初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性优秀测试题

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第2章 轴对称图形
2.5 等腰三角形的轴对称性

课程标准
课标解读
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
1.理解等腰三角形是轴对称图形
2.掌握等边对等角的性质
3.掌握“三线合一”的性质
知识点01 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【微点拨】
等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【即学即练1】如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P，且AD＝AE，连接AP．

(1)求证：AP平分∠DAE；
(2)连接BC，求证：△ABC为等腰三角形．
知识点02 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【即学即练2】如图，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度数．

知识点03 等腰三角形的判定
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【微点拨】
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【即学即练3】如图，在中，，点D在边上，过点D作，，且．

(1)若，求的度数；
(2)求证：．
考法01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
【典例1】如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．

(1)求度数；
(2)求的周长．
考法02 等腰三角形的判定
判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
【典例2】如图，点，，，四点共线，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．


题组A 基础过关练
1．在中，，则的度数是（       ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则AB的长是（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8

3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（　　）

A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（　　）
A．5 B．8 C．11 D．5或11
5．若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是________°．
6．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角的度数为________．
7．直角三角形中，若斜边上的高和中线分别为3cm、4cm，则三角形的面积为 ___．
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB＝9，AD＝6，则△AED的周长为 ___．

9．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．

10．如图，平分，点C在线段上，，求证：．


题组B 能力提升练
1．在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（       ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
2．如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（       ）

A．66° B．70° C．72° D．75°
3．下列说法错误的是（       ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的三个内角中至少有两个是锐角
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
4．等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（       ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝_____．
6．如图，在中，，，，点为的中点，则的值是________．

7．如图，在中，点D在边BC上，，点E，点F分别是AC，BD的中点，，则AC的长为______．

8．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．

9．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2

(1)说明△ADE≌△BFE的理由；
(2)联结EG，那么EG与DF的位置关系是 　 　，请说明理由．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．

(1)求证：BD=AE．
(2)判断AD与AE的位置关系，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2．如图，在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，∠DCE的度数是（       ）

A．45° B．50° C．55° D．65°
3．如图，在中，和的角平分线相交于点，过点做交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则．其中结论正确的是（   ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点（，不与点重合）连接，连交射线于点，且，当是等腰三角形时，则的度数为（       ）

A．或或 B．或 C．或 D．或
5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，点D到BC的距离为4，则△DFC的面积为 _____．

6．如图，是等边的角平分线，，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为__________．

7．如图，在中，，，是的平分线且，若、分别是、上的动点，则的最小值是______．

8．如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接MN，∠DMN=70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a、b分别交与点D、E，

（1）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置：___________________；
（2）当△NPE是等腰三角形时，则∠NPE的度数为___________________．
9．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．

(1)如图1，试说明BE＝CF．
(2)如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
10．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°．

(1)尺规作图：
①作△ABC的高AD；
②作∠CAD的平分线AE，交BC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：△AEC是等腰三角形；
(3)若AC＝6，求AB的长．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．

(1)求证：；
(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．
12．已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．

(1)如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若AD＝4，求BC的长．
13．如图所示，点E，F在BC上且．

(1)求证：；
(2)若PO平分，则PO与线段BC有什么关系?为什么?
14．在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且．

(1)如图1，若＝60°，连接CE，DE．则的度数为 ;   BD与CE的数量关系是 ．
(2)如图2，若＝90°，连接、．试判断的形状，并说明理由．