2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. i2021的虚部为．(    )
A. 1 B. −1 C. i D. −i
2. 已知向量a=(2,4)，b=(−1,1)，则2a−b=(    )
A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)
3. 袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为(    )
A. 110 B. 12 C. 710 D. 35
4. 下列说法中正确的是(    )
A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱柱的各条棱都相等
C. 所有几何体的表面都能展成平面图形 D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
5. 已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z−的虚部为(    )
A. −65 B. 1−7i5 C. −75 D. −75i
6. 已知球的体积为32π3，则它的半径为(    )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
7. 在△ABC中，已知BC=1，AC=2，∠C=60°，则AB等于(    )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 2
8. 若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(    )
A. π6 B. 4π3 C. 3π2 D. 3π
9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为(    )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n
C. 若m//n，n⊂α，α//β，则m//β
D. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 下列命题中正确的有(    )
A. 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B. 数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D. 为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
11. 在△ABC中，若a=2，b=2 3，A=30°，则∠B=(    )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
12. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= 22a.则下列结论正确的是(    )
A. 当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π3
B. 三棱锥B−AEF的体积为定值
C. EF在平面ABB1A1内的射影长为12a
D. 当E向D1运动时，二面角A−EF−B的平面角保持不变

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有______ 人.
14. 已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A=60°，b=1，c=4，则a+b+csinA+sinB+sinC=______．
15. 已知单位向量a，b的夹角为60°，a−kb与b垂直，则k= ______ ．
16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为______．


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已如i为虚数单位，复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i．
(Ⅰ)当实数m取何值时，z是纯虚数；
(Ⅱ)若m=2，求|z1+i|的值．
18. (本小题12.0分)
若a=(3, 2)，b=(2,− 2)，求下列的值．
(1)a+b；
(2)a−b；
(3)a⋅b；
(4)|a|；
(5)|b|；
(6)cosθ．
19. (本小题12.0分)
本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内)，超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次)，设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为12、14、14，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为14、14、12，三人租车时间都不会超过40分钟．
(1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率；
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
20. (本小题12.0分)
已知△ABC中，cosC=78，a=3.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：b=2c；条件②：b+c=6.求：
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)△ABC的面积．
21. (本小题12.0分)
如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= 2，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB//平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V−ABC的体积．

22. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
(1)求证：AB//平面PCD；
(2)求证：直线BD⊥平面PAC；
(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
直接利用i4=1，化简i2021，再得到其虚部．
【解答】
解：i2021=(i4)505⋅i=i，∴i2021的虚部为1．
故选：A．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础题．
【解答】
解：由a=(2,4)，b=(−1,1)，得：
2a−b=2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．
故选：A．
  
3.【答案】C 
【解析】解：给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，
则从中无放回的先后取两个球的所有情况有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，
取到红球的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)共14种，
所以所求概率为P=1420=710，
故选：C．
给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，从中无放回的先后取两个球，列出所有可能情况，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，是基础题．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
利用几何体的定义和特征逐一考查所给的说法是否正确即可．
【解答】
解：逐一考查所给的命题：
A.棱柱的侧面一定是平行四边形，不可能是三角形，选项A错误；
B.棱柱的各条侧棱都相等，不一定与底面的棱相等，选项B错误；
C.所有多面体的表面都能展成平面图形，旋转体的表面不一定能展开成平面图形，选项C错误；
D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱，选项D正确．
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】解：z=3+i1−2i=(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3−1+7i12+22=25+75i，
则z的共轭复数z−=25−75i，虚部为−75，
故选：C．
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：设球的半径为R，
由球的体积公式可得：43πR3=32π3，
即R=2．
故选：A．
设出球的半径，代入球的体积公式得答案．
本题考查球的体积公式的应用，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是基础题．
由BC与AC的长，以及cosC的值，利用余弦定理即可求出AB的长．
【解答】
解：∵BC=1，AC=2，∠C=60°，
∴由余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcosC，
即AB2=4+1−2×2×12=3，
解得：AB= 3．
故选：C．
  
8.【答案】C 
【解析】解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，
设球的半径为R，则：(2R)2=12+12+12=3，
则R= 32，其体积：V=43πR3= 32π．
故选：C．
首先确定球的半径，然后求解其体积即可．
本题主要考查球与正方体的位置关系，属于基础题．

9.【答案】B 
【解析】解：若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，故A错误；
若m⊥α，α//β，则m⊥β，又n⊥β，则m//n，故B正确；
若n⊂α，α//β，则n//β，又m//n，m//β或m⊂β，故C错误；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系ACD；由线面垂直的性质判断B．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

10.【答案】BCD 
【解析】解：选项A，众数为3，中位数为3+32=3，两者相等，即A错误；
选项B，将数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10×85%=8.5，取第9个数据，为5，即B正确；
选项C，乙组数据的平均数为5+6+9+10+55=7，
所以方差为15[(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(5−7)2]=4.4a，可得30°