初中苏科版3.1 勾股定理精品课后作业题

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第3章 勾股定理
3.1 勾股定理

课程标准
课标解读
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，
会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
知识点01 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
【微点拨】
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
【即学即练1】《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牵绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽”．设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

　　　　 ，所以．
【即学即练2】在学习勾股定理的过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与儿何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（       ）

A．分类思想 B．类比思想 C．统计思想 D．数形结合思想

知识点03 勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.与勾股定理有关的面积计算；
4.勾股定理在实际生活中的应用．
【即学即练3】如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是56，大直角三角形一边长为6，则斜边长（     ）

A．8 B．9 C．10 D．12
考法01 用勾股定理解三角形
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【典例1】如图，中，，，是边靠近点的三等分点，，则长为（       ）

A．2 B． C． D．
题组A 基础过关练
1．如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（       ）

A． B． C． D．25
2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（　　）

A． B．28 C．128 D．100
3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，他们少走的路长为（       ）

A． B． C． D．
4．直角三角形的两条直角边长分别为2和3，那么它的斜边的长是（       ）
A．或 B．4 C． D．
5．在如图所示的直角三角形中，x=____．

6．如图，，，，．若，则AD的长为__________．

7．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．


题组B 能力提升练
1．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移至的位置，连接，则的长是（       ）

A． B．2 C． D．3
2．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA与点D，PE⊥OB与点E，若OD=4，OP=5，则PE的长为（　　）

A．3 B． C．4 D．
3．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（       ）．

A．28 B．50 C．26 D．169
4．如图，字母B所代表的正方形的边长是（       ）

A．12 B．15 C．144 D．306
5．周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为________．
6．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．

7．如图，在中，，垂足为D，．求AC的长．

8．如图，在中，，，，CD是高．求CD的长．

9．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，．求的长和四边形的面积．

10．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理

(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．

题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（　　）

A．7cm B．6cm C．8cm D．8cm
2．如图中，，，点F是延长线上一点，过点F作，交延长线于点D，点E是的中点，若，则的长是（       ）

A．3 B．5 C．6.5 D．6
3．如图在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O，若点O是的中点，则的长为（       ）

A． B． C．3 D．4
4．如图，已知为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使，连接DE，若，则的面积（       ）

A． B． C． D．
5．如图，折叠直角三角形纸片，直角顶点C恰好落在斜边AB的中点E处，已知，则DE之长为___．

6．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 _____．

7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为______．

8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．

9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．

10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
　
(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．