2023届高三数学一轮复习大题专练12导数有解问题2含解析

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一轮大题专练12—导数（有解问题2）
1．已知函数，，，．
（1）当时，求证：；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
则，
，
因为，，
所以，，
因此，
所以在，上单调递增，
于是，
因此在，上单调递增，
所以 ．
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
此时函数仅有1个零点，
当时，因为，
所以，
，
当，时，，单调递增，
当，时，，
因为，，
所以，所以单调递增，
又，，
因此在，上存在唯一的零点，且．
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又，，，
因此在，上存在唯一的零点，且，，
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又 ， ，，
所以在，上存在唯一零点，
因此在，上有两个零点，
综上，的取值范围是，．
2．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
，
因为，，
所以曲线在点，处的切线方程为．
（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，
即关于的方程有两个不同的解，
当时，方程不成立，所以，
令，则与的图象有两个交点，
且，
令，得或，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值（1），
因为，且当时，，
所以的取值范围是．
3．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．
解：（1）依题可得，定义域为，
所以．
当时，由，得，由，得，
则的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，由，得，由，得或，
则的单调递减区间为，单调递增区间为和．
当时，恒成立，则的单调递增区间为．
当时，由，得，由，得或，
则的单调递减区间为，单调递增区间为和．
（2）．
方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根．
令，，则．
令，，则，
因为在上恒成立，故在上单调递增．
因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；
当，时，有，即，所以单调递增．
因为，（1），，
所以的取值范围是．
4．已知实数，设函数，．
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）若，则，令，
令，解得或，令，解得，
函数在，单调递增，在单调递减；
（Ⅱ）①当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；
②当时，令，则，即有唯一实数解，
当时，则，，而，显然无解；
当时，若，则，而，显然无解，则，
令，则它们的图象有且仅有一个交点，
注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，
（A）若，则；
（B）若，则，时，，则存在唯一交点；
（C）若，则（a）（a），，由零点存在性定理可知，存在唯一交点；
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数和．
（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；
（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．
解：（Ⅰ）函数的导数为，
所以曲线在处的切线的斜率为①，
的导数为，
所以曲线在处的切线的斜率为②，
由①②，解得，；
（Ⅱ）方程在区间，上有解，
则在区间，上有解，
设，则，
当时，，递增；
当时，，，递减．
所以的最大值为（1），
所以，所以．
令，则，
由的导数为，可得在递增，递减，
则的最小值为（1），即有恒成立，
所以，所以，
所以在，递减，在，递增，
所以在处取得最小值1，
因为与相交有解，．
（e），（e），
所以（1），所以，
所以的取值范围为．
6．已知函数，其中，令．
（1）求证：当时，无极值点；
（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．
解：（1）证明：，则，
显然，，当时，，
在上为增函数，无极值点；
（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：
，则，
显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，
显然当时，；
当时，，故，
令，则，故在上为减函数，
故当时，，即，
令，则，当时，，故在单调递增，
故当时，，即，
故当时，，
因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立．
综上，存在，使得在处取得极小值．
7．已知函数，．
（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；
（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，，
①当时，，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；
②当时，令，解得或，
当时，，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意；
当时，，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；
综上，实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
，
存在，，使得成立，即存在，，使成立，只需函数在，上的最大值大于等于，
，解得，
故实数的取值范围为．