2023届高三数学一轮复习大题专练09导数双变量与极值点偏移问题1含解析

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一轮大题专练9—导数（双变量与极值点偏移问题1）
1．已知定义在，上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．
解：（1）由，得，
为，上的增函数，
，，，
设，，
为减函数，，
时为定义域上的增函数，
故实数的取值范围是，；
（2）证明：，，，
设，，为增函数，
，，
，，当时，，递减，
当，时，，递增，为的极小值，
设，，，，
设，，
，，
，为增函数，
，
，为增函数，
，
，，
，
又，，
，，即．
2．已知函数．
（Ⅰ）求函数在的最大值；
（Ⅱ）证明：函数在有两个极值点，，并判断与的大小关系．
（Ⅰ）解：函数，
所以，则，
所以当时，，故，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为；
（Ⅱ）证明：，
①当时，单调递增，
又，，
所以在有唯一的零点，
此时当时，，则单调递减，
当时，，则单调递减，
故是极小值点，不妨设；
②当时，
，所以，
故在上单调递增，故没有极值点；
③当，，
由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，
且，，
故由唯一的零点，
则当时，，则单调递减，
当，时，，则单调递增，
又，，
所以在由唯一的零点，
此时时，，则单调递增，
当，时，，
所以是极大值点，即，且，
由于，所以，
因为，
所以，即．
3．已知函数，．
（1）求函数的增区间；
（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：．
解：（1）由题意得，
令，则，
①当△，即时，在上恒成立，
即的递增区间是，
②当△，即时，或，
即在，，递增，
综上：时，的递增区间是，
时，的递增区间是，，；
（2），有2个极值点，，
，是方程的两个不相等的正实数根，
从而△，，解得：，
由，解得：，
，且，
令，且，则，
故当时，，故单调递增，
当时，，单调递增，
故，
要证，只要证，只要证明，
，只要证明，
令，
则，
，，即在，递增，
故（1），即，
故，．
4．已知函数在处的切线方程为．
（1）求实数及的值；
（2）若有两个极值点，，求的取值范围并证明．
解：（1），切线方程为，
，，
又，；
（2）由（1）可知，则，
，
当时，，在递增，没有极值点，
当时，令，其对称轴方程为，△，
①若时，△，此时，
在上递减，没有极值点，
②若时，△，由，即，
则的两根为，，不妨设，
由，（1），，故，
，，，的变化如下：



，

，


0

0



0

0


递减
极小值
递增
极大值
递减
综上，的取值范围是，，
此时，，故，
由，，得，故．
5．已知函数为单调减函数，的导函数的最大值
不小于0．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
（1）解：因为为单调减函数，
所以恒成立，
所以在上恒成立，
由于当时，，
所以，解得，
因为，
当且仅当时，取得最大值为，
由题意可得，，解得，
综上可得，的值为；
（2）证明：由（1）可知，，
所以，因为，且在上单调递减，
可设，
令，，
所以

，
所以在，上单调递减，
所以（1）（1），
故，，
因为，所以，
因为为上的单调递减函数，
所以，
故．
6．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
解：（1）当时，，则，
所以（1），又（1），
所以切线方程为，即．
（2）证明：由题意得，则，
因为函数有两个极值点，，
所以有两个不相等的实数根，，
令，则，
①当时，恒成立，则函数为上的增函数，
故在上至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，得，
当，时，，故函数在，上单调递减；
当，时，，故函数在，上单调递增，
因为函数有两个不相等的实数根，，
所以，得，
不妨设，则，，
又，所以，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
由，可得，即，
又，是函数的两个零点，即，
所以，
因为，所以，
又，函数在，上单调递减，
所以，即，
又，所以，因此．