山东省淄博市临淄区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（含答案）

这是一份山东省淄博市临淄区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答要写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市临淄区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（解析版）
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有评价评卷人一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中，每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.）
1．（4分）已知是二元一次方程2x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
2．（4分）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．等腰三角形一边上的高与这条边上的中线、角平分线重合
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
3．（4分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
4．（4分）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同（　　）

A． B． C． D．1
5．（4分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”（　　）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
6．（4分）如图，AB∥EF，∠C＝90°（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x和y＝ax+1.2相交于点A（m，1）（　　）

A．x＜﹣ B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣
8．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）已知关于x的不等式的整数解共有2个，则m的取值范围为（　　）
A．m＞3 B．m≤4 C．3＜m＜4 D．3＜m≤4
10．（4分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F；②DF∥AC；③∠FDE＝90°（　　）

A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）若a＞b，则ac2　 　bc2．
12．（4分）如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向　 　．

13．（4分）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 　 　．
14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，G分别是边AB，AC上的点，则∠AED+∠AGD＝　 　度．

15．（4分）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1；[﹣2.5]＝﹣3；…；若，则m的取值范围是 　 　．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
17．（10分）一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同
（1）“摸到红球”是　 　事件，“摸到黑球”是　 　事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
（3）盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．

18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由．

19．（10分）如图，已知DE∥AB．
（1）尺规作图：在线段ED的下方，以点D为顶点，作∠EDF＝∠B（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，请说明DF∥BC；
（3）若∠CDE＝70°，AE平分∠CAB，求∠DEA的度数．

20．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝﹣2x交于点C（m，4），OA＝6．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△BOC的面积；
（3）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

21．（12分）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设＝m，
原方程组可化为．
解得，即．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组的解是，b的方程组的解是 　 　；（直接写答案）
（2）已知方程组，求x，y的值．
22．（13分）芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示：
价格
型号
成本（万元/万件）
批发价（万元/万件）
A
30
34
B
35
40
该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空
（1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？
（2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？
23．（13分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）


参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有评价评卷人一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中，每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分.）
1．（4分）已知是二元一次方程2x+ay＝4的一个解，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程得：2+2a＝4，
解得：a＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（4分）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．等腰三角形一边上的高与这条边上的中线、角平分线重合
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
【分析】根据三角形内角和定理的推论，平行线性质，等腰三角形性质，角平分线性质逐项判断．
【解答】解：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故A是假命题；
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，不符合题意；
等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的角平分线重合，不符合题意；
角平分线上的点到这个角两边的距离相等，是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的定理．
3．（4分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
【解答】解：A、x＞﹣2；
B、x＜2；
C、x≥3；
D、x＞2．
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（4分）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同（　　）

A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：小球停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停留在阴影部分的概率是，
故选：A．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
5．（4分）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”（　　）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
【点评】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
6．（4分）如图，AB∥EF，∠C＝90°（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x和y＝ax+1.2相交于点A（m，1）（　　）

A．x＜﹣ B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣
【分析】根据点A（m，1）在直线y＝﹣2x上，可以得到m的值，然后根据函数图象，可以得到在点A的右侧，直线y＝﹣2x在直线y＝ax+1.2的下方，从而可以得到不等式﹣2x＜ax+1.2的解集．
【解答】解：∵点A（m，1）在直线y＝﹣2x上，
∴2＝﹣2m，
解得，m＝﹣，
由图象可得，在点A的右侧，
∴不等式﹣2x＜ax+1.4的解集为x＞﹣，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，得AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，又再折叠纸片，使点C与点D重合，得CE＝DE，∠C＝∠CDE，即可得∠ADE＝90°，AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，可得22+（3﹣x）2＝x2，即可解得AE＝．
【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE＝DE，∠C＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴AD2+DE7＝AE2，
设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，
∴82+（3﹣x）3＝x2，
解得x＝，
∴AE＝，
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
9．（4分）已知关于x的不等式的整数解共有2个，则m的取值范围为（　　）
A．m＞3 B．m≤4 C．3＜m＜4 D．3＜m≤4
【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式的整数解共有2个，即可得到m的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜m，
解不等式②，得：x≥2，
由题意可知，不等式组有解集，
∴原不等式组的解集是6≤x＜m，
∵不等式的整数解共有2个，
∴这两个整数解是6，3，
∴3＜m≤6，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
10．（4分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F；②DF∥AC；③∠FDE＝90°（　　）

A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据线段的垂直平分线或平行线的判定与性质逐一推理即可．
【解答】①∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，可证∠EAD＝∠EDA．
②∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，可证∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC．
③∵FD与BE不一定互相垂直，
∴③不一定成立．
④由①②得∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，
又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
故选：C．
【点评】本题考查线段的垂直平分线或平行线的判定与性质，做题的关键是掌握相关知识．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）若a＞b，则ac2　≥　bc2．
【分析】先判断出c2的符号，进而判断出不等式的方向即可．
【解答】解：∵何数的平方一定大于或等于0
∴c2≥3
∴c2＞0时，ac6＞bc2
c2＝4时，则ac2＝bc2
∴若a＞b，则ac7≥bc2．
【点评】不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；还要注意两边同乘以0时的情况．
12．（4分）如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向　75°　．

【分析】先运用平行线的性质求得∠AFB＝60°，再运用三角形内角和定理求得∠α的度数．
【解答】解：如图，由题意得∠EAC＝60°，AE∥BF，
∴∠AFB＝∠EAC＝60°，
∵∠α+∠CBF+∠CFB＝180°，
∴∠α＝180°﹣（∠CBF+∠CFB）
＝180°﹣（60°+45°）
＝180°﹣105°
＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题考查了运用平行线的性质及三角形内角和定理解决方位角问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地推理、计算．
13．（4分）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 　x+2y＝32　．
【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【点评】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，G分别是边AB，AC上的点，则∠AED+∠AGD＝　180　度．

【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由AD是△ABC的角平分线可得DF＝DH，可证出△DEF≌△DGH（HL），可得∠AGD＝∠DEF，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

∴∠DHG＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFE＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DF＝DH，
∵DE＝DG，
∴△DEF≌△DGH（HL），
∴∠AGD＝∠DEF，
∴∠AED+∠AGD＝∠AED+∠DEF＝180°，
故答案为：180．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证出△DEF≌△DGH．
15．（4分）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1；[﹣2.5]＝﹣3；…；若，则m的取值范围是 　﹣7≤m＜﹣5　．
【分析】根据新定义列出不等式组﹣5≤＜﹣4，再进一步求解即可．
【解答】解：∵，
∴﹣5≤＜﹣4，
则﹣10≤m﹣3＜﹣5，
∴﹣7≤m＜﹣5，
故答案为：﹣4≤m＜﹣5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据新定义列出关于m的不等式组是解答此题的关键．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
②×2得：12x+2y＝44③，
③﹣①得：11x＝33，
解得：x＝3，
把x＝4代入①得：3+2y＝11，
解得：y＝5，
∴原方程组的解为：；
（2），
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：4＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（10分）一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同
（1）“摸到红球”是　随机　事件，“摸到黑球”是　不可能　事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
（3）盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；
（2）设需要往盒内再放入x个黄球，根据题意可得：＝，然后进行计算即可解答．
（3）让每种颜色球的个数变成一样，就可使每种颜色球被取出的可能性一样大，即可解答．
【解答】解：（1）因为盒子里有红球、绿球和黄球，
所以“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，
故答案为：随机，不可能；
（2）设需要往盒内再放入x个黄球，根据题意得：
＝，
解得：x＝1，
经检验：x＝1为原方程的根据，
答：需要往盒内再放入3个黄球；
（3）将1个黄色球换成绿色球，可使得每种颜色球被取出的可能性一样大，
理由：将1个黄色球换成绿色球后，红球、黄球的个数相同，从盒中随机地摸出6个球，可能性相等．
【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由．

【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）根据三角形外角的性质得出∠DEC的度数，据此得出结论．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△CDE是钝角三角形．
理由：∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠DEC＝90°+30°＝120°，
∴△CDE是钝角三角形．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
19．（10分）如图，已知DE∥AB．
（1）尺规作图：在线段ED的下方，以点D为顶点，作∠EDF＝∠B（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，请说明DF∥BC；
（3）若∠CDE＝70°，AE平分∠CAB，求∠DEA的度数．

【分析】（1）用尺规作图作一个角等于已知角即可；
（2）先找到角相等，最后通过判定方法证明平行即可；
（3）根据角平分定义得出角相等，再利用两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：（1）作∠EDF＝∠B，如图，任意半径画弧交BC于N，以D为圆心画弧，以G为圆心，与以D为圆心画的弧交于H，与AE的交点为F．

（2）DE∥AB（已知），
∴∠CED＝∠B（两直线平行，同位角相等），
又∠EDF＝∠B（已知），
∴∠EDF＝∠CED（等量代换），
∴DF∥CB（内错角相等，两直线平行），
（3）DE∥AB，∠CDE＝70°（已知），
∴∠CAB＝∠CDE＝70°（两直线平行，同位角相等），
AE平分∠CAB（已知），
∴（角平分线的定义），
DE∥AB（已知）
∴∠DEA＝∠EAB＝35°（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了尺规作图，平行线的性质和判定，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．
20．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝﹣2x交于点C（m，4），OA＝6．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△BOC的面积；
（3）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

【分析】（1）求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）△BOC的面积＝×OB×|xC|＝3；
（3）作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P，再求P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴点A的坐标为（6，7），
将C（m，4）代入y2＝﹣8x，
∴m＝﹣2，
∴点C坐标为（﹣2，5），
∵一次函数y1＝kx+b的图象过A（6，3），4），
∴，
解得，k＝﹣，
∴一次函数的表达式为y1＝﹣x+3；
（2）令x＝7，则y＝3，
∴点B的坐标为（0，5），
∴△BOC的面积＝×OB×|xC|＝×3×4＝3；
（3）存在，理由如下：
作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点即为点P，
∴OD＝OA＝3，
即xP＝3，
∴yP＝﹣×3+6＝，
∴点P的坐标为（6，）．

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（12分）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设＝m，
原方程组可化为．
解得，即．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组的解是，b的方程组的解是 　　；（直接写答案）
（2）已知方程组，求x，y的值．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
【解答】解：（1）由题意知，a+b＝1．
∴．
故答案为：．
（2）设2x＝m，3y＝n，则原方程组可化简为
解得
∴2x＝16，3y＝27．
∴x＝8，y＝3．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
22．（13分）芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示：
价格
型号
成本（万元/万件）
批发价（万元/万件）
A
30
34
B
35
40
该厂制造A，B两种型号芯片若干件成本为320万元，制造后立刻被汽车厂抢购一空
（1）芯片厂制造A，B两种型号芯片各多少万件？
（2）由于芯片畅销，该厂计划再制造A，B两种型号芯片共30万件，那么该厂制造两种型号芯片各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B两种型号芯片y万件，根据题意得：，可解得芯片厂制造A种型号芯片6万件，制造B两种型号芯片4万件；
（2）设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片（30﹣m）万件，根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，得30﹣m≤2m，解得m≥10，而w＝（34﹣30）m+（40﹣35）（30﹣m）＝﹣m+150，由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设芯片厂制造A种型号芯片x万件，制造B两种型号芯片y万件，
根据题意得：，
解得，
答：芯片厂制造A种型号芯片5万件，制造B两种型号芯片4万件；
（2）设制造这批芯片获得利润为w万元，制造A种型号芯片m万件，
∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的2倍，
∴30﹣m≤7m，
解得m≥10，
根据题意得w＝（34﹣30）m+（40﹣35）（30﹣m）＝﹣m+150，
∵﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝10时，w取最大值，
此时30﹣m＝20，
答：制造A型芯片10万件，B型芯片20万件，最大利润是140万元．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
23．（13分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　垂直　，数量关系为 　相等　．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）

【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD 
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）

（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G      …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC           …（12分）

【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．