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2022-2023学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a3⋅a□=a12，则“□”内应填的数是( )
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
2. 下列图形中，∠1+∠2=180°一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为 0.000⋯010个074m，则氧原子的半径用科学记数法表示为( )
A. 7.4×10−10m B. 7.4×10−11m C. 7.4×10−12m D. 0.74×10−10m
4. 如图，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕与BC交于点D，则AD是△ABC的( )
A. 中线
B. 高线
C. 角平分线
D. 任一条线段
5. 若a+2023>b+2023，则( )
A. a+3
A. 7m B. 6m C. 5.5m D. 4m
7. 用加减法解方程组3x+2y=−123x−y=3，消去x后得到的方程是( )
A. y=−15 B. −3y=−15 C. 3y=−15 D. −y=−9
8. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是( )
A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以
9. 语句“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为( )
A. (14a−3b)2≥0 B. 14a−(3b)2≥0 C. 3(14−a)2>0 D. 14a−3b2≤0
10. 如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB=∠MPN=90°，∠B=30°，∠PMN=45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′=( )
A. 115° B. 125° C. 150° D. 165°
11. A，B，C都是含a的一次整式，且一次项的系数皆为正整数.若A×B=a2−4，B×C=a2−4a+4，则整式B为( )
A. a+1 B. a−2 C. a+2 D. a
12. 阅读下面的数学问题：
如图，AP⊥BC于点P，
点M，N分别在AB，AC上，
过点M作MQ⊥BC于点Q，
连接MN，PN．
甲、乙两人经过研究得到如下结论：
甲：若∠NPA=∠QMB，则∠CNP=∠CAB．
乙：若∠PNM=∠NMA，可得到∠NPA=∠QMB．
其中判断正确的是( )
A. 甲、乙两人的结论都正确 B. 甲、乙两人的结论都不正确
C. 甲的结论错误，乙的结论正确 D. 乙的结论错误，甲的结论正确
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. (−2)−1=______．
14. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”写出“如果…，那么…”的形式是：在同一平面内，如果______ ，那么______ ．
15. 如果x=3y=−2和x=4y=〇都是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，则〇代表的值为______ ．
16. 如图，把一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠α=40°，则∠β= ______ ．
17. 在边长为3a+1的正方形纸片中剪下一个边长为a+1的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为______ ．
18. 在△ABC中，∠A=80°，点E，F分别是AC，AB上的点，点D在BC延长线上，连接DE，DF，其中∠BFD=α，∠DEC=β，则∠EDF= ______ (用含α，β的代数式表示)．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+3>x−12(x−1)≤x+1并把解集在数轴上表示出来．
20. (本小题6.0分)
佳佳解方程组2x−y=5①3x−2y=8②的部分步骤如下：
解：由①，得y=2x−5，③
把③代入①，得2x−(2x−5)=5，
…
所以原方程组有无数个解．
(1)这种解方程组的方法称为______ 消元法；
(2)老师说佳佳解方程组的过程不正确，请你说明佳佳错误的原因；
(3)选择恰当的方法解该方程组．
21. (本小题6.0分)
如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)在网格中画出将△ABC先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的△A′B′C′；
(2)在平移的过程中，线段BC所扫过的面积= ______ ．
22. (本小题7.0分)
【提出问题】先化简，再求值：(2x−1)2+(x+2)(−2+x)−4x(x−1)，其中x=−3．
【解决问题】琪琪将x=−3写成了x=3，发现和正确的答案相同，你能解释其中的原因吗？
23. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，AE⊥BC于点E，点P为AE上的点(不与点A，E重合)，连接BP，∠C=78°，∠CBA=38°，AE=8cm．
(1)当BP平分∠CBA时，求∠APB的度数；
(2)若BP为△ABE的中线，且△PBE的面积为10cm2，直接写出BE的长．
24. (本小题8.0分)
观察下列等式：
第1个算式：22−02=2×2
第2个算式：42−22=2×6
第3个算式：62−42=2×10
第n个算式：…
请结合上述三个算式的规律，回答下列问题：
(1)写出第4个算式：______ ；
(2)根据你发现的规律，写出第n(n为正整数)个算式：______ ；
(3)说明任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数．
25. (本小题9.0分)
某学校为提高办学条件，计划在每一个教室安装一台Ⅰ型电脑或者Ⅱ型电脑.经市场调查发现，若购买3台Ⅰ型电脑和2台Ⅱ型电脑共需14000元；购买1台Ⅰ型电脑比购买1台Ⅱ型电脑多500元．
(1)求每台Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑的价格；
(2)现有两家商场分别推出了优惠套餐：
甲商场：Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑均打八折出售．
乙商场：Ⅰ型电脑每满1000元减250元，Ⅱ型电脑无优惠活动．
该校需要购买Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑共50台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算？
26. (本小题9.0分)
如图，AB//CD，点P在直线AB上，作∠BPM=50°，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PE⊥CD于点E，PN平分∠MPF．
(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求∠NPE的度数；
(2)当点F在线段EM(不与点M，E重合)上时，设∠PFM=α°，直接写出∠NPE的度数(用含α的代数式表示)；
(3)将射线PF从(1)中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，△FPM为直角三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵a12÷a3=a9，
∴a3⋅a9=a12，
∴方框内应填9，
故选：C．
根据同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加，可得a3⋅a9=a12，所以方框内应填9．
本题考查的是同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算，熟练掌握法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∠1+∠2不一定等于180°，故A不符合题意；
B、∠1+∠2不一定等于180°，故B不符合题意；
C、∠1和∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°，故C符合题意；
D、∠1+∠2不一定等于180°，故D不符合题意．
故选：C．
根据邻补角的定义逐一分析解答即可．
本题主要考查邻补角，解答的关键是熟记邻补角的定义．
3.【答案】A
【解析】解： 0.000⋯010个074m=7.4×10−10m.
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线．
故选：A．
根据翻折变换的性质可得D是BC的中点，根据三角形的中线、角平分线和高的定义即可判断．
本题考查了三角形的中线、角平分线和高，翻折变换的性质，解题的关键是会区分三角形的中线、角平分线和高．
5.【答案】D
【解析】解：∵a+2023>b+2023，
∴a>b．
∴a+3>b+3，
∴A选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴a−3>b−3．
∴B选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴3a>3b．
∴C选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴−3a<−3b．
∴D选项的结论正确，符合题意．
故选：D．
利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵PM=7m，PN=5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
故选：D．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
本题考查点到直线的距离，垂线段线段，掌握以上知识点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：第一个方程减去第二个方程可得3y=−15，
故选：C．
利用加减消元法计算即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a
故选：B．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得：(14a−3b)2≥0．
故选：A．
根据“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”，即可列出不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式、有理数的乘方以及非负性的性质：偶次方，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=∠MPN=90°，∠B=30°，∠PMN=45°，
∴∠BAC=60°，
∵将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，
∴∠B′A′C′=∠BAC=60°，
∵∠PMN=45°，
∴∠A′PM=∠PA′N−∠PMN=15°，
∴∠MPB′=180°−15°=165°，
故选：D．
根据平移的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵A×B=a2−4=(a+2)(a−2)，
B×C=a2−4a+4=(a−2)2，
∵A，B，C都是含a的一次整式，且一次项的系数皆为正整数，
∴B=a−2．
故选：B．
根据整式的乘法法则进行计算．
本题考查了整式的乘法，掌握整式的乘法法则是关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵AP⊥BC，MQ⊥BC，
∴AP//MQ，
∴∠PAB=∠QMB，
∵∠NPA=∠QMB，
∴∠NPA=∠PAB，
∴PN//AB，
∴∠CNP=∠CAB，故甲的结论正确；
∵∠PNM=∠NMA，
∴PN//AB，
∴∠NPA=∠PAB，
∵AP⊥BC，MQ⊥BC，
∴AP//MQ，
∴∠PAB=∠QMB，
∴∠NPA=∠QMB，故乙的结论正确．
故选：A．
根据AP⊥BC，MQ⊥BC，可得AP//MQ，所以∠PAB=∠QMB，所以∠NPA=∠PAB，PN//AB，即可得∠CNP=∠CAB，即可判断甲的结论；根据∠PNM=∠NMA，可得PN//AB，所以∠NPA=∠PAB，再根据∠PAB=∠QMB，所以∠NPA=∠QMB，故即可判断乙的结论．
本题考查了垂线和平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
13.【答案】−12
【解析】解：原式=−12；
故答案为：−12．
根据负整数指数幂：a−n=1an(a≠0)可直接得到答案．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂公式．
14.【答案】两条直线都垂直于同一条直线；这两条直线互相平行
【解析】解：“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果---，那么---”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．
根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
15.【答案】−3
【解析】解：设〇代表的值是a，
把x=3y=−2代入方程x−my=1得：3+2m=1，
解得：m=−1，
即方程为x+y=1，
把x=4y=a代入方程x+y=1得：4+a=1，
解得：a=−3，
即〇代表的值是−3．
故答案为：−3．
设〇代表的值是a，把x=3y=−2代入方程x−my=1得出3+2m=1，求出m，得出方程为x+y=1，再把x=4y=a代入方程x+y=1得出4+a=1，再求出a即可．
本题考查了二元一次方程的解，能求出m的值是解此题的关键．
16.【答案】110°
【解析】解：如图，
由折叠可得：∠1=12(180°−∠α)=70°，
∵AB//CD，
∴∠β=180°−∠1=110°．
故答案为：110°．
由折叠性质及平角的定义可求得∠1=70°，再由平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
17.【答案】8a+4
【解析】解：设？=x，根据题意列方程为：(3a+1)2−(a+1)2=ax，
整理得：x=8a+4．
故答案为：8a+4．
设？=x，根据题意和图示，利用面积相等建立一个关于x的方程，解出即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合是本题突破的有效方法．
18.【答案】80°+β−α
【解析】解：∵α是△AFH的一个外角，
∴α=∠A+∠AHF，
∵∠A=80°，
∴∠AHF=α−80°，
∵β是△DEH的一个外角，
∴β=∠EDF+∠DHE，
∵∠DHE=∠AHF，
∴β=∠EDF+∠AHF，
∴β=∠EDF+α−80°，
∴∠EDF=80°+β−α，
故答案为：80°+β−α．
根据三角形外角的性质得出α=∠A+∠AHF，β=∠EDF+∠DHE，再根据对顶角相等得出∠DHE=∠AHF，即可求出∠EDF．
本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19.【答案】解：3x+3>x−1①2(x−1)≤x+1②，
由①得，x>−2，
由②得，x≤3，
故不等式组的解集为：−2
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】代入
【解析】解：(1)这种解方程组的方法称为代入消元法；
故答案为：代入；
(2)佳佳错误的原因是：代入方程②时出现了错误；
(3)由①，得y=2x−5，③
把③代入①，得3x−2(2x−5)=8，
解得，x=2，
把x=2代入③得y=−1，
∴原方程组的解是x=2y=−1．
(1)根据解二元一次方程组的方法分析即可；
(2)根据解二元一次方程组的方法进行判断；
(3)用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
21.【答案】20
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)线段BC所扫过的面积=4×5=20．
故答案为：20．
(1)利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点即可；
(2)根据平行四边形的面积公式计算．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22.【答案】解：【提出问题】(2x−1)2+(x+2)(−2+x)−4x(x−1)
=4x2−4x+1+x2−4−4x2+4x
=x2−3，
当x=−3时，
原式=(−3)2−3
=9−3
=6；
【解决问题】∵32=9，(−3)2=9，
∴32=(−3)2，
∴将x=−3写成了x=3，答案仍相同．
【解析】【提出问题】利用整式运算的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可；
【解决问题】对化简的结果进行分析即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23.【答案】解：(1)∵BP平分∠CBA时，
∴∠PBE=12∠ABC=12×38°=19°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠PEB=90°，
∴∠APB=∠PEB+∠PBE=109°；
(2)∵BP为△ABE的中线，
∴PE=12AE=12×8=4(cm)，
∵△PBE的面积为10cm2，
∴12BE⋅PE=10，
∴BE=5(cm)．
【解析】(1)由角平分线定义得到∠PBE=12∠ABC=19°，由垂直的定义得到∠PEB=90°，由三角形外角的性质得到∠APB=∠PEB+∠PBE=109°；
(2)由三角形面积公式，即可求解．
本题考查角平分线定义，三角形外角的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
24.【答案】82−62=2×14 (2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)
【解析】解：(1)第4个算式为：82−62=2×14，
故答案为：82−62=2×14；
(2)第n(n为正整数)个算式：(2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)，
故答案为：(2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)；
(3)设中间的偶数为2n，
则(2n+2)2−(2n−2)2=4n⋅4=16n，
∴任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数．
(1)根据题中算式找出规律，再求解；
(2)根据题中算式找出规律，再写出一般表达式；
(3)先设中间的偶数为2n，再表示其它偶数，再列式证明．
本题考查了整式的运算，掌握偶数的表示方法是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每台Ⅰ型电脑x元，每台Ⅱ型电脑y元，
由题意得：3x+2y=14000x−y=500，
解得：x=3000y=2500，
答：每台Ⅰ型电脑3000元，每台Ⅱ型电脑2500元；
(2)设购买Ⅰ型电脑a台，则购买Ⅱ型电脑(50−a)台，
由题意得：0.8[3000a+2500(50−a)]>(3000−250×3)a+2500(50−a)，
解得：a>38613，
∴a的最小整数解为39，
答：该学校至少购买39台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算．
【解析】(1)根据题意列方程组求解；
(2)根据题意列不等式求解．
本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，理解题意找出相等关系或不等关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=32°，
∴∠MPF=180°−50°−32°=98°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=49°．
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠NPM−∠EPM=49°−40°=9°．
(2)如图，
∵AB//CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=α°，
∴∠MPF=180°−50°−α=130°−α°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=65°−12α.
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠EPM−∠NPM=40°−65°+12α°=(α−502)°．
(3)∵∠PMF=50°，
∴当△FPM为直角三角形时，存在两种情况：
情况一：当∠FPM=90°时，
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−90°=8°．
∴转动的时间为810=45(秒)．
情况二：当∠PFM=90°时，∠FPM=40°．
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−40°=58°．
∴转动的时间为5810=295(秒)．
综上：当t为45秒或295秒时，△FPM为直角三角形．
【解析】(1)平行线的性质得到∠PMF=∠BPM=50°，三角形内角和，得到∠MPF=98°，角平分线得到∠NPM=12∠MPF=49°，垂直得到∠PEM=90°，进而求出∠EPM的度数，利用∠NPE=∠NPM−∠EPM，进行求解即可；
(2)根据题意，画出图形，同法(1)求出∠NPM，∠EPM的度数，利用∠NPE=∠EPM−∠NPM，进行求解即可；
(3)分∠FPM=90°和∠PFM=90°，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解．
2022-2023学年河北省石家庄市新华区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a3⋅a□=a12，则“□”内应填的数是( )
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
2. 下列图形中，∠1+∠2=180°一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为 0.000⋯010个074m，则氧原子的半径用科学记数法表示为( )
A. 7.4×10−10m B. 7.4×10−11m C. 7.4×10−12m D. 0.74×10−10m
4. 如图，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕与BC交于点D，则AD是△ABC的( )
A. 中线
B. 高线
C. 角平分线
D. 任一条线段
5. 若a+2023>b+2023，则( )
A. a+3
A. 7m B. 6m C. 5.5m D. 4m
7. 用加减法解方程组3x+2y=−123x−y=3，消去x后得到的方程是( )
A. y=−15 B. −3y=−15 C. 3y=−15 D. −y=−9
8. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是( )
A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以
9. 语句“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为( )
A. (14a−3b)2≥0 B. 14a−(3b)2≥0 C. 3(14−a)2>0 D. 14a−3b2≤0
10. 如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB=∠MPN=90°，∠B=30°，∠PMN=45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′=( )
A. 115° B. 125° C. 150° D. 165°
11. A，B，C都是含a的一次整式，且一次项的系数皆为正整数.若A×B=a2−4，B×C=a2−4a+4，则整式B为( )
A. a+1 B. a−2 C. a+2 D. a
12. 阅读下面的数学问题：
如图，AP⊥BC于点P，
点M，N分别在AB，AC上，
过点M作MQ⊥BC于点Q，
连接MN，PN．
甲、乙两人经过研究得到如下结论：
甲：若∠NPA=∠QMB，则∠CNP=∠CAB．
乙：若∠PNM=∠NMA，可得到∠NPA=∠QMB．
其中判断正确的是( )
A. 甲、乙两人的结论都正确 B. 甲、乙两人的结论都不正确
C. 甲的结论错误，乙的结论正确 D. 乙的结论错误，甲的结论正确
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. (−2)−1=______．
14. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”写出“如果…，那么…”的形式是：在同一平面内，如果______ ，那么______ ．
15. 如果x=3y=−2和x=4y=〇都是关于x和y的二元一次方程x−my=1的解，则〇代表的值为______ ．
16. 如图，把一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若∠α=40°，则∠β= ______ ．
17. 在边长为3a+1的正方形纸片中剪下一个边长为a+1的正方形，将剩余部分剪拼成一个长方形，尺寸如图所示，则“？”表示的长度为______ ．
18. 在△ABC中，∠A=80°，点E，F分别是AC，AB上的点，点D在BC延长线上，连接DE，DF，其中∠BFD=α，∠DEC=β，则∠EDF= ______ (用含α，β的代数式表示)．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+3>x−12(x−1)≤x+1并把解集在数轴上表示出来．
20. (本小题6.0分)
佳佳解方程组2x−y=5①3x−2y=8②的部分步骤如下：
解：由①，得y=2x−5，③
把③代入①，得2x−(2x−5)=5，
…
所以原方程组有无数个解．
(1)这种解方程组的方法称为______ 消元法；
(2)老师说佳佳解方程组的过程不正确，请你说明佳佳错误的原因；
(3)选择恰当的方法解该方程组．
21. (本小题6.0分)
如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)在网格中画出将△ABC先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的△A′B′C′；
(2)在平移的过程中，线段BC所扫过的面积= ______ ．
22. (本小题7.0分)
【提出问题】先化简，再求值：(2x−1)2+(x+2)(−2+x)−4x(x−1)，其中x=−3．
【解决问题】琪琪将x=−3写成了x=3，发现和正确的答案相同，你能解释其中的原因吗？
23. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，AE⊥BC于点E，点P为AE上的点(不与点A，E重合)，连接BP，∠C=78°，∠CBA=38°，AE=8cm．
(1)当BP平分∠CBA时，求∠APB的度数；
(2)若BP为△ABE的中线，且△PBE的面积为10cm2，直接写出BE的长．
24. (本小题8.0分)
观察下列等式：
第1个算式：22−02=2×2
第2个算式：42−22=2×6
第3个算式：62−42=2×10
第n个算式：…
请结合上述三个算式的规律，回答下列问题：
(1)写出第4个算式：______ ；
(2)根据你发现的规律，写出第n(n为正整数)个算式：______ ；
(3)说明任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数．
25. (本小题9.0分)
某学校为提高办学条件，计划在每一个教室安装一台Ⅰ型电脑或者Ⅱ型电脑.经市场调查发现，若购买3台Ⅰ型电脑和2台Ⅱ型电脑共需14000元；购买1台Ⅰ型电脑比购买1台Ⅱ型电脑多500元．
(1)求每台Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑的价格；
(2)现有两家商场分别推出了优惠套餐：
甲商场：Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑均打八折出售．
乙商场：Ⅰ型电脑每满1000元减250元，Ⅱ型电脑无优惠活动．
该校需要购买Ⅰ型电脑和Ⅱ型电脑共50台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算？
26. (本小题9.0分)
如图，AB//CD，点P在直线AB上，作∠BPM=50°，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PE⊥CD于点E，PN平分∠MPF．
(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求∠NPE的度数；
(2)当点F在线段EM(不与点M，E重合)上时，设∠PFM=α°，直接写出∠NPE的度数(用含α的代数式表示)；
(3)将射线PF从(1)中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，△FPM为直角三角形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵a12÷a3=a9，
∴a3⋅a9=a12，
∴方框内应填9，
故选：C．
根据同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加，可得a3⋅a9=a12，所以方框内应填9．
本题考查的是同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算，熟练掌握法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∠1+∠2不一定等于180°，故A不符合题意；
B、∠1+∠2不一定等于180°，故B不符合题意；
C、∠1和∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°，故C符合题意；
D、∠1+∠2不一定等于180°，故D不符合题意．
故选：C．
根据邻补角的定义逐一分析解答即可．
本题主要考查邻补角，解答的关键是熟记邻补角的定义．
3.【答案】A
【解析】解： 0.000⋯010个074m=7.4×10−10m.
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线．
故选：A．
根据翻折变换的性质可得D是BC的中点，根据三角形的中线、角平分线和高的定义即可判断．
本题考查了三角形的中线、角平分线和高，翻折变换的性质，解题的关键是会区分三角形的中线、角平分线和高．
5.【答案】D
【解析】解：∵a+2023>b+2023，
∴a>b．
∴a+3>b+3，
∴A选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴a−3>b−3．
∴B选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴3a>3b．
∴C选项的结论不正确，不符合题意；
∵a>b，
∴−3a<−3b．
∴D选项的结论正确，符合题意．
故选：D．
利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵PM=7m，PN=5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
故选：D．
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
本题考查点到直线的距离，垂线段线段，掌握以上知识点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：第一个方程减去第二个方程可得3y=−15，
故选：C．
利用加减消元法计算即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a
故选：B．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得：(14a−3b)2≥0．
故选：A．
根据“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”，即可列出不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式、有理数的乘方以及非负性的性质：偶次方，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=∠MPN=90°，∠B=30°，∠PMN=45°，
∴∠BAC=60°，
∵将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，
∴∠B′A′C′=∠BAC=60°，
∵∠PMN=45°，
∴∠A′PM=∠PA′N−∠PMN=15°，
∴∠MPB′=180°−15°=165°，
故选：D．
根据平移的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵A×B=a2−4=(a+2)(a−2)，
B×C=a2−4a+4=(a−2)2，
∵A，B，C都是含a的一次整式，且一次项的系数皆为正整数，
∴B=a−2．
故选：B．
根据整式的乘法法则进行计算．
本题考查了整式的乘法，掌握整式的乘法法则是关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵AP⊥BC，MQ⊥BC，
∴AP//MQ，
∴∠PAB=∠QMB，
∵∠NPA=∠QMB，
∴∠NPA=∠PAB，
∴PN//AB，
∴∠CNP=∠CAB，故甲的结论正确；
∵∠PNM=∠NMA，
∴PN//AB，
∴∠NPA=∠PAB，
∵AP⊥BC，MQ⊥BC，
∴AP//MQ，
∴∠PAB=∠QMB，
∴∠NPA=∠QMB，故乙的结论正确．
故选：A．
根据AP⊥BC，MQ⊥BC，可得AP//MQ，所以∠PAB=∠QMB，所以∠NPA=∠PAB，PN//AB，即可得∠CNP=∠CAB，即可判断甲的结论；根据∠PNM=∠NMA，可得PN//AB，所以∠NPA=∠PAB，再根据∠PAB=∠QMB，所以∠NPA=∠QMB，故即可判断乙的结论．
本题考查了垂线和平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
13.【答案】−12
【解析】解：原式=−12；
故答案为：−12．
根据负整数指数幂：a−n=1an(a≠0)可直接得到答案．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂公式．
14.【答案】两条直线都垂直于同一条直线；这两条直线互相平行
【解析】解：“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果---，那么---”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．
根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
15.【答案】−3
【解析】解：设〇代表的值是a，
把x=3y=−2代入方程x−my=1得：3+2m=1，
解得：m=−1，
即方程为x+y=1，
把x=4y=a代入方程x+y=1得：4+a=1，
解得：a=−3，
即〇代表的值是−3．
故答案为：−3．
设〇代表的值是a，把x=3y=−2代入方程x−my=1得出3+2m=1，求出m，得出方程为x+y=1，再把x=4y=a代入方程x+y=1得出4+a=1，再求出a即可．
本题考查了二元一次方程的解，能求出m的值是解此题的关键．
16.【答案】110°
【解析】解：如图，
由折叠可得：∠1=12(180°−∠α)=70°，
∵AB//CD，
∴∠β=180°−∠1=110°．
故答案为：110°．
由折叠性质及平角的定义可求得∠1=70°，再由平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
17.【答案】8a+4
【解析】解：设？=x，根据题意列方程为：(3a+1)2−(a+1)2=ax，
整理得：x=8a+4．
故答案为：8a+4．
设？=x，根据题意和图示，利用面积相等建立一个关于x的方程，解出即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合是本题突破的有效方法．
18.【答案】80°+β−α
【解析】解：∵α是△AFH的一个外角，
∴α=∠A+∠AHF，
∵∠A=80°，
∴∠AHF=α−80°，
∵β是△DEH的一个外角，
∴β=∠EDF+∠DHE，
∵∠DHE=∠AHF，
∴β=∠EDF+∠AHF，
∴β=∠EDF+α−80°，
∴∠EDF=80°+β−α，
故答案为：80°+β−α．
根据三角形外角的性质得出α=∠A+∠AHF，β=∠EDF+∠DHE，再根据对顶角相等得出∠DHE=∠AHF，即可求出∠EDF．
本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19.【答案】解：3x+3>x−1①2(x−1)≤x+1②，
由①得，x>−2，
由②得，x≤3，
故不等式组的解集为：−2
．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】代入
【解析】解：(1)这种解方程组的方法称为代入消元法；
故答案为：代入；
(2)佳佳错误的原因是：代入方程②时出现了错误；
(3)由①，得y=2x−5，③
把③代入①，得3x−2(2x−5)=8，
解得，x=2，
把x=2代入③得y=−1，
∴原方程组的解是x=2y=−1．
(1)根据解二元一次方程组的方法分析即可；
(2)根据解二元一次方程组的方法进行判断；
(3)用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
21.【答案】20
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)线段BC所扫过的面积=4×5=20．
故答案为：20．
(1)利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点即可；
(2)根据平行四边形的面积公式计算．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22.【答案】解：【提出问题】(2x−1)2+(x+2)(−2+x)−4x(x−1)
=4x2−4x+1+x2−4−4x2+4x
=x2−3，
当x=−3时，
原式=(−3)2−3
=9−3
=6；
【解决问题】∵32=9，(−3)2=9，
∴32=(−3)2，
∴将x=−3写成了x=3，答案仍相同．
【解析】【提出问题】利用整式运算的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可；
【解决问题】对化简的结果进行分析即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23.【答案】解：(1)∵BP平分∠CBA时，
∴∠PBE=12∠ABC=12×38°=19°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠PEB=90°，
∴∠APB=∠PEB+∠PBE=109°；
(2)∵BP为△ABE的中线，
∴PE=12AE=12×8=4(cm)，
∵△PBE的面积为10cm2，
∴12BE⋅PE=10，
∴BE=5(cm)．
【解析】(1)由角平分线定义得到∠PBE=12∠ABC=19°，由垂直的定义得到∠PEB=90°，由三角形外角的性质得到∠APB=∠PEB+∠PBE=109°；
(2)由三角形面积公式，即可求解．
本题考查角平分线定义，三角形外角的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
24.【答案】82−62=2×14 (2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)
【解析】解：(1)第4个算式为：82−62=2×14，
故答案为：82−62=2×14；
(2)第n(n为正整数)个算式：(2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)，
故答案为：(2n)2−(2n−2)2=2(4n−2)；
(3)设中间的偶数为2n，
则(2n+2)2−(2n−2)2=4n⋅4=16n，
∴任意三个连续的偶数中，最大的数与最小的数的平方差是16的倍数．
(1)根据题中算式找出规律，再求解；
(2)根据题中算式找出规律，再写出一般表达式；
(3)先设中间的偶数为2n，再表示其它偶数，再列式证明．
本题考查了整式的运算，掌握偶数的表示方法是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每台Ⅰ型电脑x元，每台Ⅱ型电脑y元，
由题意得：3x+2y=14000x−y=500，
解得：x=3000y=2500，
答：每台Ⅰ型电脑3000元，每台Ⅱ型电脑2500元；
(2)设购买Ⅰ型电脑a台，则购买Ⅱ型电脑(50−a)台，
由题意得：0.8[3000a+2500(50−a)]>(3000−250×3)a+2500(50−a)，
解得：a>38613，
∴a的最小整数解为39，
答：该学校至少购买39台Ⅰ型电脑才能使选择乙商场购买更划算．
【解析】(1)根据题意列方程组求解；
(2)根据题意列不等式求解．
本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，理解题意找出相等关系或不等关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=32°，
∴∠MPF=180°−50°−32°=98°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=49°．
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠NPM−∠EPM=49°−40°=9°．
(2)如图，
∵AB//CD，
∴∠PMF=∠BPM=50°．
在△MPF中，∠PFM=α°，
∴∠MPF=180°−50°−α=130°−α°．
∵PN平分∠MPF，
∴∠NPM=12∠MPF=65°−12α.
∵PE⊥CD，
∴∠PEM=90°，
∴∠EPM=90°−50°=40°，
∴∠NPE=∠EPM−∠NPM=40°−65°+12α°=(α−502)°．
(3)∵∠PMF=50°，
∴当△FPM为直角三角形时，存在两种情况：
情况一：当∠FPM=90°时，
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−90°=8°．
∴转动的时间为810=45(秒)．
情况二：当∠PFM=90°时，∠FPM=40°．
∵初始状态时∠FPM=98°，
∴旋转过的度数为98°−40°=58°．
∴转动的时间为5810=295(秒)．
综上：当t为45秒或295秒时，△FPM为直角三角形．
【解析】(1)平行线的性质得到∠PMF=∠BPM=50°，三角形内角和，得到∠MPF=98°，角平分线得到∠NPM=12∠MPF=49°，垂直得到∠PEM=90°，进而求出∠EPM的度数，利用∠NPE=∠NPM−∠EPM，进行求解即可；
(2)根据题意，画出图形，同法(1)求出∠NPM，∠EPM的度数，利用∠NPE=∠EPM−∠NPM，进行求解即可；
(3)分∠FPM=90°和∠PFM=90°，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查平行线的性质，与角平分线和高线有关的三角形的内角和．解题的关键时熟练掌握相关性质和定义，利用数形结合的思想进行求解．
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