还剩10页未读，
继续阅读
2022-2023学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷-普通用卷
展开
这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|03}，则A∩B=( )
A. (0,+∞) B. (3,10) C. (−∞,+∞) D. (3,+∞)
2. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A. 与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些
B. 与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C. 与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些
D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样
3. 已知两个单位向量a,b的夹角是60°，则|a−b|=( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
4. 已知一组数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，则该组数据的25%分位数和中位数分别是( )
A. 3，9 B. 2，3.5 C. 9，3.5 D. 2，3
5. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度(单位：cm)均在区间[10,20]内，按照[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为( )
A. 20 B. 40 C. 60 D. 88
6. 已知向量a=(1,1)，b=(2,8)，c=(−1,7)，则cos〈a−c,b−c〉=( )
A. − 32 B. −12 C. 0 D. 12
7. 已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
8. 已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2 B. 若ac2
10. 下列选项中与cosθ的值不恒相等的有( )
A. cos(−θ) B. cos(π+θ) C. sin(θ−π2) D. sin(32π−θ)
11. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件A=“第一次为偶数”，B=“第二次为偶数”，C=“两次点数之和为偶数”，则( )
A. P(A)=1−P(B) B. A与B对立
C. B−与C互斥 D. P(AB)=14
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A. 体积为π6m3的球体
B. 所有棱长均为1.41m的四面体
C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D. 底面直径为1m，侧面积为 5π4m2的圆锥体
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知i为虚数单位，复数z=i(a−2i)的虚部与实部互为相反数，则实数a= ______ ．
14. 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______ ．
15. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为______ ．
16. 已知点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的一个坐标可以是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=log2(1+x)−log2(1−x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数g(x)=f(x)−4，求g(x)的零点．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=cos(2x+π3)．
(1)求函数f(x)图像的对称中心；
(2)求函数f(x)图像的单调递减区间．
19. (本小题12.0分)
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(Ⅰ)求此人到达当日该市空气重度污染的概率；
(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．
20. (本小题12.0分)
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1,2,…10).试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi=xi−yi(i=1,2,⋯,10)，记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为z−，样本方差为s2．
(1)求z−，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如果z−≥2 s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
21. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA+acosB=3ccosA．
(1)求cosA；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将△ADE沿DE折起形成四棱锥A−BCDE．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)若二面角A−DE−B为60°，求二面角A−DC−B的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|03}，
所以A∩B=(3,10)．
故选：B．
根据给定条件，利用交集的定义求解作答．
本题考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，
与第几次无关，
∴答案B正确，
故选B．
抽样过程中，考虑的最主要原则为保证样本能够很好地代表总体．随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑
抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．
3.【答案】A
【解析】解：因为两个单位向量a,b的夹角是60°，
所以|a−b|= |a−b|2= a2−2a⋅b+b2= 2−2×1×1×12=1．
故选：A．
根据向量模的运算法则运算求解即可．
本题主要考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为这组数据有12个数，所以12×25%=3，
所以该组数据的25%分位数为2+22=2，中位数为3+42=3.5．
故选：B．
根据百分位数和中位数的定义求解．
本题主要考查了百分位数和中位数的计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由频率分布直方图知，高度不低于16cm的频率为(0.20+0.10)×2=0.60，
所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为100×0.60=60．
故选：C．
根据频率分布直方图求高度不低于16cm的频率和频数即可．
本题考查了利用频率分布直方图求频率和频数的应用问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,1)，b=(2,8)，c=(−1,7)，
∴a−c=(2,−6)，b−c=(3,1)，
则cos〈a−c,b−c〉=(a−c)⋅(b−c)|a−c|⋅|b−c|=6−6 4+64⋅ 9+1=0．
故选：C．
利用向量坐标运算法则和向量夹角余弦公式能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则和向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=xexeax−1的定义域为{x|x≠0}，又f(x)为偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
∴−xe−xe−ax−1=xexeax−1，
∴xeax−xeax−1=xexeax−1，
∴ax−x=x，∴a=2．
故选：D．
根据偶函数的性质，运算即可得解．
本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：若“m//n”则“m//α”成立，即充分性成立，
∵m//α，∴m不一定平行n，
即“m//n”是“m//α”的充分不必要条件，
故选：D．
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．
9.【答案】BC
【解析】解：A.取特殊值，a=−1，b=−2，显然不满足结论；
B.由ac20，由不等式性质可得a
D.取a=3，b=0，c=−1，d=−2，满足条件，显然ac>bd不成立，结论错误．
故选：BC．
根据不等式的性质，结合特殊值判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据三角函数的诱导公式可得：
cos(−θ)=cosθ，cos(π+θ)=−cosθ，
sin(θ−π2)=−cosθ，sin(3π2−θ)=−cosθ，
故选：BCD．
根据三角函数的诱导公式，即可求解．
本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，P(A)=36=12，P(B)=36=12，则P(A)=1−P(B)，A正确；
对于B，两次抛掷之间没有影响，则事件A与B相互独立，B错误；
对于C，B−=“第二次为奇数”，事件B−与C可能同时发生，C错误；
对于D，P(AB)=P(A)P(B)=14，D正确．
故选：AD．
根据题意，由古典概型公式分析可得A正确，由相互独立事件的定义可知事件A与B相互独立，即可得B错误；由互斥事件的定义可得C错误，由相互独立事件概率的乘法公式可得D正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的定义，涉及古典概型的计算，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由球体的体积公式得43πR3=π6，
解得球的半径为R=12，即球体的直径等于正方体的棱长，
所以恰好能够被整体放入正方体内，选项A正确；
对于B，因为正方体的面对角线长为 2m，且 2>1.41，
所以能够被整体放入正方体内，选项B正确；
对于C，因为正方体的体对角线长为 3m，且 3<1.8，
所以不能够被整体放入正方体内，选项 C错误；
对于D，由于圆锥的底面直径为1m，侧面积为 5π4m2，
所以由圆锥的侧面积公式得πrl= 5π4，解得母线长l= 52m，
所以高为h= ( 52)2−(12)2=1m，即圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，选项D正确．
故选：ABD．
根据题意结合正方体的结构特征逐项分析判断，即可得出正确的结论．
本题考查了正方体的结构特征与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：z=i(a−2i)=2+ai，
由题意可知，2+a=0，解得a=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．
14.【答案】0.94
【解析】解：∵甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，
∴甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率P=1−(1−0.7)×(1−0.6)×(1−0.5)=0.94．
故答案为：0.94．
利用对立事件的概率关系，结合独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】60°
【解析】解：连接B1D1，D1C，如图所示：则B1D1//EF，
故∠D1B1C(或其补角)即为所求，
又B1D1=D1C=B1C，则∠D1B1C=60°，
故答案为：60°．
连接B1D1，D1C，根据正方体的性质可得∠D1B1C(或其补角)即为所求，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】(0,−2)，或(2,2)，或(−2,2))
【解析】解：点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，
①若四边形为▱ABCD， AB=(−1,2)， DC=(−1−x,−y)，
∵AB=DC，∴x−1=1y=2，解得x=0，y=−2，∴D(0,−2)；
②若四边形为▱ADBC， CB=(1,2)， AD=(x−1,y)，
∵CB=AD，∴x−1=1y=2，解得x=2，y=2，∴D(2,2)；
③若四边形为▱ABDC， AB=(−1,2)， CD=(x+1,y)，
∵AB=CD，∴−1−x=−1−y=2，解得x=−2，y=2，即D(−2,2)，
∴点D的坐标为(0,−2)或(2,2)或(−2,2)．
故答案为：(0,−2)或(2,2)或(−2,2)．
分三种情况①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解．
本题考查平面坐标运算法则、向量相等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题意得1+x>01−x>0，解得−1
(2)令g(x)=f(x)−4=0，
∴f(x)=4，
∴log21+x1−x=4⇒1+x1−x=16，解得x=1517∈(−1,1)，
故g(x)的零点为1517．
【解析】(1)根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；
(2)令g(x)=0，得f(x)=4，解方程即可．
本题考查了求函数定义域及函数零点的求解，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
18.【答案】解：(1)由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，
得2x=kπ+π6，k∈Z，
得x=kπ2+π12，k∈Z，
即函数f(x)的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈Z．
(2)由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，
得2kπ−π3≤2x≤2kπ+2π3，k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．
【解析】(1)根据余弦函数的对称性进行求解即可．
(2)根据余弦函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用余弦函数的对称性和单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，
故此人到达当日该市空气重度污染的概率为213；
(Ⅱ)此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为(40,217)，(217,160)，(160,121)，(121,158)，(158,86)，(86,79)，(79,37)，
(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160)，(160,40)，共13种情况，
其中只有1天空气重度污染的是(143,220)，(220,160)，(40,217)，(217,160)，共4种情况，
故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413．
【解析】(Ⅰ)由题中所给统计图可得空气质量重度污染的天数，从而可解；
(Ⅱ)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，从而利用古典概型可解．
本题考查利用列举法计算基本事件以及古典概型相关知识，属于基础退．
20.【答案】解：(1)根据表中数据，计算zi=xi−yi(i=1,2,…,10)，填表如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
zi=xi−yi
9
6
8
−8
15
11
19
18
20
12
计算平均数为z−=110i=110zi=110×(9+6+8−8+15+11+19+18+20+12)=11，
方差为s2=110i=110(zi−z−)2=110×[(−2)2+(−5)2+(−3)2+(−19)2+42+02+82+72+92+12]=61．
(2)由(1)知，z−=11，2 s210=2 6.1<2 6.25=5，
所以z−≥2 s210，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
【解析】(1)根据表中数据，计算zi=xi−yi(i=1,2,…,10)，求平均数z−和方差s2．
(2)根据z−和2 s210，比较大小即可得出结论．
本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)因为bcosA+acosB=3ccosA，
由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=3sinCcosA，
则sin(A+B)=3sinCcosA，所以sinC=3sinCcosA．
又因为C∈(0,π)，则sinC≠0，可得1=3cosA，即cosA=13；
(2)由(1)知cosA=13>0，可得A为锐角，sinA= 1−cos2A=2 23，
由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc=13，因为a=2，
则3b2+3c2−12=2bc，可得2bc+12=3b2+3c2≥6bc，
当且仅当b=c= 3时等号成立，
解得bc≤3，所以S△ABC=12bcsinA≤12×3×2 23= 2，
即△ABC面积的最大值为 2．
【解析】(1)根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；(2)根据余弦定理结合基本不等式可得bc≤3，进而可求面积．
本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：在直角梯形ABCD中，
∵DC//BE，且DC=BE，∴四边形BCDE为平行四边形，
又∠B=90°，从而DE⊥EB，DE⊥EA．
因此，在四棱锥A−BCDE中，有DE⊥面ABE；
(2)解：由(1)知∠AEB即二面角A−DE−B的平面角，
故∠AEB=60°，又AE=EB，∴△AEB为等边三角形．
设BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，
从而AF⊥BE，FG//DE，
∴AF⊥CD，FG⊥CD，又AF∩FG=F，
∴CD⊥平面AFG，又AG⊂平面AFG，
∴CD⊥AG，
∴∠FGA即所求二面角A−DC−B的平面角．
∵DE⊥面ABE，从而FG⊥面ABE，
∴FG⊥AF．
设原直角梯形中，AB=2DC=2BC=2a，则折叠后四棱锥中AF= 32a，FG=a，
从而AG= AF2+FG2= 72a
于是在Rt△AFG中，cos∠FGA=FGAG=2 77．
即二面角A−DC−B的余弦值为2 77．
【解析】(1)由E是直角梯形ABCD底边AB的中点，且AB=2DC，可得四边形BCDE为平行四边形，进一步得到DE⊥EB，DE⊥EA，再由线面垂直的判定得答案；
(2)由(1)知，∠AEB即二面角A−DE−B的平面角，可得∠AEB=60°，又AE=EB，可得△AEB为等边三角形．取BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，可得CD⊥AG.从而∠FGA即所求二面角A−DC−B的平面角．然后求解直角三角形得二面角A−DC−B的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，属中档题．
2022-2023学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|0
A. (0,+∞) B. (3,10) C. (−∞,+∞) D. (3,+∞)
2. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A. 与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些
B. 与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C. 与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些
D. 与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样
3. 已知两个单位向量a,b的夹角是60°，则|a−b|=( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
4. 已知一组数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，则该组数据的25%分位数和中位数分别是( )
A. 3，9 B. 2，3.5 C. 9，3.5 D. 2，3
5. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度(单位：cm)均在区间[10,20]内，按照[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为( )
A. 20 B. 40 C. 60 D. 88
6. 已知向量a=(1,1)，b=(2,8)，c=(−1,7)，则cos〈a−c,b−c〉=( )
A. − 32 B. −12 C. 0 D. 12
7. 已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
8. 已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2 B. 若ac2
10. 下列选项中与cosθ的值不恒相等的有( )
A. cos(−θ) B. cos(π+θ) C. sin(θ−π2) D. sin(32π−θ)
11. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件A=“第一次为偶数”，B=“第二次为偶数”，C=“两次点数之和为偶数”，则( )
A. P(A)=1−P(B) B. A与B对立
C. B−与C互斥 D. P(AB)=14
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A. 体积为π6m3的球体
B. 所有棱长均为1.41m的四面体
C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D. 底面直径为1m，侧面积为 5π4m2的圆锥体
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知i为虚数单位，复数z=i(a−2i)的虚部与实部互为相反数，则实数a= ______ ．
14. 若甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为______ ．
15. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为______ ．
16. 已知点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的一个坐标可以是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=log2(1+x)−log2(1−x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数g(x)=f(x)−4，求g(x)的零点．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=cos(2x+π3)．
(1)求函数f(x)图像的对称中心；
(2)求函数f(x)图像的单调递减区间．
19. (本小题12.0分)
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(Ⅰ)求此人到达当日该市空气重度污染的概率；
(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．
20. (本小题12.0分)
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1,2,…10).试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi=xi−yi(i=1,2,⋯,10)，记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为z−，样本方差为s2．
(1)求z−，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如果z−≥2 s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
21. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA+acosB=3ccosA．
(1)求cosA；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将△ADE沿DE折起形成四棱锥A−BCDE．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)若二面角A−DE−B为60°，求二面角A−DC−B的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|0
所以A∩B=(3,10)．
故选：B．
根据给定条件，利用交集的定义求解作答．
本题考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，
与第几次无关，
∴答案B正确，
故选B．
抽样过程中，考虑的最主要原则为保证样本能够很好地代表总体．随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑
抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．
3.【答案】A
【解析】解：因为两个单位向量a,b的夹角是60°，
所以|a−b|= |a−b|2= a2−2a⋅b+b2= 2−2×1×1×12=1．
故选：A．
根据向量模的运算法则运算求解即可．
本题主要考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为这组数据有12个数，所以12×25%=3，
所以该组数据的25%分位数为2+22=2，中位数为3+42=3.5．
故选：B．
根据百分位数和中位数的定义求解．
本题主要考查了百分位数和中位数的计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由频率分布直方图知，高度不低于16cm的频率为(0.20+0.10)×2=0.60，
所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为100×0.60=60．
故选：C．
根据频率分布直方图求高度不低于16cm的频率和频数即可．
本题考查了利用频率分布直方图求频率和频数的应用问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,1)，b=(2,8)，c=(−1,7)，
∴a−c=(2,−6)，b−c=(3,1)，
则cos〈a−c,b−c〉=(a−c)⋅(b−c)|a−c|⋅|b−c|=6−6 4+64⋅ 9+1=0．
故选：C．
利用向量坐标运算法则和向量夹角余弦公式能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则和向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=xexeax−1的定义域为{x|x≠0}，又f(x)为偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
∴−xe−xe−ax−1=xexeax−1，
∴xeax−xeax−1=xexeax−1，
∴ax−x=x，∴a=2．
故选：D．
根据偶函数的性质，运算即可得解．
本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：若“m//n”则“m//α”成立，即充分性成立，
∵m//α，∴m不一定平行n，
即“m//n”是“m//α”的充分不必要条件，
故选：D．
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．
9.【答案】BC
【解析】解：A.取特殊值，a=−1，b=−2，显然不满足结论；
B.由ac2
D.取a=3，b=0，c=−1，d=−2，满足条件，显然ac>bd不成立，结论错误．
故选：BC．
根据不等式的性质，结合特殊值判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据三角函数的诱导公式可得：
cos(−θ)=cosθ，cos(π+θ)=−cosθ，
sin(θ−π2)=−cosθ，sin(3π2−θ)=−cosθ，
故选：BCD．
根据三角函数的诱导公式，即可求解．
本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，P(A)=36=12，P(B)=36=12，则P(A)=1−P(B)，A正确；
对于B，两次抛掷之间没有影响，则事件A与B相互独立，B错误；
对于C，B−=“第二次为奇数”，事件B−与C可能同时发生，C错误；
对于D，P(AB)=P(A)P(B)=14，D正确．
故选：AD．
根据题意，由古典概型公式分析可得A正确，由相互独立事件的定义可知事件A与B相互独立，即可得B错误；由互斥事件的定义可得C错误，由相互独立事件概率的乘法公式可得D正确，综合可得答案．
本题考查相互独立事件、互斥事件的定义，涉及古典概型的计算，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由球体的体积公式得43πR3=π6，
解得球的半径为R=12，即球体的直径等于正方体的棱长，
所以恰好能够被整体放入正方体内，选项A正确；
对于B，因为正方体的面对角线长为 2m，且 2>1.41，
所以能够被整体放入正方体内，选项B正确；
对于C，因为正方体的体对角线长为 3m，且 3<1.8，
所以不能够被整体放入正方体内，选项 C错误；
对于D，由于圆锥的底面直径为1m，侧面积为 5π4m2，
所以由圆锥的侧面积公式得πrl= 5π4，解得母线长l= 52m，
所以高为h= ( 52)2−(12)2=1m，即圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，选项D正确．
故选：ABD．
根据题意结合正方体的结构特征逐项分析判断，即可得出正确的结论．
本题考查了正方体的结构特征与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：z=i(a−2i)=2+ai，
由题意可知，2+a=0，解得a=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．
14.【答案】0.94
【解析】解：∵甲、乙、丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别0.7，0.6，0.5，
∴甲、乙、丙至少有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率P=1−(1−0.7)×(1−0.6)×(1−0.5)=0.94．
故答案为：0.94．
利用对立事件的概率关系，结合独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
15.【答案】60°
【解析】解：连接B1D1，D1C，如图所示：则B1D1//EF，
故∠D1B1C(或其补角)即为所求，
又B1D1=D1C=B1C，则∠D1B1C=60°，
故答案为：60°．
连接B1D1，D1C，根据正方体的性质可得∠D1B1C(或其补角)即为所求，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】(0,−2)，或(2,2)，或(−2,2))
【解析】解：点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,0)，
①若四边形为▱ABCD， AB=(−1,2)， DC=(−1−x,−y)，
∵AB=DC，∴x−1=1y=2，解得x=0，y=−2，∴D(0,−2)；
②若四边形为▱ADBC， CB=(1,2)， AD=(x−1,y)，
∵CB=AD，∴x−1=1y=2，解得x=2，y=2，∴D(2,2)；
③若四边形为▱ABDC， AB=(−1,2)， CD=(x+1,y)，
∵AB=CD，∴−1−x=−1−y=2，解得x=−2，y=2，即D(−2,2)，
∴点D的坐标为(0,−2)或(2,2)或(−2,2)．
故答案为：(0,−2)或(2,2)或(−2,2)．
分三种情况①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解．
本题考查平面坐标运算法则、向量相等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由题意得1+x>01−x>0，解得−1
(2)令g(x)=f(x)−4=0，
∴f(x)=4，
∴log21+x1−x=4⇒1+x1−x=16，解得x=1517∈(−1,1)，
故g(x)的零点为1517．
【解析】(1)根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；
(2)令g(x)=0，得f(x)=4，解方程即可．
本题考查了求函数定义域及函数零点的求解，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
18.【答案】解：(1)由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，
得2x=kπ+π6，k∈Z，
得x=kπ2+π12，k∈Z，
即函数f(x)的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈Z．
(2)由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，
得2kπ−π3≤2x≤2kπ+2π3，k∈Z，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．
【解析】(1)根据余弦函数的对称性进行求解即可．
(2)根据余弦函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用余弦函数的对称性和单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天，
故此人到达当日该市空气重度污染的概率为213；
(Ⅱ)此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为(40,217)，(217,160)，(160,121)，(121,158)，(158,86)，(86,79)，(79,37)，
(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160)，(160,40)，共13种情况，
其中只有1天空气重度污染的是(143,220)，(220,160)，(40,217)，(217,160)，共4种情况，
故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413．
【解析】(Ⅰ)由题中所给统计图可得空气质量重度污染的天数，从而可解；
(Ⅱ)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，从而利用古典概型可解．
本题考查利用列举法计算基本事件以及古典概型相关知识，属于基础退．
20.【答案】解：(1)根据表中数据，计算zi=xi−yi(i=1,2,…,10)，填表如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
zi=xi−yi
9
6
8
−8
15
11
19
18
20
12
计算平均数为z−=110i=110zi=110×(9+6+8−8+15+11+19+18+20+12)=11，
方差为s2=110i=110(zi−z−)2=110×[(−2)2+(−5)2+(−3)2+(−19)2+42+02+82+72+92+12]=61．
(2)由(1)知，z−=11，2 s210=2 6.1<2 6.25=5，
所以z−≥2 s210，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
【解析】(1)根据表中数据，计算zi=xi−yi(i=1,2,…,10)，求平均数z−和方差s2．
(2)根据z−和2 s210，比较大小即可得出结论．
本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)因为bcosA+acosB=3ccosA，
由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=3sinCcosA，
则sin(A+B)=3sinCcosA，所以sinC=3sinCcosA．
又因为C∈(0,π)，则sinC≠0，可得1=3cosA，即cosA=13；
(2)由(1)知cosA=13>0，可得A为锐角，sinA= 1−cos2A=2 23，
由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc=13，因为a=2，
则3b2+3c2−12=2bc，可得2bc+12=3b2+3c2≥6bc，
当且仅当b=c= 3时等号成立，
解得bc≤3，所以S△ABC=12bcsinA≤12×3×2 23= 2，
即△ABC面积的最大值为 2．
【解析】(1)根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；(2)根据余弦定理结合基本不等式可得bc≤3，进而可求面积．
本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：在直角梯形ABCD中，
∵DC//BE，且DC=BE，∴四边形BCDE为平行四边形，
又∠B=90°，从而DE⊥EB，DE⊥EA．
因此，在四棱锥A−BCDE中，有DE⊥面ABE；
(2)解：由(1)知∠AEB即二面角A−DE−B的平面角，
故∠AEB=60°，又AE=EB，∴△AEB为等边三角形．
设BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，
从而AF⊥BE，FG//DE，
∴AF⊥CD，FG⊥CD，又AF∩FG=F，
∴CD⊥平面AFG，又AG⊂平面AFG，
∴CD⊥AG，
∴∠FGA即所求二面角A−DC−B的平面角．
∵DE⊥面ABE，从而FG⊥面ABE，
∴FG⊥AF．
设原直角梯形中，AB=2DC=2BC=2a，则折叠后四棱锥中AF= 32a，FG=a，
从而AG= AF2+FG2= 72a
于是在Rt△AFG中，cos∠FGA=FGAG=2 77．
即二面角A−DC−B的余弦值为2 77．
【解析】(1)由E是直角梯形ABCD底边AB的中点，且AB=2DC，可得四边形BCDE为平行四边形，进一步得到DE⊥EB，DE⊥EA，再由线面垂直的判定得答案；
(2)由(1)知，∠AEB即二面角A−DE−B的平面角，可得∠AEB=60°，又AE=EB，可得△AEB为等边三角形．取BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF、FG、AG，可得CD⊥AG.从而∠FGA即所求二面角A−DC−B的平面角．然后求解直角三角形得二面角A−DC−B的余弦值．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，属中档题．
相关试卷
陕西省咸阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题： 这是一份陕西省咸阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共8页。试卷主要包含了已知向量，，，则，已知是偶函数，则，下列结论正确的有，下列选项中与的值不恒相等的有等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷-普通用卷： 这是一份2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期期末模拟数学试题（解析版）： 这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期期末模拟数学试题（解析版）
