2022-2023学年河北省石家庄市辛集市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市辛集市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省石家庄市辛集市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 12−n是一个正整数，则n的最小正整数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列计算正确的是(    )
A. 27+ 3= 30 B. 27− 3=2 6
C. 27× 3=9 D. 27÷ 3=9
3. 下列说法不正确的是(    )
A. 正方形面积公式S=a2中有两个变量：S，a
B. 圆的面积公式S=πr2中的π是常量
C. 在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D. 如果a=b，那么a，b都是常量
4. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10(单位：元)，捐10元的同学后来又追加了10元，追加后的5个数据与之前的5个数据相比，下列判断正确的是(    )
A. 只有平均数相同 B. 只有中位数相同
C. 只有众数相同 D. 中位数和众数都相同
5. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(    )
A. ∠B=50°，∠C=40° B. ∠A=2∠B=3∠C
C. a=4，b= 41，c=5 D. a：b：c=1： 2： 3
6. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是(    )


A. ①：对角线相等 B. ②：对角互补
C. ③：一组邻边相等 D. ④：有一个角是直角
7. 初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较九(1)班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量y(升)随时间x(分)变化的图象是(    )
A. B.
C. D.
9. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，P，M，N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M，N间的角度(∠MPN的大小)一定无触礁危险.那么，对于A，B，C，D四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险.(    )
A. 位置A B. 位置B C. 位置C D. 位置D
10. 如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A′B′表示竹竿AB及在竹竿AB滑动过程中的情况是(    )
A. 下滑时，OP的长度增大
B. 上升时，OP的长度减小
C. 只要滑动，OP端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长的长度就变化
D. 无论怎样滑动，OP的长度不变

11. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，且直线l过点(−2,0)，则下列结论错误的是(    )
A. kb>0
B. 直线l过坐标为(1,3k)的点
C. 若点(−6,m)，(−8,n)在直线l上，则n>m
D. −52k+b<0

12. 如图，▱ABCD中，AB=22cm，BC=8 2cm，∠A=45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止.则EF的长为10cm时点E的运动时间是(    )
A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s
13. 如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两个点，且AE=CF，连接BE，DF.求证：BE//DF．


证法1：如图，在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又∵AE=CF，
∴△BAE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，
即∠BEF=∠DFE，∴BE//DF．
证法2：如图，连接BD交AC于点O，连接DE，BF．
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE//DF．
下列说法错误的是(    )
A. 证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS
B. 证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分
C. 证法1和证法2都用到了平行四边形的判定
D. 证法1和证法2都用到了平行四边形的性质
14. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地(轿车的平均速度大于货车的平均速度)，如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间的函数关系.则下列说法正确的是(    )

A. 两车同时到达乙地
B. 轿车在行驶过程中的平均速度为100千米/小时
C. 货车出发3.9小时后，轿车追上货车
D. 两车在前80千米的速度相等
15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AD=3，AB= 2，E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AF，EF，M，N分别是AF，EF的中点，连接MN，则MN的最大值与最小值的差为(    )

A. 12 B. 52 C. 5−12 D. 5−22
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于(    )

A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17. 小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头(如图所示).若菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则这张菱形纸片的边长为______ cm．
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上，AO=4，CO=2，直线y=x+1以每秒1个单位长度向下移动，经过        秒该直线可将矩形OABC的面积平分．

19. 已知a，b都是实数，m为整数，若a+b=2m，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．
(1) 2与______ 是关于1的“平衡数”；
(2)3− 2与______ 是关于3的平衡数；
(3)若a=4+ 3，b= 3−4，判断a2与b2 ______ (是或否)为关于某数的一组“平衡数”．

三、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
某校给全体学生推送了“天天跳绳APP”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表：
组别
“跳绳次数“x/次
频率
组内学生的平均“跳绳次数”/次
A
100≤x<120
10%
110
B
120≤x<140
35%
130
C
140≤x<160
30%
150
D
160≤x<180
25%
170
通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159；
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生一共有______ 人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是______ ；
(2)求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
(3)该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数x≥140时为优秀.请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．
21. (本小题9.0分)
材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足a2+b2=c2，则称a、b、c这三个数为“勾股数”.例如：
①32=9，42=16，52=25；∵9+16=25，即32+42=52，∴3、4、5这三个数为勾股数．
②52=25，122=144，132=196；∵25+144+169，即52+122=132，∴5、12、13这三个数为勾股数．
若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边.(如题图所示)
根据以上信息，解答下列问题：
(1)试判断8、15、17是否为勾股数；
(2)若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
(3)已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长．

22. (本小题9.0分)
如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1～4的整数).已知点P(−2,0)，直线l：y=kx+b经过点P．
(1)若直线l过点T1，求直线l的解析式；
(2)试推算出k和b的数量关系；
(3)若直线l使得Tm(m为1～4的整数)这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求k的取值范围．

23. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE是矩形；
(2)连接OF，若AD=6，EC=4，∠ABF=60°，求OF的长度．

24. (本小题9.0分)
足球世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售.每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元．
(1)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；(不必写x的取值范围)
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
(2)在(1)的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a(15 25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为y=−34x+3，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
(1)如图1，若点C的坐标为(3,7)，判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)如图2，在(1)的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP= ______ °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP=x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD=90°时，求证：QE=DE，并求出此时x的值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由 12−n是一个正整数，得
12−n=9，
n=3，
故选：C．
根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
本题考查了二次根式的定义，利用开方运算是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A． 27+ 3=3 3+ 3=4 3，故A错误不符合题意；
B.3 3− 3=2 3，故B错误不符合题意；
C. 27× 3= 81=9，故C正确符合题意；
D. 27÷ 3= 9=3，故D错误不符合题意．
故选：C．
A.先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加法运算法则进行计算即可；
B.先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式减法运算法则进行计算即可；
C.根据二次根式乘法运算法则进行计算即可；
D.根据二次根式的除法法则解题即可．
本题主要考查二次根式的运算，是重要考点，难度较易，掌握二次根式加减乘除运算法则，是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、正方形面积公式S=a2中有两个变量：S，a，正确；
B、圆的面积公式S=πr2中的π是常量，正确；
C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；
D、如果a=b，那么a，b都是变量，故错误．
故选：D．
根据自变量与常量、因变量的定义解答．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

4.【答案】D 
【解析】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴正确的只有中位数和众数，
故选：D．
根据中位数和众数的概念做出判断即可．
本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A、∵∠B=50°，∠C=40°，
∴∠A=180°−50°−40°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵∠A=2∠B=3∠C，
∴∠A≠∠B+∠C，
∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a=4，b= 41，c=5，
∴a2+c2=b2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形．
D、∵a：b：c=1： 2： 3，
∴可以假设a=k，b= 2k，c= 3k，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6.【答案】B 
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；
B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：B．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．

7.【答案】D 
【解析】解：A、平均数，设第一年平均年龄是x1−，则x2−=x1−+1，x3−=x2−+1，则平均数发生变化，故本选项不符合题意；
B、众数，设第一年的众数为a，则第二年为a+1，第三年为a+2，则众数发生变化，故本选项不符合题意；
C、中位数，设第一年的中位数为b，则第二年为b+1，第三年为b+2，则中位数发生变化，故本选项不符合题意；
D、方差，设第一年的方差为：S12=[(x1−x1−)2+(x2−x1−)2+⋅⋅⋅⋅⋅+(xn−x1−)2]，
第二年的方差为：S22=[(x1+1)−(x1−+1)]2+[(x2+1)−(x1−+1)]2+⋅⋅⋅⋅⋅+[(xn+1)−(x1−+1)]2=S12，
同理可证S32=S12，
则S12=S22=S32，故方差未有变化，本选项符合题意；
故选：D．
根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

8.【答案】A 
【解析】解：因为进水速度是1500÷30=50升/分，单开出水管20分钟可把满池的水放尽，则出水速度是1500÷20=75升/分，
所以先打开进水管10分钟，水池中有250+50×10=750升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共用了750÷(75−50)=30分钟，
故10+30=40(分钟)
故选：A．
根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找．
本题主要考查了根据实际意义读图的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，连接MB，NB，

设正方形网格边长为1，则NB=MP=3 2，PN=BM= 10，
∵MN=NM，
∴△BMN≌△PNM(SSS)，
∴∠P=∠B，
∵当船航行到点P的位置时，一定无触礁危险，
∴船处于B时，也一定无触礁危险，
故选：B．
连接MB，NB，设正方形网格边长为1，用勾股定理求出NB=MP=3 2，PN=BM= 10，证明△BMN≌△PNM(SSS)，得到∠P=∠B，选出船的位置．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵∠AOB=90°，P为AB的中点，
∴OP=12AB，
即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．

11.【答案】D 
【解析】解：∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴k<0，b<0，
∴kb>0，故A正确，不符合题意；
将点(−2,0)代入y=kx+b，得：0=−2k+b，
∴b=2k，
∴直线l的解析式为y=kx+2k，
当x=1时，y=k+2k=3k，
∴直线l过坐标为(1,3k)的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵−6>−8，
∴n>m，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当x=−2时，y=0，
∴当x=−52时，y>0，即−52k+b>0，故D错误，符合题意．
故选：D．
根据函数图象可知k<0，b<0，即得出kb>0，可判断A；将点(−2,0)代入y=kx+b，即得出b=2k，即直线l的解析式为y=kx+2k，由当x=1时，y=k+2k=3k，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出n>m，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当x=−2时，y=0，即得出当x=−52时，y>0，从而可判断D．
本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出k<0，b<0，y的值随x的增大而减小是解题关键．

12.【答案】C 
【解析】解：在▱ABCD中，CD=AB=22cm，AD=BC=8 2cm，

如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG=DG= 22AD=8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG=FH=8cm，DF=GH，
∵EF=10cm，
∴EH= EF2−FH2=6cm，
由题意可知：AE=2t cm，CF=t cm，
∴GE=AE=AG=(2t−8)cm，DF=CD−CF=(22−t)cm，
∴GH=GE=EH=(2t−8)+6=(2t−2)cm，
∴2t−2=22−t，
解得t=8，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
过点D作DG⊥AB于点G，由∠A=45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH=6cm，由题意可得AE=2t cm，CF=t cm，然后列方程求出t的值即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到EH的值．

13.【答案】C 
【解析】解：A、证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS，不符合题意；
B、证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
C、只有证法2都用到了平行四边形的判定，符合题意；
D、证法1和证法2都用到了平行四边形的性质，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．

14.【答案】C 
【解析】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故选项A不符合题意；
轿车在行驶过程中的平均速度为：300÷(4.5−1.2)≈90.9(千米/小时)，故选项B不符合题意；
货车的速度是：300÷5=60(千米/时)，
轿车在BC段对应的速度是：80÷(2.5−1.2)=80013(千米/时)，故选项D不符合题意；
设货车对应的函数解析式为y=kx，
5k=300，
解得k=60，
即货车对应的函数解析式为y=60x，
设CD段轿车对应的函数解析式为y=ax+b，
2.5a+b=804.5a+b=300，
解得a=100b=−195，
即CD段轿车对应的函数解析式为y=110x−195，
令60x=110x−195，得x=3.9，
即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C符合题意．
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】C 
【解析】解：连接AE，
∵M，N分别是AF，EF的中点，
∴MN=12AE，
∵E，F分别是边BC，CD上的动点，
∴当AE⊥BC时，MN取得最小值，
在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AD=3，AB= 2，
则∠B=45°，
故AE=BE=1，
故MN=12；
当AE=AC时，此时MN取得最大值，
在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AD=3，AB= 2，
则点A到BC的距离为1，则AC= (3−1)2+12= 5，
则MN= 52；
由上可得，MN的最大值与最小值的差为： 52−12= 5−12，
故选：C．
根据题意，可以得到当AE⊥BC时，MN取得最小值，当AE=AC时，此时MN取得最大值，然后分别求出MN的值，然后作差即可．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】B 
【解析】解：连接PF，过点F作FD⊥AM于点D，

∵AB=EB，∠ACB=∠ENB=90°，
而∠CBA+∠CBE=∠EBN+∠CBE=90°，
∴∠CBA=∠EBN，
∴△CBA≌△NBE(AAS)，
故S4=S△ABC；
又∵FA=AB，∠FDA=∠ACB=90°，
而∠FAD+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠ABC，
∴△FAD≌△ABC(AAS)，
同理可证△ACT≌△FDK，
∴S2=S△FDA=S△ABC，
同理可证△TPF≌△KME，△AQF≌△ABC，
∴S1+S3=S△ADF=S△ABC，
综上所证：S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3×12×3×4=18．
故选：B．
把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为3S△ABC，即可求出总面积．
本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．

17.【答案】13 
【解析】解：如图，连接AC，BD，

∵正方形AECF的面积为50cm2，
∴AC= 2× 50=10(cm)，
∵菱形ABCD的面积为120cm2，
∴BD=2×120÷10=24(cm)，
∴菱形ABCD的边长为 (102)2+(242)2=13(cm)，
故答案为：13．
连接AC，BD，根据正方形AECF的面积为50cm2，菱形ABCD的面积为120cm2，求出AC和BD，即可得出答案．
本题主要考查正方形的性质和菱形的性质，求出AC和BD的长度是解题的关键．

18.【答案】2 
【解析】解：连接AC、BO，交于点D，
当y=x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是▱OABC的对角线，
∴OD=BD，
∵AO=4，CO=2，
∴B(4,2)，
∴D(2,1)，
根据题意设平移后直线的解析式为y=x+b，
∵D(2,1)，
∴1=2+b，解得b=−1，
∴平移后的直线的解析式为y=x−1，
∴直线y=x+1要向下平移2个单位，
∴时间为2秒，
故答案为：2．
首先连接AC、BO，交于点D，当y=x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=x+1的直线解析式，从而可得直线y=x+1要向下平移2个单位，进而可得答案．
此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．

19.【答案】2− 2  3+ 2  是 
【解析】解：(1)设 2与x是关于1的“平衡数”，
则 2+x=2×1，
解得x=2− 2．
故答案为：2− 2；
(2)设3− 2与y是关于3的“平衡数”，
则3− 2+y=2×3，
解得y=3+ 2．
故答案为：3+ 2；
(3)a2与b2是关于19的一组“平衡数”，理由如下：
∵a=4+ 3，b= 3−4，
∴a2+b2=(4+ 3)2+( 3−4)2=16+8 3+3+3−8 3+16=38，
∴a2+b2=2×19，
∴a2与b2是关于19的一组“平衡数”．
故答案为：是．
(1)根据“平衡数”的定义列方程求解；
(2)根据“平衡数”的定义列方程求解；
(3)根据二次根式的运算法则计算出a2+b2，再根据“平衡数”的定义判断．
本题考查的是二次根式的加减法，新定义的实数运算，解题的关键是理解“平衡数”的定义．

20.【答案】40  141 
【解析】解：(1)本次抽样调查的学生一共有：12÷30%=40(人)，
把这40名学生一分钟跳绳次数从小到大排列，排在中间的两个数分别是141、141，故调查的学生“跳绳次数”的中位数是141+1412=141．
故答案为：40，141；
(2)10%×110+35%×130+30%×150+25%×170=144(次)，
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次；
(3)1600×(30+25%)=880(人)，
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数大约为880人．
(1)用C组的频数除以C组的频率可得样本容量，再根据中位数的定义解答即可；
(2)根据加权平均数的计算方法解答即可；
(3)用1600乘样本中一分钟跳绳次数x≥140的人数所占百分百即可．
本题考查频数分布表、中位数、加权平均数以及用样本估计总体，解答本题的关键是掌握相关统计量的计算方法．

21.【答案】解：(1)因为82+152=172，且8，15，17都是正整数，故8、15、17是为勾股数．
(2)∵72+242=252
∴该三角形是直角三角形
∴其面积=12×7×24=84．
(3)当8是直角边时，则另一条边= 82+62=10，周长为6+8+10=24；
当8是斜边时，则另一条边= 82−62=2 7，周长为6+8+2 7=14+2 7．
故其周长为24或14+2 7． 
【解析】(1)三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
(2)根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
(3)由于没有明确直角，所以应考虑两种情况：8是直角边或8是斜边．根据勾股定理进行计算．
(1)考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
(2)主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力．
(3)不要漏掉一种情况，熟练运用勾股定理进行计算．

22.【答案】解：(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1(2,4)．
将点P(−2,0)和T1(2,4)代入直线l，
得−2k+b=02k+b=4，解得k=1b=2，
∴直线l的解析式为y=x+2．
(2)将点P(−2,0)代入直线l，
得−2k+b=0，
∴b=2k．
(3)∵b=2k，
∴直线l解析式可表示为y=kx+2k．
当直线l过T2(4,3)时，有4k+2k=3，解得k=12；
当直线l过T3(6,2)时，有6k+2k=2，解得k=14．
∴若直线l使得Tm(m为1～4的整数)这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围为14 【解析】(1)将点P(−2,0)和T1(2,4)代入直线l，利用待定系数法求解即可；
(2)将点P(−2,0)代入直线l即可得到k和b的数量关系；
(3)根据k和b的数量关系，将直线l中的b用k来表示．求出k的2个临界值即可，分别是当直线l过T2(4,3)和T3(6,2)时的k值．当k在这两个k值之间取值时，直线l使得Tm(m为1～4的整数)这些点分布在它的两侧，每侧各2个点．
本题考查一次函数的应用，比较简单，但这部分内容非常重要，一定要掌握好、运用好．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴AE//DF，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF=90°，
∴四边形ADFE是矩形；

(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=6，
∵EC=4，
∴BE=CF=2，
∴BF=8，
Rt△ABE中，∠ABE=60°，
∴AB=2BE=4，
∴DF=AE= AB2−BE2=2 3，
∴BD= BF2+DF2= 82+(2 3)2=2 19，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，O是Rt△BDF斜边上的中点
∴OF=12BD= 19． 
【解析】(1)由平行四边形性质得到AB//DC且AB=DC，由平行线的性质得到∠ABE=∠DCF，根据三角形全等的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，可得AE//DF，根据矩形的判定即可得到结论；
(2)由矩形的性质得到EF=AD=6，进而求得BE=CF=2，BF=8，由∠ABE=60°可求得AB=2BE=4，由勾股定理可求得DF=AE=2 3，BD=2 19，由平行四边形性质得OB=OD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．

24.【答案】解：(1)①由题意可得，
y=60x+40(100−x)=20x+4000，
即y与x之间的函数关系式是y=20x+4000；
②∵y=20x+4000，
∴y随x的增大而增大，
∵购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
∴x≥60x≤4(100−x)，
解得60≤x≤80，
∴当x=80时，y取得最大值，此时y=5600，
答：最大利润为5600元；
(2)由题意可得，
y=(60−a)x+40(100−x)=(20−a)x+4000(60≤x≤80)，
∵15 ∴当150，y随x的增大而增大，则x=80时，y取得最大值，
即(20−a)×80+4000=4240，
解得a=17；
当a=20时，利润都是4000，不符合题意；
当20 即(20−a)×60+4000=4240，
解得a=16(不符合题意，舍去)；
由上可得，a的值是17． 
【解析】(1)①根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
②根据购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，可以得到A品牌足球个数的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值；
(2)根据题目中的数据，可以列出相应的函数解析式，再根据一次函数的性质和分类讨论的思想，可以求得a的值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．

25.【答案】30 
【解析】解：(1)四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：

在y=−34x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=4，
∴A(4,0)，B(0,3)，
∴OA=4，OB=3，AB= 42+32=5，
∵C(3,7)，
∴BH=OH−BO=4，CH=3，
∴OB=CH=3，OA=BH=4，
在△AOB和△BHC中，
OB=CH∠AOB=∠BHCOA=BH，
∴△AOB≌△BHC(SAS)，
∴AB=BC，∠ABO=∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠ABO+∠HBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：

∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ=CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC=BQ，
∴BC=BQ=CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ=60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP=∠QBP=12∠CBQ=30°，
故答案为：30；
②如图：

∵∠AQD=90°，
∴∠DQE+∠EQA=90°，∠QDE+∠DAQ=90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP=∠C=90°，∠BAD=90°，AB=BC=BQ，
∴∠BQE=90°=∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ=90°，
∴∠DQE=∠BQA，∠QDE=∠BAQ，
∵AB=BQ，
∴∠BQA=∠BAQ，
∴∠DQE=∠QDE，
∴QE=DE，
∵∠EQA=90°−∠DQE=90°−∠QDE=∠EAQ，
∴QE=AE，
∴DE=QE=AE，
∴QE=DE=12AD=12AB=52，
设CP=PQ=x，则PD=CD−x=5−x，PE=PQ+QE=x+52，
在Rt△PDE中，PD2+DE2=PE2，
∴(5−x)2+(52)2=(x+52)2，
解得x=53，
∴x的值是53．
(1)过C作CH⊥y轴于H，在y=−34x+3中，可得A(4,0)，B(0,3)，即有OA=4，OB=3，AB=5，而C(3,7)，故OB=CH=3，OA=BH=4，可证△AOB≌△BHC(SAS)，得AB=BC，∠ABO=∠BCH，从而可得∠ABC=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°，即知四边形ABCD是正方形；
(2)①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ=CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC=BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ=60°，即可得∠CBP=∠QBP=12∠CBQ=30°；
②由∠AQD=90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE=∠BQA，∠QDE=∠BAQ，而AB=BQ，有∠BQA=∠BAQ，故∠DQE=∠QDE，即得QE=DE，从而可得DE=QE=AE=52，设CP=PQ=x，在Rt△PDE中有(5−x)2+(52)2=(x+52)2，从而可解得x的值是53．
本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质．