2023年中考数学 章节专项练习37 解直角三角形及其应用

这是一份2023年中考数学 章节专项练习37 解直角三角形及其应用，共20页。

一、选择题
1.(2019山东泰安,8,4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为________km.
A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30

第8题图
【答案】B
【解析】如图,由题中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故选B.

【知识点】方位角,三角函数

2.（2019重庆市B卷，10，4分）
如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A,B,C,D在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,那么建筑物AB的高度约为（ ）

【答案】B
【思路分析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.先解直角三角形Rt△ECM,求出EM,CM，再根据tan27°=,求出AN，∴AB=AN+BN
【解题过程】解：作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4,
DC=BC=52米，设DM=x米，则CM=2.4x米，
在Rt△ECM中，∵+ =，∴+=
解得x=20 ∴CM=48米，EM=20+0.8=20.8米，BM=ED+DM=52+48=100米
∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形. ∴EN=BM=100米，BN=EM=20.8米.
在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×0.51=51米
∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8米.故选B．
【知识点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题；解直角三角形的应用—仰角俯角问题

3.（2019重庆A卷，10，4分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）＝1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
第10题图

【答案】C．
【解析】如答图，延长DC交EA于点F，则CF⊥EA．∵山坡AC上坡度＝1:2.4，AC＝26米，∴令CF＝k，则AF＝2.4k，由勾股定理，得k2＋(2.4k)2＝262，解得k＝10，从而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tanE＝，故DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD＝DF－CF＝23.3，故选C．
第10题答图

【知识点】解直角三角形；坡度问题

4.（2019广东广州，3，3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC，则此斜坡的水平距离AC为（　　）

A．75m B．50m C．30m D．12m
【答案】A
【解析】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC，BC＝30m，∴tan∠BAC，
解得AC＝75，故选：A．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
二、填空题
1.(2019山东枣庄,15,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为________m(精确到0.1m).
(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)

第15题图
【答案】9.5
【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝9.48m≈9.5m

第15题答图
【知识点】利用三角函数测高

2.（2019浙江湖州，14，4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图．AB和CD分别是两根不同的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
图1 图2
第14题图

【答案】120．
【解析】如答图，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB＝90°．
第14题答图

∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，
∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．
在Rt△ABE中，sinB＝，
故h＝AB•sinB＝150×sin53°≈150×0.8＝120．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形．

3.（2019浙江金华，14，4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是___________．


【答案】40°．
【解析】量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的度数是50°，则过AB中点的水平线对应的是140°，所以此时观察楼顶的仰角度数是40°．
【知识点】仰角，平角，铅垂线，水平线

4.（2019浙江金华，16，4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm.
（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=_______cm.
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为_______cm2.

（第16题图）
【答案】（1）（90－45）；（2）2256．
【解析】（1）利用直角三角形的性质先求得EB，CF，然后进行线段加减即可；
（2）根据题意，得S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，计算可得.
解：(1)∵ AB=50，CD=40，∴AB＋CD= EB＋CF＝EF=90.
在Rt△ABE中，∵∠E =90°，∠ABE=30°，∴EB＝25.
同理可得CF＝20.∴BC=90－45（cm）.
（2）根据题意，得AE＝40, DF=32, EB＝＝30，CF＝＝24,
∴S四边形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF
＝(AE＋DF)·EF－AE·EB－CF·DF
＝(40＋32)×90－×40×30－×24×32
＝2256.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质

5. (2019浙江宁波,16题,4分)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米.

第16题图
【答案】566
【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.

第16题答图
【知识点】三角函数

6.（2019浙江衢州，14，4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是米（结果精确到0.1m参考数据；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）。
【答案】1.5
【解析】由三角函数的定义得:sinα= sin50°==≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米。
【知识点】解直角三角形三角函数

7.（2019广东省，15，4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　　米（结果保留根号）．

【答案】（15+15）
【解析】解：过点B作BE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
三、解答题
1.(2019浙江台州,19,8分)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)

第19题图
【思路分析】①以点C为位似中心,延长AC,BC至A1,B1,使A1C＝2AC,B1C＝2BC;②过点C作AC,BC的垂线,截取A2C＝AC,B2C＝BC,连接A2B2;③点B的路径为圆弧,半径为BC的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.
【解题过程】过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝86.48,∴A离地面高度为86.48+6≈92.5(cm),答：求把手A离地面的高度92.5cm.
D

第19题答图
【知识点】三角函数的应用

2.（2019天津市，22，10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果保留整数）
参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60

【思路分析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的正切值，可求得AD=；在Rt△BCD中，根据∠CBD的正切值,可求得BD=,根据AD=BD+AB,列出关系式即可求出CD的长.
【解题过程】解：如图，根据题意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30，
∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=
∴AD=
∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,
∴BD=，
∵AD=BD+AB,
∴=30+CD,∴CD=45.
答：这座灯塔的高度CD约为45m。

【知识点】解直角三角形

3.（2019四川眉山，22，8分）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．

【思路分析】在Rt△DEC中，根据勾股定理求出DE和EC的长，点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H，设AB=BC=xm，用含x的式子表示出AG和DG的长度，在根据特殊角的函数值求出x的值即可.
【解题过程】解：在Rt△DEC中，∵i=DE∶DC=1∶2，且DE2+EC2=DC2.∴DE2+（2DE）2=（）2.解得：DE=20m，EC=40m.过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥DG于点H，则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形.∵∠ACB=45°，AB⊥BC，∴AB=BC，设AB=BC=xm，则AG=（x-20）m，DG=（x+40）m，在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，∴，解得：x=50+.答：楼AB的高度为（50+）米.

【知识点】勾股定理，锐角三角函数，特殊角的函数值

4.（2019四川达州，23，8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”，蹲坐着观音崖一块奇石是一只“哮天犬”，昂首向天，望穿古今. 一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“哮天犬”上嘴尖与头顶的距离，他们把蹲着的“哮天犬”抽象成ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB=5米，CD=2.7米，景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3米，他们很快就算出了AB的长，你也算算？（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84. ≈1.41 ≈1.73）
【思路分析】先过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF于点G，在△ADE中，先利用tan60°求出DE的长，然后在△BCF中，利用tan40°求出BF、CF的长，再求出EF，BG的长，在直角三角形ABG中利用勾股定理即可求出AB的长.
【解题过程】解：过点B作BF⊥CE于点F，再过点A作AG⊥BF于点G，则四边形AEFG是矩形
在Rt△ADE中，tan60° AE=3，，∴DE=
在Rt△CBF中，sin40°，CB=5，∴BF≈3.2
cos40°=≈0.77 CB=5 ∴CF≈3.85
∵CD=2.7 ∴EF=CD+DE-CF≈0.58 BG=BF-AE≈0.2
∴AB=≈0.6m


【知识点】锐角三角函数、勾股定理、解直角三角形.

5.(2019四川巴中,23,8分)某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校”数学兴趣小组”在”研学旅行”活动中,在C处测点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC＝414m,AB＝300m,求出点D到AB的距离.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)

第23题图
【思路分析】构造直角三角形,利用三角函数和矩形性质,得到线段等量关系,列出方程,求解可得.
(2) 【解题过程】过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,因为AB⊥BC,所以四边形DEBF是矩形,DE＝BF,EB＝DF,在Rt△AED中,AE＝,∴BE＝AB－AE＝300－,所以DF＝BE＝300－,在Rt△CDF中,∠DCF＝45°,所以∠FDC＝∠FCD,所以CF＝DF＝300－,所以BC＝BF+FC＝300－+ED,因为BC＝414,所以300－+ED＝414,所以ED＝214,所以点D到AB的距离为214m.

第23题答图
【知识点】方位角,三角函数的应用

6.（2019山东潍坊，20，6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）

【思路分析】解Rt△ABE求出AE的长，进一步求出CE的长度，再根据CD的坡度解Rt△CDE求出CD的长度．
【解题过程】在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=1∶，
∴∠ABE=30°．
∵AB=200，
∴AE=AB=100．
∵AC=20，
∴CE=100－20=80．
在Rt△CDE中，
∵tanD=1∶4，
∴sinD=．
∴．
∴CD=（米）
答：斜坡CD的长是米．
【知识点】解直角三角形的应用，坡度和坡比

7.(2019山东聊城,22,8分)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示,CD部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4°(如图②所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到1米)
(参考数据:sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00,≈1.41,≈1.73)

第22题图
【思路分析】分别在Rt△AEC,Rt△CEB,Rt△DAE中,利用三角函数和已知边长,得到边的关系,建立方程,则可求得楼体CD的高度.
【解题过程】设楼高CE为x米,∵在Rt△AEC中,∠CAE＝45°,∴AE＝CE＝x,∵AB＝20,∴BE＝x－20,在Rt△CEB中,CE＝BEtan63.4°≈2(x－20),∴2(x－20)＝x,解得x＝40,在Rt△DAE中,DE＝AEtan30°＝,∴CD＝CE－DE＝40－≈17(米).答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.
【知识点】三角函数应用

8.（2019湖南岳阳，22，8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）
（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．

【思路分析】（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△ACG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB=AH+HB代入求塔高．
【解题过程】（1）在Rt△AEH中，∠AEH=62.3°，
．
∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°=1.9a．
∵GH=GB－HB=CD－EF=1.7－1.5=0.2，
∴AG=AH－GH=1.9a－0.2．
在Rt△ACG中，
∵∠ACG=45°，
∴CG=AG=1.9a－0.2．
∴BD=CG=1.9a－0.2．
所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米．
（2）∵DF=BD+BF，
∴1.9a－0.2＋a=52．
解得：a=18
∴AB=AH＋BH=1.9a＋1.5=1.9×18＋1.5=35.7（米）．
所以慈氏塔的高度AB为35.7米．
【知识点】解直角三角形的应用，仰角俯角问题

9.（2019湖南怀化，20，10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度.

【思路分析】过A点作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，然后根据锐角三角函数的定义可得BD=AD，CD=AD，进而得出AD的值即可.
【解题过程】解：过A点作AD⊥BC，垂足为D.
根据题意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×1.5=60米，
在Rt△ABD中，BD==AD，
在Rt△ACD中，CD==AD，
∴BC=BD-CD=AD=60，
∴AD=30.
所以此段河面的宽度为30.

【知识点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
10.（2019安徽省，19，10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，，若点为运行轨道的最高点，的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．
（参考数据：，，


【思路分析】连接并延长，与交于点，由与垂直，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出，进而求出，由求出的长即可．
【解题过程】解：连接并延长，与交于点，
，（米，
在中，，
，即（米，
，即（米，
则（米．


【知识点】解直角三角形的应用

11.（2019四川南充，25，7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳蓬．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
【思路分析】根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列式计算即可．
【解题过程】解：在中，，
则，
在中，，
则，
由题意得，，即，
解得，，
答：遮阳蓬的长约为．
【知识点】解直角三角形的应用

12.（2019甘肃天水，22，7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：1.414，1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．


【思路分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．
【解题过程】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴tan∠CAD，
解得，AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（6）＝14﹣614﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．

【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题


13.（2019甘肃武威，22，8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取．


【思路分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
【解题过程】解：如图，作于，于，于．

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，，
，

，
，
在中，，
∴，
∴此时台灯光线为最佳．
【知识点】解直角三角形及其应用

14.（2019甘肃省，22，6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，


【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【解题过程】解：连接，作于点，
，，分别垂直平分踏步，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，，
该中学楼梯踏步的高度符合规定，
，，
该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．


【知识点】解直角三角形的应用坡度坡角问题

15.（2019湖北鄂州，21，8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，1.41，1.73）．

【思路分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解题过程】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；
∴四边形DEFG是矩形；
∴FG＝DE；
在Rt△CDE中，
DE＝CE•tan∠DCE；
＝6×tan30o＝2（米）；
∴点F到地面的距离为2米；
（2）∵斜坡CFi＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝21.5＝3，
∴FD＝EG＝36．
在Rt△BCE中，
BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6．
∴AB＝AD+DE﹣BE．
＝36+2664.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．

【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题