2023届高三数学一轮复习大题专练10导数双变量与极值点偏移问题2含解析

这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练10导数双变量与极值点偏移问题2含解析，共8页。试卷主要包含了已知函数，已知函数有两个不同的零点，，且，已知，等内容，欢迎下载使用。
一轮大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）
1．已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数．
（Ⅰ）若，，
（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．
（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．
（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则．
（Ⅰ）解：（ⅰ）当，，时，，
则（1），，所以（1），
故切点坐标为，切线的斜率为0，
故切线方程为；
由可得，，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
①当时，无零点；
②当时，在区间，上单调递减，且，
所以是在，上的唯一零点；
③当时，在区间上单调递减，且
又（1），，
所以在区间，上仅有一个零点．
综上所述，当时，在区间，上无零点；
当时，在区间，上仅有一个零点；
（Ⅱ）证明：当，，当时，，
令，，不妨设，，
令

，
其中，
因为，
所以当时，，
故若，且，则．
2．已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．
解：（1）当，时，，
，
，令，则，
令，则，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：由题可得，
函数有两个不同的极值点，，
方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．
不等式有解，．

．
设（a），（a），
故（a）在上单调递增，故（a），
．故实数的取值范围为．
（3），设的两个相异零点为，，
设，欲证，需证．
，，
，，
，．
要证，即证，
即，即，
设上式转化为，
设，，
在上单调递增，
（1），
，
，
．
3．已知函数．
（1）求函数的图象在点，处的切线方程；
（2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．
（1）解：函数，则，则，又，
则切点为，切线的斜率为1，
所以的图象在点，处的切线方程为，即；
（2）证明：令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得极大值，即为极大值点，
不妨设，由题意可知，，
令，
则，因为，
所以，则单调递减，
又，所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
因为，，
又在上单调递增，
所以，
故．
4．已知函数有两个不同的零点，，且．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意的，恒成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）显然不是的零点，令，则，
依题意，直线与函数的图象有两个交点，
又，则函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，（1），其草图如下，

由图象可知，实数的取值范围为；
（Ⅱ），即，
，
的一个必要条件是，
又，
，则，
当时，，，，
单调递增，而，
在，上单调递增，故，符合题意，
实数的最大值为2；
（Ⅲ）证明：易知，
，
，，
，，
，即，即，
要证，即证，只需证，
记，则，
易知在上单调递增，
（e），即得证．
5．已知，．
（Ⅰ）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．
（Ⅰ）解：，，
由（1），得．
（Ⅱ）证明：有两个零点，
即有两个不等根，，
即，
即．
令，则．
记，则．
记，则，
所以（3），即，
即在上单调递增，即（3），
所以，
所以．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：．
（1）解：的定义域为，且．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：当时，，，
所以，
所以．
要证，即证．
因为，所以，即证．
令，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，
所以（1），即，．①
令，则，所以在上单调递增，
则（1），即．②
综合①②得，所以．