2023年中考数学 章节专项练习36 锐角三角函数

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一、选择题
1.（2019湖南怀化，8，4分）已知∠α为锐角，且sinα=，则∠α=（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A.
【思路分析】根据特殊角三角函数值即可得出答案.
【解答过程】解：∵∠α为锐角，且sinα=，
∴∠α=30°．
故选A.
【知识点】特殊角的三角函数值

2.（2019山东滨州，10，3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（　　）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．＝0
【答案】C
【思路分析】选项A和B用勾股定理进行判断；选项C利用三角形内角和定理求出各角的度数再进行判断；选项D中，利用非负数的性质，特殊角的锐角三角函数值求出∠A和∠B的度数，再利用内角和进行判断．
【解题过程】A中，∵4＜5＜，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（）2=41，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；B中，∵AB：BC：AC=3：4：5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，∵AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；C中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×=45°，∠B=180°×=60°，∠C=180°×=75°，∴△ABC不是直角三角形；D中，∵=0，又∵≥0，≥0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC是直角三角形．故选C．
【知识点】勾股定理；三角形内角和定理；特殊角的锐角三角函数值；非负数的性质

3.（2019四川达州，题号10，3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC交x轴于点D，下列结论：①OA=BC=；②当点D运动到OA的中点处时，PC+PD=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(,0)，其中正确结论的个数是（）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

【答案】D
【思路分析】可以结合图形根据题意，逐个判断.
【解题过程】已知B（，2），所以OA=BC=，故①正确；当点D运动到OA的中点处时，OD=，而OC=2，所以OC=7，在直角三角形CPD中，PC+PD=7，故②正确；过点P作PD⊥PC交x轴于点D，所以在运动过程中，∠CDP是一个定值，故③正确；当△ODP为等腰三角形时，OC⊥BD，∠CDO=60°所以，即OD=，所以点D的坐标为(,0)
【知识点】勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质.

4. （2019四川省凉山市，9，4分） 如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cosC=，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．

第9题图
【答案】D
【思路分析】过点A作AD⊥BC于点D，先利用cosC求CD，再借助勾股定理求AD、AB，最后求sinB．
【解题过程】过点A作AD⊥BC于点D，∵cosC=，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD=，在Rt△ABD中，AB=，∴sinB=，故选D.

第9题答图
【知识点】锐角三角函数；勾股定理

5. （2019天津市，2，3分）2sin60°的值等于
(A) 1 (B) (C)(D)2
【答案】C
【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=，再乘以2，可得答案C
【知识点】有理数的乘法运算及特殊三角函数值计算.

6.（2019浙江省金华市，8，3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（）
A. ∠BDC=∠α B.BC= m·tanα C.AO= D.BD=

【答案】C．
【解析】由锐角三角函数的定义，得sinα= ，∴AO=，故选C．
【知识点】锐角三角函数

二、填空题
1. (2019山东聊城,16,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.

第16题图
【答案】a
【解析】∵BC＝a,∴CF＝BC＝a,∴BF＝a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝a,∴△MED∽△MFB,∴,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝a,MB＝a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝a.
【知识点】三角函数

2.（2019山东淄博，17，4分）如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.
如图1，当CD＝时，
如图2，当CD＝时，
如图3，当CD＝时，
……
依次类推，当CD＝（n为正整数）时，
……
【答案】
【解析】当n＝1时，
当n＝2时，
当n＝3时，
……
∴
【知识点】几何变换，规律探究题
3.（2019四川乐山，14，3分）如图，在△中，，，.则边的长为 .

第14题图
【答案】

第14题答图
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，，AC＝2，∴DC=×2=，，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵sin B=，=2AD=．
【知识点】解直角三角形；勾股定理

4.（2019四川眉山，16，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为 ．

【答案】
【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC==13，∵△ABC绕点A旋转到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD===，故答案为：.
【知识点】勾股定理，旋转的性质，锐角三角形函数

5. （2019四川自贡，18，4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= .

【答案】.
【解题过程】
解：连接BC，

∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，
∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，
∴△ADE≌△BEC，
∴∠EBC=α.
∵∠BEC=1200，BE=CE，
∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，
设小正三角形的边长为a，
则AC=2a，BC=a，
在Rt△ACB中，AB=.
∴cos∠ABC=
又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，
∴cos(α+β)=.

【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理.

6.（2019甘肃省，14，3分）在中，，则 ．
【答案】
【解析】解：在中，，，
设，，则，
．
故答案为．
【知识点】特殊角的三角函数值
三、解答题
1.（2019山东淄博，23，10分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M．连接MD，MG，MB．
(1)试证明DM⊥MG，并求的值；
(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．

【思路分析】(1)由M是EF的中点，构造全等三角形，
(2)根据菱形＋∠EAB＝2α可以设连接特殊线段，根据特殊垂直证明四边形TBFD为矩形，再设边长为2和1
在直角三角形用α和边长2和1表示出MB和MG最后求出比值
【解题过程】(1)延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，，∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；
设AB＝4，BC＝2，易求MB＝EF＝，MG＝BC＝，∴

(2)比值会随着α的变化而变化，理由如下：
连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q
由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α
∴四边形TBFD为矩形
∴DF＝TB
∵G为BD的中点
∴MG＝
由题设AB＝2，BC＝1
∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα
∴DF＝TB＝2sinαMG＝＝sinα


在RT△EBF中由勾股定理得

∴MB＝＝
∴＝
【知识点】全等三角形判定，等腰三角形三线合一,倍长中线构造全等