专题1.23 一元二次方程（直通中考）（全章基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

这是一份专题1.23 一元二次方程（直通中考）（全章基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版），共20页。

专题1.23 一元二次方程（直通中考）（全章基础练）
一、单选题
1．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（    ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）
  
A． B． C．或 D．
二、填空题
11．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）实数m，n分别满足，且，则 的值是 ．
13．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ．
14．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ．
15．（2023·辽宁营口·统考中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
16．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 ．
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
18．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．
  
三、解答题
19．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：．






20．（2023·四川凉山·统考中考真题）解方程：．





21．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．






22．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．





23．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1) 求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2) 若，是方程的两个实数根，且，求m的值．





24．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．









参考答案
1．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3．D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
4．A
【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
解：由题意得：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
7．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
9．D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
10．A
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
12．
【分析】直接利用根与系数的关系进行求解即可．
解：由题可知，m和n是的两个根，
所以，
所以；
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握“若一元二次方程的两个根分别为和，则”．
13．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴


．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
14．
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．
【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
解：设另一个根为，
根据题意：，
解得，，
即另一个根为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义．
16．
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
17．8
【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．
解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
18．96
【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．
解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：96．
【点拨】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．
19．，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
解：

∴或
∴，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
20．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
21．(1)证明见分析；(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
22．选②，，；选③，，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点拨】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
23．(1)见分析；(2)或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
解：（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
24．(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．