2022-2023学年青海省西宁市大通县高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市大通县高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年青海省西宁市大通县高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z满足z−iz=2，则|z|=(    )
A. 2 B. 5 C. 2 D. 5
2. 如图，直角三角形ABC绕直角边AC旋转360°，所得的旋转体为(    )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 圆台
D. 球
3. 已知a⋅b=−3 3，|a|=2，|b|=3，则a与b的夹角是(    )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=a2+ 3bc，则A=(    )
A. 5π12 B. π4 C. π3 D. π6
5. 已知向量a=(2,−1)，b=(1,n)，若a⊥b，则a+b在b上的投影向量的坐标为(    )
A. (2,1) B. (1,1) C. (1,2) D. ((−2,1)
6. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(    )
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8
7. 如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，则点A到平面A1B1E的距离为(    )
A. 5a
B. 55a
C. 2 55a
D. 3 55a
8. 在△ABC中，已知sinA+sinB=cosA+cosB，则△ABC的形状一定是(    )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是(    )
A. A与B互为对立事件 B. A与B为相互独立事件
C. A与B相等 D. P(A)=P(B)
10. 已知直线l与平面α，β，γ，能使得α//γ的充分条件是(    )
A. α⊥β，γ⊥β B. .l⊥α，l⊥γ C. α//β，β//γ D. l//α，l//γ
11. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的(    )


A. a的值为0.005 B. 估计成绩低于60分的有25人
C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第85百分位数为86
12. 如图，在△ABC中，BM=12BC，NC=23AC，直线AM交BN于点Q，则(    )
A. BN=13BA+23BC
B. AQ=QM
C. BQ=3QN
D. QA+QB+QC=0
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若复数z=(m−2)+(m+1)i(m∈R)在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是          ．
14. 某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为______ ．
15. 如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．
16. 已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，已知a=(3,−4)，b=(2,−3)．
(1)若(a−λb)//(3a+b)，求实数λ的值；
(2)若c=(0,4+ 3)，d=(−1,3+ 3)，求a+c与b+d的数量积．
18. (本小题12.0分)
暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍．
(1)求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图(用阴影涂黑)；
(2)现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数x−=8，方差s2=2，第五组得分的平均数y−=5，方差t2=1，则这6人得分的平均数a−和方差b2分别为多少(方差精确到0.01)？

19. (本小题12.0分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．
(1)证明：BD1//平面PAC；
(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小．

20. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为23sinC，c=2，1a+1b=3 2c4．
(1)求△ABC的周长；
(2)求角C的度数．
21. (本小题12.0分)
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中甲、乙分别猜对12道、15道.假设猜对每道灯谜都是等可能的．
(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；
(2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，BC=CD=1，∠ABC=90°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC的中点．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)若二面角P−BC−A的大小为45°，求三棱锥C−AMN的体积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由题意，复数z满足z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
则|z|=|1+i|= 12+12= 2．
故选：A．
利用复数的运算法则、复数的模直接求解．
本题考查复数的运算法则、复数的模等础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：由圆锥的定义可得直角三角形ABC绕直角边AC旋转360°，所得的旋转体为圆锥，如下图：

故选：A．
由圆锥的定义即可求解．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：设向量a与b的夹角为θ，
∵a⋅b=−3 3，|a|=2，|b|=3，
∴cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=−3 32×3=− 32，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=5π6．
故选：D．
由平面向量数量积的夹角公式直接计算即可．
本题考查平面向量的夹角与数量积，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：∵b2+c2=a2+ 3bc，
∴由余弦定理的推论，可得cosA=b2+c2−a22bc= 32，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π6．
故选：D．
由已知利用余弦定理的推论可得cosA= 32，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：a⊥b，a=(2,−1)，b=(1,n)，
故2×1+(−1)×n=0，解得n=2．
所以b=(1,2)，a+b=(3,1)，
(a+b)⋅b=3×1+1×2=5，|b|= 5，
所以a+b在b上的投影向量为|a+b|cosθ⋅b|b|=(a+b)⋅b|b|2⋅b=(1,2)．
故选：C．
由向量垂直的坐标表示求解n，再根据投影向量的公式进行求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2>15(6−2)2=3.2>2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：x−=15(1+2+3+3+6)=3
方差为S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
根据题意举出反例，即可得出正确选项．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．

7.【答案】C 
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1D1D，而A1B1⊂平面A1B1E，

则平面A1B1E⊥平面AA1D1D，在平面AA1D1D内过点A作AF⊥A1E于F，
连接AE，在△AA1E中，A1E=AE= AD2+ED2= 5a2，S△AA1E=12A1E⋅AF=12AA1⋅AD，
即 52a×AF=a2，解得AF=2 55a，
因平面A1B1E⋂平面AA1D1D=A1E，于是得AF⊥平面A1B1E，
则AF的长即为点A到平面A1B1E的距离，点E为棱DD1的中点，
所以点A到平面A1B1E的距离为2 55a．
故选C．
过点A作AF⊥A1E于F，可得AF⊥平面A1B1E，即为所求距离．
本题考查线面垂直，考查面面垂直的性质，考查点到面的距离，属于中档题．

8.【答案】B 
【解析】解：由sinA+sinB=cosA+cosB，得sinA−cosA=−sinB+cosB，
即 2sin(A−π4)=− 2sin(B−π4)，
又因为A，B∈(0,π)，
所以A−π4∈(−π4,3π4)，B−π4∈(−π4,3π4)，
所以A−π4=−(B−π4)，得A+B=π2，
所以△ABC一定为直角三角形．
故选：B．
利用两角和与差的正弦展开式化简可得 2sin(A−π4)=− 2sin(B−π4)，再根据A、B的范围可得答案．
本题主要考查了和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题．

9.【答案】BD 
【解析】解：AB可以同时发生，A与B不为对立事件，故A错误，
P(AB)=14，P(A)=P(B)=12，故D正确，
则P(AB)=P(A)P(B)，故A与B为相互独立事件，故B正确，
事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，
则A≠B，故C错误．
故选：BD．
根据已知条件，结合对立事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
本题主要考查对立事件，相互独立事件的定义，属于基础题．

10.【答案】BC 
【解析】解：α⊥β，γ⊥β不能推出α//γ，两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错；
l⊥α，l⊥γ可以推出α//γ，两个平面垂直于同一条直线两平面平行，故B对；
α//β，β//γ可以推出α//γ，两个平面平行于同一个平面两平面平行，故C对，
l//α，1//γ不能推出α//γ，平行于同一个直线的两平面可以相交，故D错．
故选：BC．
要使得α//γ成立，即两平面平行，则这两个平面垂直于同一条直线，或者这两个平面平行于同一个平面，而两平面垂直于同一个平面或平行于同一个直线则不能判定这两个平面平行．
本题主要考查直线与平面的位置关系，属于基础题．

11.【答案】ACD 
【解析】对于A，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1，得a=0.005.故A正确；
对于B，估计成绩低于6(0分)的有1000×(2a+3a)×10=50000a=250人．故B错误；
对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确；
对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则(90−m)×5×0.005+0.005×10=1−85%=0.15，
解得：m=86，故D正确．
故选：ACD．
由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．

12.【答案】BC 
【解析】解：对于A，因为NC=23AC，
所以NC=2AN，则BN=BA+AN=BA+13AC=BA+13(BC−BA)=13BA+23BC，故A错误；
对于B，C，因为A，M，Q三点共线，
故存在实数λ，使得BQ=λBM+(1−λ)BA=λ2BC+(1−λ)BA，
设BQ=μBN，
所以λ2BC+(1−λ)BA=μ3BC+2μ3BA，
BC，BA为不共线的向量，
即λ2=μ31−λ=2μ3，解得λ=12μ=34，
BQ=12BM+12BA，
则BA+AQ=12(BA+AM)+12BA=BA+12AM，即AQ=12AM，
AQ=QM成立，
因为BQ=34BN，
所以BQ=3QN，
故B，C正确；
对于D，因为BM=12BC，
所以M是BC的中点，
因此QB+QC=2QM，
由BC可知，AQ=QM⇒QA=−QM，
QA+QB+QC=QA+2QM=QM≠0，故D错误．
故选：BC．
根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可．
本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题．

13.【答案】(−1,2) 
【解析】
【分析】

根据复数在复平面内对应的点在第二象限，得到复数的实部小于0和虚部大于0，得到关于m的不等式组，求出m的范围．
本题考查复数代数表示法及其几何意义，是一个基础题．
【解答】
解：z=(m−2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第二象限，
可得m−2<0m+1>0，解得−1 故答案为：(−1,2)．
  
14.【答案】0.02 
【解析】解：每台设备报废的概率为：0.2×(1−0.9)=0.02．
故答案为：0.02．
根据一台设备的检测第一次不合格且第二次也不合格去计算概率可得每台设备报废的概率．
本题考查相互独立事件及积事件的概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．

15.【答案】6 10 
【解析】解：由题意可知，AB=300m，AC=150 2m，
由余弦定理可得BC= 90000+45000−2×300×150 2×(− 22)=150 10(m)，
这辆汽车的速度为150 10÷25=6 10(m/s)，
故答案为：6 10．
由余弦定理计算出BC的值，进而可计算汽车的速度．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．

16.【答案】500π3 
【解析】解：设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，
可得球心到两截面圆的距离分别为 R2−32， R2−42．
当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，
所以 R2−32− R2−42=1，解得R=5或R=−5(舍)；
当球心在两截面之间时，可得 R2−32+ R2−42=1，即3=− R2−42，该方程无解．
综上，R=5，故该球的体积为4π3⋅R3=4π3×53=500π3．
故答案为：500π3．
求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积．
本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)∵a=(3,−4)，b=(2,−3)，
∴3a+b=3(3,−4)+(2,−3)=(11,−15)，
a−λb=(3,−4)−λ(2,−3)=(3−2λ,−4+3λ)，
∵(a−λb)//(3a+b)，∴11×(−4+3λ)=(−15)×(3−2λ)=0，解得λ=−13；
(2)∵a=(3,−4)，b=(2,−3)，c=(0,4+ 3)，d=(−1,3+ 3)，
∴a+c=(3, 3)，b+d=(1, 3)，
∴(a+c)⋅(b+d)+3×1+ 3× 3=6． 
【解析】(1)由已知求得a−λb与3a+b的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解λ值；
(2)由已知求出a+c与b+d的坐标，然后利用数量积的坐标运算求解．
本题考查平面向量共线与垂直的坐标运算，是基础题．

18.【答案】解：(1)因为第五组的频率是第一组的2倍，
不妨设第一组的频率为x，
则第五组的频率为2x，
此时x+(0.07+0.06+0.04)×5+2x=1，
解得x=0.05，
所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10，
频率分布直方图如下：

(2)若从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，
因为第四组和第五组的频数之比为2：1，
所以从第四组抽取4人，第五组抽取2人，
又第四组得分的平均数x−=8，方差s2=2，第五组得分的平均数y−=5，方差t2=1，
所以这6人得分的平均数a−=4×x−+2×y−6=4×8+2×56=7，
方差b2=4[s2+(x−−a−)2]+2[t2+(y−−a−)2]6=4[2+(8−7)2]+2[1+(5−7)2]6≈3.67． 
【解析】(1)由题意，根据第五组的频率是第一组的2倍，不妨设第一组的频率为x，则第五组的频率为2x，结合频率之和为1，列出等式即可求出第一组和第五组的频率，进而可补全频率分布直方图；
(2)利用分层抽样的方法可知第四组抽取4人，第五组抽取2人，根据平均数和方差的公式进行求解即可．
本题考查频率分布直方图的应用，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力．

19.【答案】(1)证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．
连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO//BD1．
又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC
所以直线BD1//平面PAC．
(2)解：由(1)知，PO//BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．

因为AB=AD=1，AA1=2
PA=PC= 12+12= 2，AO=12AC= 22且PO⊥AO，
所以sin∠APO=AOAP= 22 2=12．
又∠APO∈(0°,90°]，所以∠APO=30°
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°． 
【解析】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，属于基础题．
(1)AC和BD交于点O，则O为BD的中点．推导出PO//BD1,由此能证明直线BD1//平面PAC．
(2)由PO//BD1，得∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．由此能求出异面直线BD1与AP所成角的大小．

20.【答案】解：(1)因为△ABC的面积为12absinC=23sinC，所以ab=43，
又因为1a+1b=3 2c4，所以a+bab=3 2c4，即a+b43=3 2c4，
所以a+b= 2c=2 2，
所以a+b+c=2 2+2，即△ABC的周长为2 2+2．
(2)由余弦定理得，
cosC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=(2 2)2−2×43−222×43=12，
因为0 【解析】(1)根据△ABC的面积求出ab的值，再根据1a+1b=3 2c4求出a+b，即可求得△ABC的周长．
(2)由余弦定理求得cosC与C的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．

21.【答案】解：(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率为C42C52=35；
(2)第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对的概率为35、乙猜对的概率为34，
甲、乙两人恰有一个人猜对的概率35×(1−34)+(1−35)×34=920． 
【解析】(1)利用古典概型进行求解．
(2)利用互斥事件、相互独立事件的性质进行求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．

22.【答案】解：(1)证明：因为△ABD为等边三角形，
所以AB=AD，
又BC=CD=1，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC，
所以∠BAC=∠DAC，
由等腰三角形三线合一可得AC⊥BD，
又因为PA⊥面ABCD，
又BD⊂面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AC∩PA=A，
所以BD⊥面PAC，
又PC⊂面PAC，
所以BD⊥PC．
(2)因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，
又PA⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，
所以PA⊥BC，
又PA∩AB=A，
所以BC⊥面PAB，
又PB⊂面PAB，
所以BC⊥PB，
因为二面角P−BC−A的大小为45°，
所以∠PBC=45°，
所以PA=BA，
因为∠ABC=90°，∠ABD=60°，
所以∠CBD=30°，
又BC=CD=1，
所以BD= 3，则AB=AD= 3，
所以PB= 6，
所以S△PBC=12PB⋅BC=12 6⋅1= 62，
因为PB=3MB，
所以S△PMC=23S△PBC= 63，
因为N是PC的中点，
所以S△CMN=12S△PMC=12⋅ 63= 66，
由于VP−ABC=VA−PBC，
设点A到平面PBC的距离为h，
所以13⋅12× 3×1× 3=13×12× 6×1×h，
所以h= 62，
所以点A到平面CMN的距离为 62，
又S△CMN= 66，
所以三棱锥C−AMN的体积为VC−AMN=A−CMN=13× 66× 22=16． 
【解析】(1)只需证明BD垂直于PC在平面CMN的投影，即可得出答案．
(2)根据题意可得BC⊥PB，∠PBC=45°，则PA=BA，计算出PB，S△PBC，由PB=3MB，得S△PMC=23S△PBC= 63，由N是PC的中点，得S△CMN=12S△PMC，由等体积法可得点A到平面CMN的距离为 62，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，四面体的体积，解题中需要理清思路，属于中档题．