数的减区间为，，的增区间为，
由，，
，（2），
因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，
则有，解得，．
综上所述，，或，；
（2）①当时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为；
当，时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为．
3．已知函数．
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．
解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
由，，
可得，
由于，则在上恒成立，
令，，
故在上单调递增，
所以只需即可，，
所以，
所以的取值范围是，．
（2）的定义域为，
，令，，
当时，单调递增，，，，，
故存在，使得，即，
即①，两边取对数得②，
而在上单调递减，在，上单调递增，
故，故，
将①②代入上式得，化简得，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
故，
即的取值范围是．


4．设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
解：（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，即证，即证，
而，则，
要证，即证，即证，
而，
，即得证．
5．已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的零点个数，并说明理由．
解：（Ⅰ）当时，，
，则切线的斜率（1），
所以切线方程为，即，
所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅱ）的定义域为，，
令，解得，，
①当时，与在区间上的情况如下：




1



0

0



极大值

极小值

在上递增，在上递减，在上递增．
此时，，
所以在上只有一个零点，
②当时，，由，得，（舍，
所以在上有一个零点；
③当时，与在区间上的情况如下：


1



0



极小值

此时，
若时，，所以在上无零点，
若时，，所以在上有一个零点，
若时，，
，
，
所以有两个零点．
综上所述，当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点；，
当时，在上无零点．
6．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数无零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
所以，令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以为函数的极小值点，极小值为；无极大值．
（2）由，得．
①当时，，此时函数没有零点，符合题意；
②当时，，所以函数单调递减．
又，且，
所以函数有零点，不符合题意；
③当时，令，则．
当，时，，所以函数单调递减；
当，时，，所以函数单调递增．
所以，
若函数没有零点，则需，即，得．
综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为，．