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2023年中考数学 章节专项练习35 与圆的有关计算
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这是一份2023年中考数学 章节专项练习35 与圆的有关计算，共16页。
一、选择题
1. (2019山东泰安,11,4分)如图,将O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若O的半径为3,则的长为（ ）
A. B. C.2 D.3
第11题图
【答案】C
【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交于点E,由题可知OD＝DE＝OE＝OA,在Rt△AOD中,sinA＝＝,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,＝＝,故选C.
第11题答图
【知识点】折叠,三角函数,弧长公式
2. (2019山东枣庄,8,3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是（ ）(结果保留)
A.8－ B.16－2 C.8－2 D.8－
第8题图
【答案】C
【解析】在边长为4的正方形ABCD中,BD是对角线,∴AD＝AB＝4,∠BAD＝90°,∠ABE＝45°,∴S△ABD＝＝8,S扇形ABE＝＝8－2,故选C.
【知识点】扇形的面积,不规则图形的面积
3. (2019四川巴中,9,4分)如图,圆锥的底面半径r＝6,高h＝8,则圆锥的侧面积是( )
A.15 B.30 C.45 D.60
第9题图
【答案】D
【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r＝6,h＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝×10×12＝60,故选D.
【知识点】勾股定理,圆周长公式,扇形面积公式
4.（2019四川凉山，11，4分）如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=lcm，将△AOC绕点D顺时针旋转90 °后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )cm2
A． B．2π C． D．
第11题图
【答案】B
【思路分析】先用三角形与扇形的面积和差表示AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积，再借助全等转化为扇环的面积，最后求出扇环的面积.
【解析】AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB- S扇形OCD- S△ODB①,由旋转知：△OCA≌△ODB，∴S△OCA=S△ODB,∴①式=S扇形OAB- S扇形OCD=-=2π，故选B.
第11题答图
【知识点】旋转性质；扇形面积
5.（2019四川自贡，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
过圆心O点作OE⊥BC于E，
在Rt△OEC中，∠COE=45°，
∴sin∠COE=,
设CE=k，则OC=CE=k，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=k，即BC=2k.
∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.
∴==≈.
【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆
6.（2019浙江湖州，5，3分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【答案】B．
【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．
【知识点】圆的有关计算；圆锥的侧面积
7.（2019浙江湖州，7，3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70°C．72° D．144°
第7题图
【答案】C．
【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，CB＝CD．
∴∠CBD＝∠CDB＝＝36°．
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝108°－72°＝36°．
故选C．
【知识点】圆的内接正多边形有关计算；等腰三角形的性质；三角形内角和
8.（2019浙江金华，9，3分）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A.2 B. C. D.
（第9题图）
【答案】D．
【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BD长为R．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝lR，∴l＝·∴下面圆锥的侧面积为lR＝··R＝．故选D．
【知识点】圆锥的侧面积
9.(2019浙江宁波,10,4分)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为（ ）
A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
第10题图
【答案】B
【解析】＝,右侧圆的周长为,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,＝,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.
【知识点】弧长,圆锥展开图
10.（2019浙江衢州，9，3分）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（ ）
A.1 B. C. D.2
【答案】C
【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠AFC=60°，因为sin∠AFM=，所以AM=sin∠AFM×AF=×2=,AM的长即为纸带宽，故选C。
【知识点】正六边形性质三角函数
二、填空题
1.（2019江苏无锡，15，2分）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为cm.
【答案】3
【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r3cm，故答案为3．
【知识点】圆锥计算
2.（2019山东滨州，17，5分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．
【答案】
【思路分析】根据题意画出图形，作一条内切圆半径和一条外接圆半径，在组成的直角三角形中，利用勾股定理或锐角三角函数求值．
【解题过程】如图，连接OE，作OM⊥EF于M，则OE=EF，EM=FM，OM=2，∠EOM=30°，在Rt△OEM中，cos∠EOM=，∴=，解得OE=，即外接圆半径为．
【知识点】正六边形的性质；勾股定理；锐角三角函数
3. (2019山东聊城,14,3分)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为________.
第14题图
【答案】120°
【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2,圆锥的母线AC＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°,根据弧长公式可得2＝,n＝120.∴圆心角的度数为120.
【知识点】勾股定理,弧长公式
4. (2019山东泰安,15,4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A,点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影部分的面积为________.
第15题图
【答案】
【解析】连接OC,过点C作CN⊥AO于点N,CM⊥OB于点M,∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠A＝60°,∵OA＝OC,∴△AOC为等边三角形,∵OA＝3,∴CN＝,CM＝CN＝,∴S扇形AOC＝,S△AOC＝,在Rt△AOB中,OB＝OA＝3,S△OCB＝,∠COD＝30°,S扇形COD＝,S阴影＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝.
第15题答图
【知识点】扇形面积,三角形面积
5.（2019山东潍坊，18，3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
【答案】（n，）
【思路分析】横坐标依次为1，2，3，4，…可以确定点Pn的横坐标，再根据勾股定理可确定点Pn的纵坐标．
【解题过程】由图可知点Pn的横坐标与它所在圆的半径相同，故点Pn的横坐标为n，
点P1的纵坐标为，
点P2的纵坐标为，
……
点Pn的纵坐标为，
∴点Pn的坐标为（n，）．
【知识点】规律探索，图形与坐标
6.（2019重庆市B卷，16，4分）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是
【答案】8-8
【解题过程】连结AE.
∵在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，∴AB=AD，∴∠EAD=∠EAB=45°，∴AE=AD=2,
∴ = =×（8-2）×2-×2×2=8-8
【知识点】扇形面积的计算
7.（2019重庆A卷，16，4）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
第16题图
【答案】．
【解析】∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，且∠BAD＝∠BCD＝120°．∴S阴影＝2S正三角形ABC－2S阴影AEF＝2××22－2×＝．如下图：
第16题答图
【知识点】菱形；等边三角形的面积；扇形的面积．
8.（2019甘肃天水，16，4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π﹣2
【解析】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝22，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO2×22π﹣2．
故答案为：2π﹣2．
【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；扇形面积的计算
9.（2019甘肃武威，16，4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
【答案】．
【解析】解：如图：
新的正方形的边长为，∴恒星的面积．
故答案为．
【知识点】扇形面积
10.（2019甘肃省，16，3分）如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】解：在中，，，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：
【知识点】扇形面积
11.（2019广东广州，15，3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】
【解析】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
【知识点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算
12.（2019湖北鄂州，13，3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为5，
∴圆锥的侧面积为π×55，
故答案为：．
【知识点】圆锥的计算
三、解答题
1.（2019浙江衢州，21，8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线。
（2）若DE=，∠C=30°，求的长。
【思路分析】（1）连结OD,根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠ODE=90°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，∠AOD=60°，利用三角函数求得BD,CD，OC，利用弧长公式求得的长。
【解题过程】（1）证明：如图，连结OD，∵OC=0D.AB-AC，
∴∠1=∠C.∠C=∠B.……1分
∴∠1=∠B.…2分
∵DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°.
∴∠2+∠1=90°，…3分
∴∠ODE=90°，…4分
∴DE为⊙O的切线。
（2）连结AD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°. …5分
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD.
∴∠AOD=60°. …6分
∵DE=，
∴BD=CD=2，
∴0C=2 …7分
∴==π。…8分
【知识点】切线判定三角函数弧长计算等腰三角形的性质
2.(2019四川巴中,19,8分)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2,且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标;
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C;
③在②的条件下,求出点B经过的路径长.
第19题图
【思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为BC的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.
【解题过程】①如图所示即为所求的△A1B1C,点A1的坐标为(3,－3);②如图所示即为所求的△A2B2C;③点B绕点C顺时针旋转90°,半径为BC＝,所以路径长为＝.
第19题图
【知识点】位似图形,旋转,弧长公式
3.(2019四川巴中,25,10分)如图,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
①求证:DC是O的切线;
②若AC＝4MC且AC＝8,求图中阴影部分的面积;
③在②的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.
第25题图
【思路分析】①过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD是切线;②通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,可得阴影部分面积③根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD的长度.
【解题过程】①过点O作OG⊥CD于点G,菱形ABCD中,AC是对角线,所以AC平分∠BCD,因为OH⊥BC,所以OH＝OG,因为OH是O的半径,所以OG等于O的半径,所以CD是O的切线;
第25题答图(1)
②因为AC＝4MC且AC＝8,所以OC＝2MC＝4,MC＝OM＝2,∴OH＝OM＝2,在Rt△OHC中,OH＝2,OC＝4,所以HC＝＝,tan∠HOC＝,∴∠HOC＝60°,所以S阴影＝S△OCH－S扇形OHM＝＝－;
③作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的值最小.因为ON＝OM＝OH,∠MOH＝60°,所以∠MNH＝30°,∠MNH＝∠HCM,所以HN＝HC＝,即PH+PM的最小值为.在Rt△NPO中,OP＝ONtan30°＝,在Rt△COD中,OD＝OCtan30°＝,所以PD＝OP+OD＝.
第25题答图(2)
【知识点】菱形性质,角平分线性质,切线判定,勾股定理,三角函数,扇形面积,轴对称性质
4.（2019山东淄博，22，8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE×CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积。
【思路分析】(1)①BC是⊙O的切线，需连接DO，再证DO⊥BC；
②由CD2＝CE×CA，需证＝,从而证△CDE∽△CAD；
(2)由F为弧AD的中点可得△DFO、△AOF是等边三角形，由此求出⊙O的半径.
【解题过程】(1)①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；
②连DE，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠DAE，∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE×CA；
(2)连接OD、FO、DF，∵点F是劣弧AD的中点，∴＝，∴∠AOF＝∠DOF，∠BAD＝∠ADF，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADF，∴DF∥AC，∴∠AOF＝∠DFO，又∵∠DFO＝∠FDO，∴∠DFO＝∠FDO＝∠DOF＝60°，又∴DF∥AC，∴S△DFA＝S△DFO,
连DE，∴△DEO是等边三角形，∴∠CDE＝30°＝∠C，∴CE＝DE＝DO＝3，
∴S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝π.
【知识点】切线判定方法，相似三角形的判定，等边三角形判定，等底等高的三角形面积相等，扇形面积计算.
5.（2019山东滨州，25，13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．
【思路分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）S阴影部分＝S扇形OAE－S△OAE即可求解．
【解题过程】
解：（1）如图所示，连接OD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线．………………………………………………………………………4分
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，
则DB＝DC＝．………………………………………………………………………………6分
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC．…………………………………………………………8分
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，…………12分
S阴影部分＝S扇形OAE－S△OAE＝×π×42－4＝－4．………………………13分
【知识点】圆周角定理及推论；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数
6.（2019江苏省无锡市，24，8）一次函数的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积.
第24题图
【思路分析】
本题考查一次函数与圆的综合题.（1）作MN⊥BO，先用由垂径定理求 OA得A的坐标，再利用解直角三角形求OB以及B的坐标，最求用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）转化为扇形面积与三角形面积的差即可.
【解题过程】
解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得N为OB中点，MN=OA，∵MN=3，∴OA=6，即A（-6，0）.
∵sin∠ABO=，OA=6，∴OB= 2，B（0， 2），设y = kx +b，将A、B坐标代入得，解得，∴y = x +2；
（2）∵第一问解得∠ABO=60°，∴∠AMO=120°，
所以阴影部分面积为S=.
第24题答图
【知识点】一次函数；垂径定理；扇形面积
7.（2019广东省，22，7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．
【思路分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．
【解题过程】解：（1）AB2，
AC2，
BC4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEFAB•ACπ•AD2＝20﹣5π．
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算
一、选择题
1. (2019山东泰安,11,4分)如图,将O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若O的半径为3,则的长为（ ）
A. B. C.2 D.3
第11题图
【答案】C
【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交于点E,由题可知OD＝DE＝OE＝OA,在Rt△AOD中,sinA＝＝,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,＝＝,故选C.
第11题答图
【知识点】折叠,三角函数,弧长公式
2. (2019山东枣庄,8,3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是（ ）(结果保留)
A.8－ B.16－2 C.8－2 D.8－
第8题图
【答案】C
【解析】在边长为4的正方形ABCD中,BD是对角线,∴AD＝AB＝4,∠BAD＝90°,∠ABE＝45°,∴S△ABD＝＝8,S扇形ABE＝＝8－2,故选C.
【知识点】扇形的面积,不规则图形的面积
3. (2019四川巴中,9,4分)如图,圆锥的底面半径r＝6,高h＝8,则圆锥的侧面积是( )
A.15 B.30 C.45 D.60
第9题图
【答案】D
【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r＝6,h＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝×10×12＝60,故选D.
【知识点】勾股定理,圆周长公式,扇形面积公式
4.（2019四川凉山，11，4分）如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=lcm，将△AOC绕点D顺时针旋转90 °后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )cm2
A． B．2π C． D．
第11题图
【答案】B
【思路分析】先用三角形与扇形的面积和差表示AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积，再借助全等转化为扇环的面积，最后求出扇环的面积.
【解析】AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB- S扇形OCD- S△ODB①,由旋转知：△OCA≌△ODB，∴S△OCA=S△ODB,∴①式=S扇形OAB- S扇形OCD=-=2π，故选B.
第11题答图
【知识点】旋转性质；扇形面积
5.（2019四川自贡，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】解：由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
过圆心O点作OE⊥BC于E，
在Rt△OEC中，∠COE=45°，
∴sin∠COE=,
设CE=k，则OC=CE=k，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=k，即BC=2k.
∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.
∴==≈.
【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆
6.（2019浙江湖州，5，3分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【答案】B．
【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．
【知识点】圆的有关计算；圆锥的侧面积
7.（2019浙江湖州，7，3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70°C．72° D．144°
第7题图
【答案】C．
【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，CB＝CD．
∴∠CBD＝∠CDB＝＝36°．
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝108°－72°＝36°．
故选C．
【知识点】圆的内接正多边形有关计算；等腰三角形的性质；三角形内角和
8.（2019浙江金华，9，3分）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A.2 B. C. D.
（第9题图）
【答案】D．
【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BD长为R．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝lR，∴l＝·∴下面圆锥的侧面积为lR＝··R＝．故选D．
【知识点】圆锥的侧面积
9.(2019浙江宁波,10,4分)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为（ ）
A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
第10题图
【答案】B
【解析】＝,右侧圆的周长为,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,＝,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.
【知识点】弧长,圆锥展开图
10.（2019浙江衢州，9，3分）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（ ）
A.1 B. C. D.2
【答案】C
【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠AFC=60°，因为sin∠AFM=，所以AM=sin∠AFM×AF=×2=,AM的长即为纸带宽，故选C。
【知识点】正六边形性质三角函数
二、填空题
1.（2019江苏无锡，15，2分）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为cm.
【答案】3
【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r3cm，故答案为3．
【知识点】圆锥计算
2.（2019山东滨州，17，5分）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．
【答案】
【思路分析】根据题意画出图形，作一条内切圆半径和一条外接圆半径，在组成的直角三角形中，利用勾股定理或锐角三角函数求值．
【解题过程】如图，连接OE，作OM⊥EF于M，则OE=EF，EM=FM，OM=2，∠EOM=30°，在Rt△OEM中，cos∠EOM=，∴=，解得OE=，即外接圆半径为．
【知识点】正六边形的性质；勾股定理；锐角三角函数
3. (2019山东聊城,14,3分)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为________.
第14题图
【答案】120°
【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2,圆锥的母线AC＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n°,根据弧长公式可得2＝,n＝120.∴圆心角的度数为120.
【知识点】勾股定理,弧长公式
4. (2019山东泰安,15,4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A,点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影部分的面积为________.
第15题图
【答案】
【解析】连接OC,过点C作CN⊥AO于点N,CM⊥OB于点M,∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠A＝60°,∵OA＝OC,∴△AOC为等边三角形,∵OA＝3,∴CN＝,CM＝CN＝,∴S扇形AOC＝,S△AOC＝,在Rt△AOB中,OB＝OA＝3,S△OCB＝,∠COD＝30°,S扇形COD＝,S阴影＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝.
第15题答图
【知识点】扇形面积,三角形面积
5.（2019山东潍坊，18，3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 ．（n为正整数）
【答案】（n，）
【思路分析】横坐标依次为1，2，3，4，…可以确定点Pn的横坐标，再根据勾股定理可确定点Pn的纵坐标．
【解题过程】由图可知点Pn的横坐标与它所在圆的半径相同，故点Pn的横坐标为n，
点P1的纵坐标为，
点P2的纵坐标为，
……
点Pn的纵坐标为，
∴点Pn的坐标为（n，）．
【知识点】规律探索，图形与坐标
6.（2019重庆市B卷，16，4分）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是
【答案】8-8
【解题过程】连结AE.
∵在矩形ABCD中，AB=4,AD=2，∴AB=AD，∴∠EAD=∠EAB=45°，∴AE=AD=2,
∴ = =×（8-2）×2-×2×2=8-8
【知识点】扇形面积的计算
7.（2019重庆A卷，16，4）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
第16题图
【答案】．
【解析】∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，且∠BAD＝∠BCD＝120°．∴S阴影＝2S正三角形ABC－2S阴影AEF＝2××22－2×＝．如下图：
第16题答图
【知识点】菱形；等边三角形的面积；扇形的面积．
8.（2019甘肃天水，16，4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π﹣2
【解析】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝22，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO2×22π﹣2．
故答案为：2π﹣2．
【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；扇形面积的计算
9.（2019甘肃武威，16，4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
【答案】．
【解析】解：如图：
新的正方形的边长为，∴恒星的面积．
故答案为．
【知识点】扇形面积
10.（2019甘肃省，16，3分）如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】解：在中，，，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：
【知识点】扇形面积
11.（2019广东广州，15，3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【答案】
【解析】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2，则底面圆的周长为2π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
故答案为2π．
【知识点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算
12.（2019湖北鄂州，13，3分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为5，
∴圆锥的侧面积为π×55，
故答案为：．
【知识点】圆锥的计算
三、解答题
1.（2019浙江衢州，21，8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线。
（2）若DE=，∠C=30°，求的长。
【思路分析】（1）连结OD,根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠ODE=90°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，∠AOD=60°，利用三角函数求得BD,CD，OC，利用弧长公式求得的长。
【解题过程】（1）证明：如图，连结OD，∵OC=0D.AB-AC，
∴∠1=∠C.∠C=∠B.……1分
∴∠1=∠B.…2分
∵DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°.
∴∠2+∠1=90°，…3分
∴∠ODE=90°，…4分
∴DE为⊙O的切线。
（2）连结AD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°. …5分
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD.
∴∠AOD=60°. …6分
∵DE=，
∴BD=CD=2，
∴0C=2 …7分
∴==π。…8分
【知识点】切线判定三角函数弧长计算等腰三角形的性质
2.(2019四川巴中,19,8分)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2,且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标;
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C;
③在②的条件下,求出点B经过的路径长.
第19题图
【思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为BC的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.
【解题过程】①如图所示即为所求的△A1B1C,点A1的坐标为(3,－3);②如图所示即为所求的△A2B2C;③点B绕点C顺时针旋转90°,半径为BC＝,所以路径长为＝.
第19题图
【知识点】位似图形,旋转,弧长公式
3.(2019四川巴中,25,10分)如图,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
①求证:DC是O的切线;
②若AC＝4MC且AC＝8,求图中阴影部分的面积;
③在②的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.
第25题图
【思路分析】①过点O作CD的垂线,通过证明其与半径相等,得到CD是切线;②通过三角函数计算边长和圆心角度数,得到三角形和扇形的面积,可得阴影部分面积③根据轴对称的性质找到点P的位置,进而计算最小值,利用三角函数求PD的长度.
【解题过程】①过点O作OG⊥CD于点G,菱形ABCD中,AC是对角线,所以AC平分∠BCD,因为OH⊥BC,所以OH＝OG,因为OH是O的半径,所以OG等于O的半径,所以CD是O的切线;
第25题答图(1)
②因为AC＝4MC且AC＝8,所以OC＝2MC＝4,MC＝OM＝2,∴OH＝OM＝2,在Rt△OHC中,OH＝2,OC＝4,所以HC＝＝,tan∠HOC＝,∴∠HOC＝60°,所以S阴影＝S△OCH－S扇形OHM＝＝－;
③作点M关于BD的对称点N,连接HN交BD于点P,此时PH+PM的值最小.因为ON＝OM＝OH,∠MOH＝60°,所以∠MNH＝30°,∠MNH＝∠HCM,所以HN＝HC＝,即PH+PM的最小值为.在Rt△NPO中,OP＝ONtan30°＝,在Rt△COD中,OD＝OCtan30°＝,所以PD＝OP+OD＝.
第25题答图(2)
【知识点】菱形性质,角平分线性质,切线判定,勾股定理,三角函数,扇形面积,轴对称性质
4.（2019山东淄博，22，8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE×CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积。
【思路分析】(1)①BC是⊙O的切线，需连接DO，再证DO⊥BC；
②由CD2＝CE×CA，需证＝,从而证△CDE∽△CAD；
(2)由F为弧AD的中点可得△DFO、△AOF是等边三角形，由此求出⊙O的半径.
【解题过程】(1)①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；
②连DE，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠DAE，∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE×CA；
(2)连接OD、FO、DF，∵点F是劣弧AD的中点，∴＝，∴∠AOF＝∠DOF，∠BAD＝∠ADF，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADF，∴DF∥AC，∴∠AOF＝∠DFO，又∵∠DFO＝∠FDO，∴∠DFO＝∠FDO＝∠DOF＝60°，又∴DF∥AC，∴S△DFA＝S△DFO,
连DE，∴△DEO是等边三角形，∴∠CDE＝30°＝∠C，∴CE＝DE＝DO＝3，
∴S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝π.
【知识点】切线判定方法，相似三角形的判定，等边三角形判定，等底等高的三角形面积相等，扇形面积计算.
5.（2019山东滨州，25，13分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．
【思路分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）S阴影部分＝S扇形OAE－S△OAE即可求解．
【解题过程】
解：（1）如图所示，连接OD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线．………………………………………………………………………4分
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，
则DB＝DC＝．………………………………………………………………………………6分
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC．…………………………………………………………8分
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，…………12分
S阴影部分＝S扇形OAE－S△OAE＝×π×42－4＝－4．………………………13分
【知识点】圆周角定理及推论；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数
6.（2019江苏省无锡市，24，8）一次函数的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为-3.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积.
第24题图
【思路分析】
本题考查一次函数与圆的综合题.（1）作MN⊥BO，先用由垂径定理求 OA得A的坐标，再利用解直角三角形求OB以及B的坐标，最求用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）转化为扇形面积与三角形面积的差即可.
【解题过程】
解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得N为OB中点，MN=OA，∵MN=3，∴OA=6，即A（-6，0）.
∵sin∠ABO=，OA=6，∴OB= 2，B（0， 2），设y = kx +b，将A、B坐标代入得，解得，∴y = x +2；
（2）∵第一问解得∠ABO=60°，∴∠AMO=120°，
所以阴影部分面积为S=.
第24题答图
【知识点】一次函数；垂径定理；扇形面积
7.（2019广东省，22，7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．
【思路分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．
【解题过程】解：（1）AB2，
AC2，
BC4；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD2，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEFAB•ACπ•AD2＝20﹣5π．
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算
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