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2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学毕业认定试卷（含解析）
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这是一份2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学毕业认定试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学毕业认定试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
2. 以下四个电话号码是人们生活中十分重要的号码，其中号码图是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石.目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm(纳米)，已知1mm=1×10−9m，将14nm用科学记数法可表示m．( )
A. 14×10−9 B. 1.4×10−9 C. 1.4×10−10 D. 1.4×10−8
4. 下列运算正确的是( )
A. (a3)2=a5 B. a2⋅a3=a5 C. (ab)2=ab2 D. a6a2=a3(a≠0)
5. 要使二次根式 2x−3有意义，x的值可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
6. 如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A=100°，∠D=50°，则∠BOC的度数是( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
7. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是( )
A. 13
B. 23
C. 12
D. 0
8. 如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC=9，DF=3，OA=6，则OD=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是( )
A. a>0
B. b>0
C. 点B的坐标为(4,0)
D. 当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
10. 过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是( )
A. B.
C. D.
11. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3x+2y=19x+4y=23，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BOPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上.其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3=1，则S1+S2+S5−S3=( )
A. 1 B. 32
C. 32 D. 条件不足，无法计算
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 已知x−3y=2，则代数式−x+3y+5= ______ ．
14. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB=10米，半径OB=8米，则圆锥的侧面积是______ 平方米(结果保留π)．
15. 如图，直线y=kx(k≠0)与y=ax+b(a≠0)在第二象限交于点A，y=ax+b交x轴于点B，且AB=AO，关于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，则BO= ______ ．
16. 如图，四边形BCDE内接于⊙O，其中BC=4,DE=2 105，分别延长BE、CD交于点A，若tan∠A=13，则⊙O的半径为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算： 12+|4− 3|−(14)−1；
(2)解分式方程：1x−5−10x2−25=0．
18. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A，B，且B点纵坐标为−2．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)点C(2,0)，连接AC，BC，求△ABC的面积．
19. (本小题12.0分)
为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制计入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%计入总分．
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示：10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是______ ，中位数是______ ；
(2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
(3)张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
20. (本小题10.0分)
某新建的大型超市修建了多个地下停车场，如图1是某个停车场入口.按规定，传车场坡道口上方要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入.如图2，斜坡AN与水平地面MN的夹角为28°，墙的厚度BC为0.5m，分别过点B、C作AN的垂线，垂足分别为D、E.已知AB//MN，AB=10m．
(1)求BD的长；
(2)求CE的长，并根据实际情况和生活经验在限高标志内写出一个合理的数字.(结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tana28°≈0.53 )．
21. (本小题10.0分)
遵义火车站现有甲种货物306吨，乙种货物230吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节．
(1)已知甲种货物7吨和乙种货物3吨可装满一节A型货厢，甲种货物5吨和乙种货物7吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
22. (本小题10.0分)
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.在梯形中，平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底)；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高.两腰相等的梯形叫做等腰梯形
(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC平分∠DAB，若梯形的周长为10，腰长为2，则AB的长为______ ．
(2)求证：等腰梯形同一底上的两个角相等．
23. (本小题12.0分)
对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m=a2+b2(a、b为正整数)，记A(m)=ab.例如：29=22+52，29就是一个“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算A(13)的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个“平方和数”，
①设k=x2+y2，则A(k)= ______ ；
②当A(k)=k2−18，求k的值．
24. (本小题12.0分)
如图①是我区的某蔬菜基地的种植棚，它一定意义上带动了我区的经济发展.其截面为图②所示的轴对称图形，点A，B在以O为顶点的抛物线上，BC⊥AB，AD⊥AB，BC=AD，点G在直线BC上，点E在直线AD上，FH//AB.当以O为原点建立如图③所示的坐标系时，抛物线过点P(−2,−12)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点O到地面距离为5米，记BC+AB+AD=p，当p最大时，求棚的跨度AB长．
(3)在(2)的条件下，E点纵坐标为1− 2，F(2,1)，为了使该棚更加牢固安全，需要把直线EF，GH向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求EF向下平移的距离．
25. (本小题12.0分)
综合与实践
如图，AP是⊙O的切线，A为切点，B，C是圆上与A不重合的两点．
问题解决
(1)如图1，若AB是⊙O直径，AB=6，AC=3，则∠PAC= ______ ．
问题探究
(2)如图2，当B为⊙O上任意一点时，∠PAC与∠B有怎样的关系？并加以证明．
拓展运用
(3)如图3，⊙O的半径是2，PA=3，PC= 3，求∠BAC的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−1<0<1<2，
∴最小的数是−1，
故选：D．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A.原图是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：14nm=14×1×10−9m=1.4×10−8m.
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：A、(a3)2=a6，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故C不符合题意；
D、a6a2=a4，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：要使二次根式 2x−3有意义，必须2x−3≥0，
解得：x≥1.5，
所以只有选项D符合题意，选项A、选项C、选项B都不符合题意；
故选：D．
根据二次根式有意义的条件得出2x−3≥0，再求出x的范围，最后找出选项即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能求出2x−3≥0是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠D=∠B=50°，∠AOC=75°，
∵∠A=100°，∠B=50°，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=45°，
故选：C．
由旋转的性质可得∠D=∠B=50°，∠AOC=75°，由三角形内角和可求∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为26=13．
故选：A．
画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：∵AC=9，DF=3，
∴AC：DF=3：1．
∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，
∴OA：OD=3：1，
∵OA=6，
∴DF的长为2．
故选：A．
根据位似图形的性质得出位似比，进而得出OD的长．
本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a<0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
故选项B正确，符合题意；
C、由A(−1,0)，抛物线对称轴是直线x=1可知，B坐标为(3,0)，故选项C错误，不符合题意；
D、B、∵抛物线对称轴是直线x=1，开口向下，
∴当x>1时y随x的增大而减小，x<1时y随x的增大而增大，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由(2,4a+2b+c)所在象限可判断D．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵QA=QB，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项B，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB=QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；
选项D，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB=QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
故选：C．
本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定进行分析判断．
11.【答案】C
【解析】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
2x+y=11 ①4x+ay=27 ②
把x=3代入得，
6+y=11③12+ay=27④
由③得，y=5，
把y=5代入④得，12+5a=27，
∴a=3，
故选：C。
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可。
此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组。
12.【答案】A
【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′．
∵∠ABM=∠CBQ=90°，
∴∠ABC=∠MBQ，
∵BA=BM，BC=BQ，
∴△ABC≌△MBQ(SAS)，
同理可得：△ANF≌△ABC，即S2=S3=1，
∴∠ACB=∠BQM=90°，
∵∠PQB=90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG=PC=BC，
∵∠BCT=∠MGQ′=90°，∠BTC+∠CBT=90°，∠BQ′M+∠CBT=90°，
∴∠MQ′G=∠BTC，
∴△MGQ′≌△BCT(AAS)，
∴S4=S△BGM，
∴MQ′=BT，
∵MN=BM，
∴NQ′=MT，
∵∠MQ′G=∠BTC，
∴∠NQ′E=∠MTP，
∵∠E=∠MPT=90°，
则△NQ′E≌△MTP(AAS)，
∴S1+S5=S3=S4=1，
∴S1+S2+S5−S3=1+1−1=1．
故选：A．
如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′.证明△ABC≌△MBQ(SAS)，同理可得：△ANF≌△ABC，即S2=S3=1，推出∠ACB=∠BQM=90°，由∠PQB=90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP是矩形，推出MG=PC=BC，证明△MGQ′≌△BCT(AAS)，推出MQ′=BT，由MN=BM，NQ′=MT，可证△NQ′E≌△MTP，推出S1+S5=S3=S4=1，进而可求解．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将正方形的性质及三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．
13.【答案】3
【解析】解：∵x−3y=2，
∴原式=−(x−3y)+5
=−2+5
=3．
故答案为：3．
原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】80π
【解析】解：∵OB=8米，AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×8=16π(米)，
∴S扇形=12lr=12×16π×10=80π(米 2).
故答案为：80π．
求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=12lr，求得答案即可．
本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
15.【答案】8
【解析】解：作AH⊥x轴于H，如图，
关根据于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，
∴OH=4，
∵AB=AO，
∴BH=OH=12OB=4，
∴BO=8，
故答案为：8
作AH⊥x轴于H，如图，关根据于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，得出OH=4，AH=3，从而得到AO=5，然后根据AB=AO，得到OH=BH=4，即可得答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16.【答案】2 5
【解析】解：作EH⊥AD于H，连接CE，作直径MD，连接ME，
∵tan∠A=EHAH=13，
∴设EH=x，AH=3x，
∴AE= AH2+EH2= 10x，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠B+∠CDE=180°，
∵∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠ADE=∠B，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AE：AC=DE：BC=2 105：4=1： 10，
∴AC=10x，
∴CH=AC−AH=7x，
∴EC= EH2+HC2=5 2x，
∵MD是圆的直径，
∴∠MED=90°，
∴∠MED=∠EHC=90°，
∵∠M=∠ECH，
∴△MED∽△CHE，
∴ED：EH=MD：CE，
∴2 105：x=MD：5 2x，
∴MD=4 5，
∴⊙O的半径是2 5．
故答案为：2 5．
作EH⊥AD于H，连接CE，作直径MD，连接ME，由锐角的正切定义得到EHAH=13，设EH=x，AH=3x，由勾股定理求出AE= 10x，由圆内接四边形的性质推出∠ADE=∠B，而∠DAE=∠BAC，即可证明△ADE∽△ABC，推出AE：AC=DE：BC=2 105：4=1： 10，求出AC=10x，得到CH=AC−AH=7x，由勾股定理求出EC=5 2x，由△MED∽△CHE，得到ED：EH=MD：CE，代入有关数据即可求出MD=4 5，得到⊙O的半径是2 5．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：(1) 12+|4− 3|−(14)−1
=2 3+4− 3−4
= 3；
(2)1x−5−10x2−25=0，
去分母，得x+5−10=0，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】(1)根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂求解即可；
(2)先去分母化为一元一次方程，再求解即可，注意检验．
本题考查了解分式方程，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把y=−2代入y=x+1得，x=−3，
∴B(−3,−2)，
∵反比例函数y=kx的图象过点B，
∴k=(−3)×(−2)=6，
∴反比例函数的解析式是y=6x；
(2)由y=x+1y=6x，解得x=−3y=−2或x=2y=3，
∴A(2,3)，
把y=0代入y=x+1，得0=x+1，
解得x=−1，
∴直线AB与x轴的交点为D(−1,0)，
∵点C(2,0)，
∴CD=2−(−1)=3，
∴△ABC的面积=12×3×(2+3)=152．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
(2)解析式联立，解方程组求得A点的坐标，求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
19.【答案】90 88.5
【解析】解：(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是90，中位数为12×(88+89)=88.5；
故答案为：90，88.5；
(2)∵85×11+4+6+4+2+3+90×420+90×620+80×420+70×220+75×320=83.5，
∴1号参赛试题在第一环节中的得分为83.5；
(3)几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别用1、2、3、4表示，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
∴P(抽到“推理能力”和“模型观念”)=212=16．
(1)根据众数和中位数的定义求解；
(2)根据图表①列式计算1号参赛试题得分即可；
(3)列树状图求出所有等可能结果，再用概念公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数和众数．
20.【答案】解：(1)∵AB//MN，
∴∠BAD=∠ANM=28°，
在Rt△ABD中，AB=10m，∠BAD=28°，
∴BD=sin28°×AB
≈0.47×10
=4.7(m)，
答：BD=4.7m；
(2)如图，延长BC交AN于点F，
在Rt△ABF中，AB=10m，∠BAF=28°，
∴BF=tan28°⋅AB≈0.53×10=5.3(m)，
∴CF=BF−BC=5.3−0.5=4.8(m)，
在Rt△CEF中，CF=4.8m，∠ECF=90°−(90°−28°)=28°，
∴CE=cos28°⋅CF
≈0.88×4.8
≈4.2(m)，
答：CE的长约为4.2m，在限高标志内写上数字4m．
【解析】(1)根据平行线的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可；
(2)根据直角三角形的边角关系求出BF，进而求出CF，再利用直角三角形的边角关系求出CE即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
21.【答案】解：(1)设安排A型货厢x节，则安排B型货厢(50−x)节，
根据题意，可列方程组为7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230，
解得：28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
因此共有三种方案，分别为：
第一种方案：安排A型货厢28辆，B型货厢22辆，
第二种方案：安排A型货厢29辆，B型货厢21辆，
第三种方案：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆．
(2)设总运费为W万元，W=0.5x+0.8(50−x)=−0.3x+40，
∴当安排A型货厢28辆，B型货厢22辆时，W=31.6，
当安排A型货厢29辆，B型货厢21辆时，W=31.3，
当安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，W=31，
∴安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元，
答：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元．
【解析】(1)设安排A型货厢x节，则安排B型货厢(50−x)节，由题意得7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230，解出不等式组并取整数分情况分析即可求解．
(2)设总运费为W万元，列出二元一次方程W=−0.3x+40，根据(1)中x的值分情况讨论即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的实际应用问题、二元一次方程的实际应用问题，根据题意，找准不等关系及等量关系，列出不等式组及等式，根据解分情况讨论是解题的关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DC=DA=2，
∵梯形的周长为10，
∴AB=10−2×3=4；
(2)已知：在等腰梯形ABCD中，AB//CD，
求证：∠A=∠B，
证明：过C作CE//AD交AB于E，
∵DC//AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，∠CEB=∠A，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∴CE=BC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B．
∴等腰梯形同一底上的两个角相等．
(1)由平行线的性质得到∠DCA=∠BAC，由角平分线定义，得到∠DAC=∠BAC，因此∠DCA=∠DAC，推出DC=DA=2，即可求出AB=10−2×3=4；
(2)过C作CE//AD交AB于E，得到四边形AECD是平行四边形，推出CE=AD，∠CEB=∠A，由等腰梯形的性质，得到BC=AD，因此CE=BC，得到∠CEB=∠B，即可证明∠A=∠B．
本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出DC=AD；过C作CE//AD交AB于E，证明CE=CB．
23.【答案】xy
【解析】解：(1)13是“平方和数”．
∵13=22+32，
∴A(13)=2×3=6；
(2)①依据“平方和数”的定义可知，
k=x2+y2，则A(k)=xy；
故答案为：xy；
②∵A(k)=k2−18=k−362，
∴xy=x2+y2−362，
∴2xy=x2+y2−36，
∴x2−2xy+y2=36，
∴(x−y)2=36，
∴x−y=±6，即y=x+6或x=y+6，
∵x、y为正整数，k为两位数，
∴当x=1，y=7或x=7，y=1时，k=50；
当x=2，y=8或x=8，y=2时，k=68；
当x=3，y=9或x=9，y=3时，k=90；
综上所述，k的值为：50或68或90．
(1)把13写成两个正整数的平方和，再根据A(m)=ab求出A(13)便可；
(2)①依据依据“平方和数”的定义直接写出答案；
②根据A(k)=k2−18得x、y的方程，求得x与y的关系式，进而由x、t、k满足的条件求得k的值即可．
本题是一个新定义题，主要考查了列代数式，因式分解的应用，根据新定义列出a、b的方程求得a、b的关系式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据图③所示坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，
把P(−2,−12)代入解析式得：−12=4a，
解得a=−18，
∴抛物线解析式为y=−18x2；
(2)设AB=2m(m>0)，
则A(m,−18m2)，
∴OA=18m2，
∵点O到地面距离为5米，
∴AD=BC=5−OA=5−18m2，
∴p=BC+AB+AD=2(5−18m2)+2m=−14m2+2m+10=−14(m−4)2+14，
∵−14<0，
∴当m=4时，p最大，最大值为14，
∴当p最大时，棚的跨度AB长为8米；
(3)由(2)知，点E坐标为(4,1− 2)，
设直线EF的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把E，F坐标代入解析式得：4k+b=1− 22k+b=1，
解得k=− 22b=1+ 2，
∴直线EF的解析式为y=− 22x+1+ 2，
设EF向下平移n个单位长度，所得解析式为y=− 22x+1+ 2−n，
∵EF平移后与抛物线相切，
∴−18x2=− 22x+1+ 2−n，
整理得：x2−4 2x+8+8 2−8n=0，
∴Δ=(−4 2)2−4×(8+8 2−8n)=0，
解得n= 2，
∴EF向下平移的距离为 2米．
【解析】(1)根据坐标系，用待定系数法求函数解析式即可；
(2)设AB=2m(m>0)，从而确定出AB，AD，BC的长度，根据BC+AB+AD=p，得出p关于m的函数关系式，由二次函数的性质确定最值；
(3)先求出EF的解析式，再向下平移n个单位长度，由平移后的EF和抛物线相切得出Δ=0，从而求出n的值．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25.【答案】30°
【解析】解：(1)∵AB是直径．
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，
∴∠B=30°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
即∠BAC+∠PAC=90°，
又∵∠PAC+∠B=90°，
∴∠PAC=∠B=30°；
(2)连接CO并延长与⊙O交于点D，连接AD、OA，如图：
则∠B=∠CAD=∠OAD，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
即∠OAD+∠OAC=90°，
又∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
即∠OAC+∠PAC=90°，
∴∠OAD=∠PAC，
∴∠PAC=∠B；
(3)连接CO并延长交⊙O于点E，连接BE，如图：
则∠BAC=∠E，
由(2)可知∠PAC=∠ABC，
∵∠P=∠P，
∴△APC∽△BPA
∴APBP=CPAP，
即3BP= 33，
解得BP=2 3，
∵⊙O的半径为2，
∴CE=4，
∴sinE=BCCE=2 34= 32，
∴∠E=60°，
∴∠BAC=60°．
(1)先由直径得出△ABC是直角三角形，然后由边的关系即可得出∠B=30°，再说明∠PAC=∠B=30°即可；
(2)先作出辅助线构造直角三角形，然后根据角之间的关系即可得证；
(3)先构造直角三角形，然后说明△APC∽△BPA，得出对应边成比例即可求出BC，再求出∠E的正弦值即可得出∠BAC的大小．
本题考查与圆有关的概念和性质，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
2023年贵州省遵义市新蒲新区中考数学毕业认定试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. −1
2. 以下四个电话号码是人们生活中十分重要的号码，其中号码图是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石.目前我国的芯片制造工艺已经达到了14nm(纳米)，已知1mm=1×10−9m，将14nm用科学记数法可表示m．( )
A. 14×10−9 B. 1.4×10−9 C. 1.4×10−10 D. 1.4×10−8
4. 下列运算正确的是( )
A. (a3)2=a5 B. a2⋅a3=a5 C. (ab)2=ab2 D. a6a2=a3(a≠0)
5. 要使二次根式 2x−3有意义，x的值可以是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
6. 如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A=100°，∠D=50°，则∠BOC的度数是( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
7. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是( )
A. 13
B. 23
C. 12
D. 0
8. 如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，且AC=9，DF=3，OA=6，则OD=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是( )
A. a>0
B. b>0
C. 点B的坐标为(4,0)
D. 当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
10. 过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是( )
A. B.
C. D.
11. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3x+2y=19x+4y=23，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BOPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上.其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3=1，则S1+S2+S5−S3=( )
A. 1 B. 32
C. 32 D. 条件不足，无法计算
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 已知x−3y=2，则代数式−x+3y+5= ______ ．
14. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB=10米，半径OB=8米，则圆锥的侧面积是______ 平方米(结果保留π)．
15. 如图，直线y=kx(k≠0)与y=ax+b(a≠0)在第二象限交于点A，y=ax+b交x轴于点B，且AB=AO，关于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，则BO= ______ ．
16. 如图，四边形BCDE内接于⊙O，其中BC=4,DE=2 105，分别延长BE、CD交于点A，若tan∠A=13，则⊙O的半径为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)计算： 12+|4− 3|−(14)−1；
(2)解分式方程：1x−5−10x2−25=0．
18. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A，B，且B点纵坐标为−2．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)点C(2,0)，连接AC，BC，求△ABC的面积．
19. (本小题12.0分)
为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制计入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%计入总分．
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示：10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75
(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是______ ，中位数是______ ；
(2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按1：4：6：4：2：3计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
(3)张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
20. (本小题10.0分)
某新建的大型超市修建了多个地下停车场，如图1是某个停车场入口.按规定，传车场坡道口上方要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入.如图2，斜坡AN与水平地面MN的夹角为28°，墙的厚度BC为0.5m，分别过点B、C作AN的垂线，垂足分别为D、E.已知AB//MN，AB=10m．
(1)求BD的长；
(2)求CE的长，并根据实际情况和生活经验在限高标志内写出一个合理的数字.(结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tana28°≈0.53 )．
21. (本小题10.0分)
遵义火车站现有甲种货物306吨，乙种货物230吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节．
(1)已知甲种货物7吨和乙种货物3吨可装满一节A型货厢，甲种货物5吨和乙种货物7吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
22. (本小题10.0分)
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.在梯形中，平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底)；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高.两腰相等的梯形叫做等腰梯形
(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC平分∠DAB，若梯形的周长为10，腰长为2，则AB的长为______ ．
(2)求证：等腰梯形同一底上的两个角相等．
23. (本小题12.0分)
对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m=a2+b2(a、b为正整数)，记A(m)=ab.例如：29=22+52，29就是一个“平方和数”，则A(29)=2×5=10．
(1)判断13是否是“平方和数”，若是，请计算A(13)的值；若不是，请说明理由；
(2)若k是一个“平方和数”，
①设k=x2+y2，则A(k)= ______ ；
②当A(k)=k2−18，求k的值．
24. (本小题12.0分)
如图①是我区的某蔬菜基地的种植棚，它一定意义上带动了我区的经济发展.其截面为图②所示的轴对称图形，点A，B在以O为顶点的抛物线上，BC⊥AB，AD⊥AB，BC=AD，点G在直线BC上，点E在直线AD上，FH//AB.当以O为原点建立如图③所示的坐标系时，抛物线过点P(−2,−12)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点O到地面距离为5米，记BC+AB+AD=p，当p最大时，求棚的跨度AB长．
(3)在(2)的条件下，E点纵坐标为1− 2，F(2,1)，为了使该棚更加牢固安全，需要把直线EF，GH向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求EF向下平移的距离．
25. (本小题12.0分)
综合与实践
如图，AP是⊙O的切线，A为切点，B，C是圆上与A不重合的两点．
问题解决
(1)如图1，若AB是⊙O直径，AB=6，AC=3，则∠PAC= ______ ．
问题探究
(2)如图2，当B为⊙O上任意一点时，∠PAC与∠B有怎样的关系？并加以证明．
拓展运用
(3)如图3，⊙O的半径是2，PA=3，PC= 3，求∠BAC的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−1<0<1<2，
∴最小的数是−1，
故选：D．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A.原图是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：14nm=14×1×10−9m=1.4×10−8m.
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：A、(a3)2=a6，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故C不符合题意；
D、a6a2=a4，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：要使二次根式 2x−3有意义，必须2x−3≥0，
解得：x≥1.5，
所以只有选项D符合题意，选项A、选项C、选项B都不符合题意；
故选：D．
根据二次根式有意义的条件得出2x−3≥0，再求出x的范围，最后找出选项即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能求出2x−3≥0是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠D=∠B=50°，∠AOC=75°，
∵∠A=100°，∠B=50°，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=45°，
故选：C．
由旋转的性质可得∠D=∠B=50°，∠AOC=75°，由三角形内角和可求∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数．
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为26=13．
故选：A．
画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：∵AC=9，DF=3，
∴AC：DF=3：1．
∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，
∴OA：OD=3：1，
∵OA=6，
∴DF的长为2．
故选：A．
根据位似图形的性质得出位似比，进而得出OD的长．
本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a<0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
故选项B正确，符合题意；
C、由A(−1,0)，抛物线对称轴是直线x=1可知，B坐标为(3,0)，故选项C错误，不符合题意；
D、B、∵抛物线对称轴是直线x=1，开口向下，
∴当x>1时y随x的增大而减小，x<1时y随x的增大而增大，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由(2,4a+2b+c)所在象限可判断D．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：选项A，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵QA=QB，
∴点Q在线段AB的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项B，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB=QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意；
选项D，连接PA，PB，QA，QB，
∵PA=QA，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，
∵PB=QB，
∴点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ⊥l，故此选项不符合题意；
故选：C．
本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定进行分析判断．
11.【答案】C
【解析】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
2x+y=11 ①4x+ay=27 ②
把x=3代入得，
6+y=11③12+ay=27④
由③得，y=5，
把y=5代入④得，12+5a=27，
∴a=3，
故选：C。
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可。
此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组。
12.【答案】A
【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′．
∵∠ABM=∠CBQ=90°，
∴∠ABC=∠MBQ，
∵BA=BM，BC=BQ，
∴△ABC≌△MBQ(SAS)，
同理可得：△ANF≌△ABC，即S2=S3=1，
∴∠ACB=∠BQM=90°，
∵∠PQB=90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG=PC=BC，
∵∠BCT=∠MGQ′=90°，∠BTC+∠CBT=90°，∠BQ′M+∠CBT=90°，
∴∠MQ′G=∠BTC，
∴△MGQ′≌△BCT(AAS)，
∴S4=S△BGM，
∴MQ′=BT，
∵MN=BM，
∴NQ′=MT，
∵∠MQ′G=∠BTC，
∴∠NQ′E=∠MTP，
∵∠E=∠MPT=90°，
则△NQ′E≌△MTP(AAS)，
∴S1+S5=S3=S4=1，
∴S1+S2+S5−S3=1+1−1=1．
故选：A．
如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′.证明△ABC≌△MBQ(SAS)，同理可得：△ANF≌△ABC，即S2=S3=1，推出∠ACB=∠BQM=90°，由∠PQB=90°，推出M，P，Q共线，由四边形CGMP是矩形，推出MG=PC=BC，证明△MGQ′≌△BCT(AAS)，推出MQ′=BT，由MN=BM，NQ′=MT，可证△NQ′E≌△MTP，推出S1+S5=S3=S4=1，进而可求解．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，有一定难度，解题关键是将正方形的性质及三角形的面积公式进行灵活的结合和应用．
13.【答案】3
【解析】解：∵x−3y=2，
∴原式=−(x−3y)+5
=−2+5
=3．
故答案为：3．
原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】80π
【解析】解：∵OB=8米，AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×8=16π(米)，
∴S扇形=12lr=12×16π×10=80π(米 2).
故答案为：80π．
求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=12lr，求得答案即可．
本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
15.【答案】8
【解析】解：作AH⊥x轴于H，如图，
关根据于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，
∴OH=4，
∵AB=AO，
∴BH=OH=12OB=4，
∴BO=8，
故答案为：8
作AH⊥x轴于H，如图，关根据于x，y的方程组y=kxy=ax+b的解为x=−4y=3，得出OH=4，AH=3，从而得到AO=5，然后根据AB=AO，得到OH=BH=4，即可得答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16.【答案】2 5
【解析】解：作EH⊥AD于H，连接CE，作直径MD，连接ME，
∵tan∠A=EHAH=13，
∴设EH=x，AH=3x，
∴AE= AH2+EH2= 10x，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠B+∠CDE=180°，
∵∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠ADE=∠B，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AE：AC=DE：BC=2 105：4=1： 10，
∴AC=10x，
∴CH=AC−AH=7x，
∴EC= EH2+HC2=5 2x，
∵MD是圆的直径，
∴∠MED=90°，
∴∠MED=∠EHC=90°，
∵∠M=∠ECH，
∴△MED∽△CHE，
∴ED：EH=MD：CE，
∴2 105：x=MD：5 2x，
∴MD=4 5，
∴⊙O的半径是2 5．
故答案为：2 5．
作EH⊥AD于H，连接CE，作直径MD，连接ME，由锐角的正切定义得到EHAH=13，设EH=x，AH=3x，由勾股定理求出AE= 10x，由圆内接四边形的性质推出∠ADE=∠B，而∠DAE=∠BAC，即可证明△ADE∽△ABC，推出AE：AC=DE：BC=2 105：4=1： 10，求出AC=10x，得到CH=AC−AH=7x，由勾股定理求出EC=5 2x，由△MED∽△CHE，得到ED：EH=MD：CE，代入有关数据即可求出MD=4 5，得到⊙O的半径是2 5．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：(1) 12+|4− 3|−(14)−1
=2 3+4− 3−4
= 3；
(2)1x−5−10x2−25=0，
去分母，得x+5−10=0，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】(1)根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂求解即可；
(2)先去分母化为一元一次方程，再求解即可，注意检验．
本题考查了解分式方程，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把y=−2代入y=x+1得，x=−3，
∴B(−3,−2)，
∵反比例函数y=kx的图象过点B，
∴k=(−3)×(−2)=6，
∴反比例函数的解析式是y=6x；
(2)由y=x+1y=6x，解得x=−3y=−2或x=2y=3，
∴A(2,3)，
把y=0代入y=x+1，得0=x+1，
解得x=−1，
∴直线AB与x轴的交点为D(−1,0)，
∵点C(2,0)，
∴CD=2−(−1)=3，
∴△ABC的面积=12×3×(2+3)=152．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
(2)解析式联立，解方程组求得A点的坐标，求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
19.【答案】90 88.5
【解析】解：(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是90，中位数为12×(88+89)=88.5；
故答案为：90，88.5；
(2)∵85×11+4+6+4+2+3+90×420+90×620+80×420+70×220+75×320=83.5，
∴1号参赛试题在第一环节中的得分为83.5；
(3)几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别用1、2、3、4表示，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
∴P(抽到“推理能力”和“模型观念”)=212=16．
(1)根据众数和中位数的定义求解；
(2)根据图表①列式计算1号参赛试题得分即可；
(3)列树状图求出所有等可能结果，再用概念公式计算即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数和众数．
20.【答案】解：(1)∵AB//MN，
∴∠BAD=∠ANM=28°，
在Rt△ABD中，AB=10m，∠BAD=28°，
∴BD=sin28°×AB
≈0.47×10
=4.7(m)，
答：BD=4.7m；
(2)如图，延长BC交AN于点F，
在Rt△ABF中，AB=10m，∠BAF=28°，
∴BF=tan28°⋅AB≈0.53×10=5.3(m)，
∴CF=BF−BC=5.3−0.5=4.8(m)，
在Rt△CEF中，CF=4.8m，∠ECF=90°−(90°−28°)=28°，
∴CE=cos28°⋅CF
≈0.88×4.8
≈4.2(m)，
答：CE的长约为4.2m，在限高标志内写上数字4m．
【解析】(1)根据平行线的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可；
(2)根据直角三角形的边角关系求出BF，进而求出CF，再利用直角三角形的边角关系求出CE即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
21.【答案】解：(1)设安排A型货厢x节，则安排B型货厢(50−x)节，
根据题意，可列方程组为7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230，
解得：28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
因此共有三种方案，分别为：
第一种方案：安排A型货厢28辆，B型货厢22辆，
第二种方案：安排A型货厢29辆，B型货厢21辆，
第三种方案：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆．
(2)设总运费为W万元，W=0.5x+0.8(50−x)=−0.3x+40，
∴当安排A型货厢28辆，B型货厢22辆时，W=31.6，
当安排A型货厢29辆，B型货厢21辆时，W=31.3，
当安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，W=31，
∴安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元，
答：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元．
【解析】(1)设安排A型货厢x节，则安排B型货厢(50−x)节，由题意得7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230，解出不等式组并取整数分情况分析即可求解．
(2)设总运费为W万元，列出二元一次方程W=−0.3x+40，根据(1)中x的值分情况讨论即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的实际应用问题、二元一次方程的实际应用问题，根据题意，找准不等关系及等量关系，列出不等式组及等式，根据解分情况讨论是解题的关键．
22.【答案】4
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DC=DA=2，
∵梯形的周长为10，
∴AB=10−2×3=4；
(2)已知：在等腰梯形ABCD中，AB//CD，
求证：∠A=∠B，
证明：过C作CE//AD交AB于E，
∵DC//AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD，∠CEB=∠A，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∴CE=BC，
∴∠CEB=∠B，
∴∠A=∠B．
∴等腰梯形同一底上的两个角相等．
(1)由平行线的性质得到∠DCA=∠BAC，由角平分线定义，得到∠DAC=∠BAC，因此∠DCA=∠DAC，推出DC=DA=2，即可求出AB=10−2×3=4；
(2)过C作CE//AD交AB于E，得到四边形AECD是平行四边形，推出CE=AD，∠CEB=∠A，由等腰梯形的性质，得到BC=AD，因此CE=BC，得到∠CEB=∠B，即可证明∠A=∠B．
本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出DC=AD；过C作CE//AD交AB于E，证明CE=CB．
23.【答案】xy
【解析】解：(1)13是“平方和数”．
∵13=22+32，
∴A(13)=2×3=6；
(2)①依据“平方和数”的定义可知，
k=x2+y2，则A(k)=xy；
故答案为：xy；
②∵A(k)=k2−18=k−362，
∴xy=x2+y2−362，
∴2xy=x2+y2−36，
∴x2−2xy+y2=36，
∴(x−y)2=36，
∴x−y=±6，即y=x+6或x=y+6，
∵x、y为正整数，k为两位数，
∴当x=1，y=7或x=7，y=1时，k=50；
当x=2，y=8或x=8，y=2时，k=68；
当x=3，y=9或x=9，y=3时，k=90；
综上所述，k的值为：50或68或90．
(1)把13写成两个正整数的平方和，再根据A(m)=ab求出A(13)便可；
(2)①依据依据“平方和数”的定义直接写出答案；
②根据A(k)=k2−18得x、y的方程，求得x与y的关系式，进而由x、t、k满足的条件求得k的值即可．
本题是一个新定义题，主要考查了列代数式，因式分解的应用，根据新定义列出a、b的方程求得a、b的关系式是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据图③所示坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，
把P(−2,−12)代入解析式得：−12=4a，
解得a=−18，
∴抛物线解析式为y=−18x2；
(2)设AB=2m(m>0)，
则A(m,−18m2)，
∴OA=18m2，
∵点O到地面距离为5米，
∴AD=BC=5−OA=5−18m2，
∴p=BC+AB+AD=2(5−18m2)+2m=−14m2+2m+10=−14(m−4)2+14，
∵−14<0，
∴当m=4时，p最大，最大值为14，
∴当p最大时，棚的跨度AB长为8米；
(3)由(2)知，点E坐标为(4,1− 2)，
设直线EF的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把E，F坐标代入解析式得：4k+b=1− 22k+b=1，
解得k=− 22b=1+ 2，
∴直线EF的解析式为y=− 22x+1+ 2，
设EF向下平移n个单位长度，所得解析式为y=− 22x+1+ 2−n，
∵EF平移后与抛物线相切，
∴−18x2=− 22x+1+ 2−n，
整理得：x2−4 2x+8+8 2−8n=0，
∴Δ=(−4 2)2−4×(8+8 2−8n)=0，
解得n= 2，
∴EF向下平移的距离为 2米．
【解析】(1)根据坐标系，用待定系数法求函数解析式即可；
(2)设AB=2m(m>0)，从而确定出AB，AD，BC的长度，根据BC+AB+AD=p，得出p关于m的函数关系式，由二次函数的性质确定最值；
(3)先求出EF的解析式，再向下平移n个单位长度，由平移后的EF和抛物线相切得出Δ=0，从而求出n的值．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25.【答案】30°
【解析】解：(1)∵AB是直径．
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，
∴∠B=30°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
即∠BAC+∠PAC=90°，
又∵∠PAC+∠B=90°，
∴∠PAC=∠B=30°；
(2)连接CO并延长与⊙O交于点D，连接AD、OA，如图：
则∠B=∠CAD=∠OAD，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
即∠OAD+∠OAC=90°，
又∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
即∠OAC+∠PAC=90°，
∴∠OAD=∠PAC，
∴∠PAC=∠B；
(3)连接CO并延长交⊙O于点E，连接BE，如图：
则∠BAC=∠E，
由(2)可知∠PAC=∠ABC，
∵∠P=∠P，
∴△APC∽△BPA
∴APBP=CPAP，
即3BP= 33，
解得BP=2 3，
∵⊙O的半径为2，
∴CE=4，
∴sinE=BCCE=2 34= 32，
∴∠E=60°，
∴∠BAC=60°．
(1)先由直径得出△ABC是直角三角形，然后由边的关系即可得出∠B=30°，再说明∠PAC=∠B=30°即可；
(2)先作出辅助线构造直角三角形，然后根据角之间的关系即可得证；
(3)先构造直角三角形，然后说明△APC∽△BPA，得出对应边成比例即可求出BC，再求出∠E的正弦值即可得出∠BAC的大小．
本题考查与圆有关的概念和性质，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
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