人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数综合训练题

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本章中考演练
一、选择题
1．[2015·温州] 如图28－Y－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(　　)

图28－Y－1
A. B. C. D.
[答案] D
2．[2014·天津] cos60°的值等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案] A
3．[2015·乐山] 如图28－Y－2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　　)

图28－Y－2 　　图28－Y－3
A. B. C. D.
[解析] D　如图，过点B作BD⊥AC(点D正好在格点外)，如图，由勾股定理，得AB＝＝，AD＝＝2，所以cosA＝＝＝.
4．[2015·丽水] 如图28－Y－4，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　)
A. B. C. D.
[答案] C

图28－Y－4 　　　图28－Y－5
5．[2015·荆门] 如图28－Y－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(　　)
A. B.－1 C．2－ D.
[解析] A　∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC.又∵D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC.∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC，∴tan∠DBC＝＝＝.
6．[2013·衢州] 如图28－Y－6所示，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m，≈1.73)(　　)

图28－Y－6
A．3.5 m B．3.6 m
C．4.3 m D．5.1 m
[答案] D
7．[2014·临沂] 如图28－Y－7，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(　　)

图28－Y－7 　　图28－Y－8
A．20海里 B．10　海里
C．20　海里 D．30海里
[解析] C　如图，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，
∴∠DAB＝15°，
∴∠CAB＝∠CAD＋∠DAB＝90°.
又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA＋∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBA＝45°.
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，
∴BC＝20　海里．
二、填空题
8．[2014·白银] 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．
[答案] 60°
[解析] ∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.
9．[2014·黔西南] 如图28－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝__________．

图28－Y－9
[答案]
10．[2014·宁波] 为解决停车难的问题，在如图28－Y－10所示的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__________个这样的停车位(≈1.4)．

图28－Y－10
　[答案] 17
[解析] 如图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×≈1.54(米)，

图28－Y－11
CE＝5×sin45°＝5×≈3.5(米)，
BE＝BC＋CE≈5.04米，
EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷≈3.14(米)，
(56－5.04)÷3.14＋1
＝50.96÷3.14＋1
≈16＋1
＝17(个)．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
三、解答题
11．[2015·黔南州] 如图28－Y－12是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝1∶若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：≈1.414，≈1.732)

图28－Y－12
解：需要拆除，理由：
∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝10米．
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝1∶，
∴∠CDB＝30°，
∴DC＝2BC＝20米，BD＝10米，
∴AD＝BD－AB＝10－10≈7.32(米)．
∵3＋7.32＝10.32＞10，
∴高原坡角10米的建筑物需要拆除．
12．[2013·绥化] 如图28－Y－13，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．

图28－Y－13
解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝4，BD＝AB·cos∠ABD＝8×＝4.
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，
∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4.
13．[2014·遂宁] 已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：PD2＝PB·PA；
(3)若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．

图28－Y－14　 　图28－Y－15
解：(1)证明：连接OD，OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°.
∵直径AB⊥CD，
∴O，P是CD垂直平分线上的点，
∴OD＝OC，PD＝PC.
又∵OP＝OP，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵∠ODP＝90°，
∴∠PDB＋∠ODB＝90°.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠PDB＝∠ADO＝∠A.
又∵∠DPB＝∠APD，
∴△DPB∽△APD，
∴PD∶PA＝PB∶PD，
∴PD2＝PB·PA.
(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，
∴∠A＝∠CDB.
又∵tan∠CDB＝，
∴tanA＝，
∴AD＝2BD.
∵△DPB∽△APD，
∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶ 2.
又∵PD＝4，
∴PA＝8，PB＝2，
∴AB＝6.
14．[2014·南充] 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图28－Y－16可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)．
(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

图28－Y－16 　　图28－Y－17
解：(1)如图28－Y－17，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离．
根据题意，得∠PAH＝90°－53.50°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．
设PH＝x海里．
在Rt△PHB中，tan45°＝，∴BH＝x海里．
在Rt△PHA中，tan36.5°＝，
∴AH＝≈x海里．
∵AB＝140海里，∴x＋x≈140，
解得x≈60，即PH≈60海里，
因此可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离约为60海里．
(2)在Rt△PHA中，AH≈×60＝80(海里)，PA≈＝100(海里)，救助船A到达P处的时间tA≈100÷40＝2.5(时)；在Rt△PHB中，PB≈＝60　，救助船B到达P处的时间tB≈60　÷30＝2　(时)．
∵2.5