初中19.3 正方形精练

这是一份初中19.3 正方形精练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

正方形同步练习
一、选择题
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
答案：B
解答：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故A选项正确；由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故B选项错误；由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，故C选项正确；由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，故D选项正确；故选B．
分析：要判定是正方形，则需要能判定它既是菱形又是矩形．
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
答案：C
解答：相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故A选项错误；四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故B选项错误；平行四边形的对角线互相平分正确，故C选项正确；矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故D选项错误．
分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
3．下列命题中是假命题的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
答案：B
解答：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确；一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，故B错误；一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确．
分析：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案：A
解答：根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2＋AO2，AD2＝DO2＋AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；故不正确的有1个，故选A．

分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
5．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
答案：A
解答：如图所示：∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，∵对角线AC＝BD，AC⊥BD，∴∠NAO＝∠AOD＝∠N＝90°，EN＝NM＝FM＝EF，∴四边形EFMN是正方形．

分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO＝∠AOD＝∠N＝90°，EN＝NM＝FM＝EF，进而判断即可．
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（　　）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
答案：B
解答：根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形即A与题意不符；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形即B与题意相符；一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形即C与题意不符；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形即D与题意不符；故选B．
分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案：C
解答：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故A选项错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D选项错误；所以选C．
分析：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定，解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
答案：D
解答：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形，故选项A不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
9．下列说法错误的是（　　）
A．有一个角为直角的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
答案：D
解答：有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形，故A选项说法正确；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该矩形为正方形，故本B项说法正确；对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形，故C选项说法正确；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故D选项说法错误．
分析：正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．
10．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H，这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
答案：D
解答：无穷多个．如图正方形ABCD：AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外，很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形．

分析：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
11．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．8
答案：C
解答：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠CDF＋∠EDC＝90°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．

分析：本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD转化为正方形，根据面积保持不变，求出正方形的边长．
12．△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（　　）
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm
C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
答案：A
解答：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF，又∵∠C＝90°，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB、AC、BC的距离为CD长，∴AB＝8－CD＋6－CD＝－2CD＋14，又根据勾股定理可得：AB＝10，即－2CD＋14＝10，∴CD＝2，即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．

分析：本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质与边的和差关系．
13．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（　　）

A．40 B．25 C．26 D．36
答案：B
解答：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab＋a（b－a）＝24①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b－a）2＝a2－3②，将①②联立解方程组可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．
分析：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由正方形的面积公式，根据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积．
14．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）

A． B．2 C．8 D．10
答案：D
解答：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，∵∠AED＝90°，∴四边形EMON是矩形，∵正方形ABCD的对角线交于点O，∴∠AOD＝90°，OA＝OD，∴∠AOD＋∠AED＝180°，∴点A，O，D，E共圆，∴∠AEO＝∠DEO＝∠AED＝45°，∴OM＝ON，∴四边形EMON是正方形，∴EM＝EN＝ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE＝，∴EN＝8，∴EM＝EN＝8，在Rt△AOM和Rt△DON中，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2，∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10．

分析：首先过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，易得四边形EMON是正方形，点A，O，D，E共圆，则可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的长，继而证得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM＝DN，继而求得答案．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（）

A． B．2 C． D．18
答案：A
解答：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积等于四边形DPBE的面积均为18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝．

分析：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP＝∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
二、填空题
16．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是　　（填一个符合题目要求的条件即可）．
答案：AC＝BD且AC⊥BD
解答：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°，答案不唯一，此处填：AC＝BD且AC⊥BD．
分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

答案：AC＝BC
解答：设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝AC＝CE，DE＝BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
18．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　　　　　　，使得该菱形为正方形．

答案：AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
解答：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC．
分析：根据正方形判定定理进行分析．
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．

答案：AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
解答：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．
分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
20．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是　　．
答案：AB＝AD或AC⊥BD（答案不唯一）
解答：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB＝AD或AC⊥BD等．
分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
三、解答题
21．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

答案：
解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．
分析：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
答案：
解答：证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
答案：
解答：证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∴PM＝MD，∴四边形MPND是正方形．
分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE＝AD；
答案：
解答：证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB=＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
答案：四边形BECD是菱形
解答：解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
答案：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
解答：解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
24．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
答案：
解答：证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
答案：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形
解答：解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，点D是边AB的中点，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°，而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD，故四边形ADCF是正方形．
分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE＝CD，DE＝FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC＝90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD＝AD即可得出答案．
25．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：△AED≌△BFD；
答案：
解答：证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，∵C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D，∴CA＝CB，AD＝BD，∴∠A＝∠B，在△AED与△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS）．
（2）若AB＝2，当CD的值为多少时，四边形DECF是正方形？
答案：CD的值为1
解答：解：若AB＝2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．理由如下：∵AB＝2，∴AD＝BD＝AB＝1．∵CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB，∴△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ECF＝∠ACD＋∠BCD＝90°，∵∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∠CDE＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠CDE＝45°，∴ED＝CE，∴矩形DECF是正方形．
分析：（1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA＝CB，AD＝BD，由等边对等角得到∠A＝∠B，然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD；
（2）若AB＝2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．先由CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB，得出△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，则∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ECF＝90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED＝CE，从而得出矩形DECF是正方形．