2023年中考数学 章节专项练习19 二次函数代数方面的应用

这是一份2023年中考数学 章节专项练习19 二次函数代数方面的应用，共8页。试卷主要包含了已知抛物线G等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.（2019山东省潍坊市，12，3分）抛物线y=x2＋bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x2＋bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【答案】A
【思路分析】根据对称轴为直线x=1，求出b的值，画出抛物线y=x2＋bx+3（－1＜x＜4）的图象，如果该图象与直线y=t有交点，则题目所给的一元二次方程有实数根，利用图象可得t的取值范围．
【解题过程】由题意得：，b=－2，抛物线解析式为y=x2－2x+3，当－1＜x＜4时，其图象如图所示：

从图象可以看出当2≤t＜11时，抛物线y=x2－2x+3与直线y=t有交点，故关于x的一元二次方程x2＋bx+3－t=0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是2≤t＜11，故选择A．
方法二：把y=x2－2x+3－t（－1＜x＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t＜11，故选择A．
【知识点】二次函数与一元二次方程，数形结合法

2.（2019山东淄博，11，4分）将二次函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【思路分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律表示出平移后的二次函数解析式，与y＝2联立成一元二次方程，根据两函数有两个交点，则△＞0,列出不等式求出a的范围.
【解题过程】∵，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为
，
令，即，
由⊿，得.
【知识点】二次函数图象的平移规律，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根的判别式
3.（2019浙江湖州，10，3分）已知a，b是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是（ ）
A． B． C． D．

【答案】D．
【解析】由，解得，，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a＋b)和(－，0)．对于D选项，从直线过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0．∵，∴a＋b＜0．从而(1，a＋b)在第四象限，因此D选项不正确，故选D．
【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；方程组
二、填空题
1.（2019山东潍坊，17，3分）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．

【答案】
【思路分析】先求出A、B两点坐标，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，求出直线A′B的解析式，从而可求出△PAB的面积．
【解题过程】解方程组，得：，．
∴A（1，2）B（4，5）
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P．

则A′（－1， 2）.
设直线A′B解析式为y=kx+b，
则，
解得：
∴直线A′B：．
∴当△PAB的周长最小时，点P的坐标为（0，）．
设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）
∴S△PAB=S△PCB－S△PCA
=
=
【知识点】二次函数与一次函数综合，几何最短问题，三角形面积的计算

2.（2019四川省乐山市，15，3分）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动，且点在的上方时，△面积的最大值是 .

第15题图

【答案】3
【解析】∵点是双曲线：（）上的一点，∴可设点P坐标为（m，），∵⊥轴，在图像上，∴Q坐标为（m，），PQ=-()，∴△面积
=×m×[-(]=，当m=2时，△面积的最大值为3.
【知识点】一次函数图像；反比例函数图像；三角形面积；二次函数最值
三、解答题
1.(2019浙江台州,23,12分)已知函数y＝x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(－2,4)
(1)求b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;
(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.

【思路分析】(1)将点的坐标代入化简可得;(2)将(1)中所得关系代入,可得n和m的关系式;(3)根据对称轴进行分类讨论,得到关于b的方程,解方程,进行取舍后得到b的值.
【解题过程】(1)将点(－2,4)代入y＝x2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c＝2b,∴b,c满足的关系式是c＝2b.
(2)把c＝2b代入y＝x2+bx+c,得y＝x2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n＝m2+bm+2b,且m＝－,即b＝－2m,∴n＝－m2－4m.∴n关于m的函数解析式为n＝－m2－4m.
(3)由(2)的结论,画出函数y＝x2+bx+c和函数y＝－x2－4x的图象.∵函数y＝x2+bx+c的图象不经过第三象限,∴－4≤－≤0.①当－4≤－≤－2,即4≤b≤8时,如图1所示,x＝1时,函数取到最大值y＝1+3b,x＝－时,函数取到最小值y＝,∴(1+3b)－＝16,即b2+4b－60＝0,∴b1＝6,b2＝－10(舍去);②当－2<－≤0,即＝≤b<4时,如图2所示,x＝－5时,函数取到最大值y＝25－3b,x＝－时,函数取到最小值y＝,∴(25－3b)－＝16,即b2－20b+36＝0,∴b1＝2,b2＝18(舍去);综上所述,b的值为2或6.

第23题答图
【知识点】二次函数的图象和性质,一元二次方程

2.（2019浙江湖州，19，6分）已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m和n的大小，并说明理由．
【思路分析】（1）根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得到一元二次方程2x2－4x＋c＝0有两个不相等的实数根，从而其根的判别式为正数，列不等式解之；（2）先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的增减性锁定答案．
【解题过程】（1）∵抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点，
∴方程2x2－4x＋c＝0有两个不相等的实数根．
∴△＝(－4)2－4×2×c＞0．
∴c＜2即为所求．
（2）∵抛物线的对称轴为x＝＝1，而a＝2＞0，
∴在抛物线对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵2＜3，
∴m＜n．
【知识点】一元二次方程根的判别式；二次函数的图像与性质

3.（2019四川凉山，25，8分）已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且=1，求a的值．
【思路分析】根据抛物线与x轴的交点得出x1+x2与x1x2，再将用x1+x2与x1x2表示，最后列方程求a的值并检验是否符合题意.
【解题过程】解：对于抛物线y=x2+x+a，令y=0，∴x2+x+a =0,∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），（x2，0），
∴x1+x2=-1，x1x2=a，∵==1，∴x12+x22=x12x22，∴（x1+x2）2-2x1x2==x12x22，代入x1+x2=-1，x1x2=a，有：1-2a=a2，解得a=-1 ，∵方程有两个实数根，则△=1-4a＞0，解得a＜，∴a=-1-.
【知识点】抛物线与x轴的交点问题；根与系数的关系；一元二次方程的解法；根的判别式．
4.(2019四川巴中,24,8分)如图,一次函数y1＝k1x+b(k1,b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0,x>0)的图象交于点A(m,8)与点B(4,2).
①求一次函数与反比例函数的解析式;
②根据图像说明,当x为何值时,k1x+b－<0.

第24题图
【思路分析】①利用点B坐标可求出反比例函数的解析式,进而求出点A坐标,即可求出一次函数的解析式;②由图象的关系可得不等式的解集.
【解题过程】①因为点B(4,2)在反比例函数图象上,2＝,所以k2＝8,所以反比例函数解析式为y2＝(x>0),当y＝8时,8＝,所以x＝1,所以点A坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y1＝k1x+b,可得,所以,一次函数解析式为y1＝－2x+10;
②k1x+b－<0,即k1x+b<,即y14.
【知识点】待定系数法求解析式,求点坐标,函数与不等式的关系

5.（2019广东广州，25，14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【思路分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解题过程】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3

【知识点】二次函数的最值；二次函数的平移；二次函数与一次函数的关系