数学北师大版4 解直角三角形练习

这是一份数学北师大版4 解直角三角形练习，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四节 解直角三角形
一、单选题（共15题）
1．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
答案：D
解析：解答：

∵cos∠B=，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
∵AC=13，
∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC=BD+CD=12=5=17，
故选D．
分析: 首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长
2.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）
A． B． C． D．

答案：D
解析：解答:

如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB= ，即，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴ ，
∴CE= x，DE= x，
∴AE= x，
∴tan∠CAD=
故选D．
分析: 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中
3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
答案：A
解析：解答:

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，
依题意得CD：AD=1：=:3而tan∠DAC=CD：AD，
∴tan∠DAC=:3
∴∠DAC=30°，
∴顶角∠BAC=60°．
故选A．
分析: 本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题
4. △ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．4
答案:B
解析：解答: ∵∠B=90°，
∴tan∠C==，
设AB=x，则BC=2x，
∴AC==x，
∴x=，解得x=1，
∴BC=2x=2．
故选B．
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形
5. 在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
答案:C
解析：解答:

过点A作AD⊥BC∵sinB= ，
∴ =，∵AB=5，∴AD=3，
∴BD==4，
∵BC=6，
∴CD=2，
∴AC==
∴sinC=
故选C．
分析: 过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可
6. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（　　）
A． B． C． D．
答案:B
解析：解答:作DE⊥AB于E，

在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB=5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE=CD=a，
AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，
在Rt△ADE中，
AD2=DE2+AE2，
即（4x-a）2=a2+（2x）2，
解得，a=x，
tan∠DBC=
故选：B．
分析: 解直角三角形中的勾股定理等知识解答．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（　　）

A．c•sin2α B．c•cos2α C．c•sinα•tanα D．c•sinα•cosα
答案:D
解析：解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=a根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案，
sinα= ，BC=c•sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB= ，
CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，
故选：D．
分析: 根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（　　）

A．3 B．9 C．4 D．12
答案:B
解析：解答: ∵sinB= ∴AC=×15=9．
故选B．
分析: 直接根据正弦的定义求解
9.在锐角△ABC中，cosA=，cosB=，BC=13，则△ABC的面积为（　　）
A． B．30 C．78 D．
答案:D
解析：解答: ∵cosA= ，cosB= ，
∴sinA=
，sinB=
∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA= ，
∵ ∴ ，
c=，∴△ABC的面积为 acsinB= ×13× × =
故选：D．
分析: 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键．
10. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB= AC=40，则△ABC的面积是（　　）
A．800 B．800 C．400 D．400
答案:D
解析：解答:如图所示，过C作CD⊥AB，

∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=30°，
∴BC=AC，
∴D为AB中点，
在Rt△ACD中，AC=40，
∴CD= AC=20，
根据勾股定理得：AD= =20，
∴AB=2AD=40
则△ABC的面积是 AB•CD=400
故选D
分析: 如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可
11. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（　　）

A.S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF C．S△ABC= S△DEF D．不能确定
答案:C
解析：解答: 如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，

在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，
在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，
DH=DEsin∠DEH=5sin 50°，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S△ABC = S△DEF．
故选C．
分析: 在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可
12. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
答案:D
解析：解答: A.∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B.∵12+12=（）2 ，是等腰直角三角形，故选项错误；
C.底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D.解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
分析: 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念
13. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（　　）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
答案:D
解析：解答：∠B=90°-∠A=90°-40°=50°，
又∵tanB= ，
∴AC=BC•tanB=3tan50°．
故选：D．
分析: 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解
14. 等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
答案: D
解析：解答：
AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=5，
在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，
∴AD==12，
∴tanB= =
故选D．
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质
15. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．
答案:A
解析：解答：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6．
在Rt△DBC中，∵∠C=90°，
∴tan∠DBC=
∴DC= BC=4，
∴AD=AC-DC=6-4=2．
故选A．
分析: 先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC-DC即可求解．
二、填空题（共5题）
16. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于____________
答案:
解析：解答: 作CH⊥AE于H，
∵AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）= （180°-30°）=75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°-30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH= AC=4，AH=，
∴DH=AD-AH=8-4
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4．
故答案为
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质
17.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________

答案: 4.8
解析：解答: 设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB= ，又cosB=
于是＝，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有： AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
分析：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键
18.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___________

答案: 40
解析：解答: 已知如图DE⊥AB，垂足是E，
所以△AED为直角三角形，
则得：sinA=，即：=∴AD=10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4=40．
故答案为：40．
分析: 此题考查的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的关键是先根据直角三角形的性质求出菱形ABCD的边长AD
19.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=
，则AD的长为________

答案：2
解析：解答：作DE⊥AB于E，如图，

∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6，解得x=
∴AD=×=2．
故答案为2．
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质
20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为________

答案：
解析：解答：∵AC=
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为

×1=
故答案为：
分析: 重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积
三、解答题（共5题）
21.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值
答案：
解析：解答: ∵4+4=8＜10，

∴AB=AC=10，BC=4．
过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=BC=2．
∵AB=AC=10，
∴AD=
∴sin∠ABD=
故答案为
分析: 根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长．作底边上的高，利用三角函数的定义求解
22.如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB=，求BC的长

答案:
解析：解答：如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC=2，∠A=45°，
∴CD=AC•sin∠A=2•sin45°=2×=
∵tanB= ，
∴BD=CD
tanB =
∴BC=
故答案为
分析：过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长
23.在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，求sinB的值
答案：
解析：解答：作AD⊥BC于D，如图

BD= BC=4，
由勾股定理，得
AD==3．
由正弦函数，得
sinB= =
故答案为：
分析: 根据勾股定理，可得AD的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案
24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积
答案：2或1
解析：解答：当顶角为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积= ×2×2=2；
当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，
∴CD=AC=1，
∴三角形ABC的面积=CD•AB= ×1×2=1，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
故答案为1或2．
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质
25.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，求AC的长
答案：5
解析：解答：在△ABC中，∠C=90°，
∵sinA= =，BC=12，
∴AB=13，
∴AC==5．
故答案为5．
分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形