数学人教A版 (2019)4.1 数列的概念第2课时课时作业

这是一份数学人教A版 (2019)4.1 数列的概念第2课时课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.1　第2课时　

A组·素养自测
一、选择题
1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(　A　)
A．－3　　 B．－4
C．－5　　 D．2
[解析]　由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，
a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　B　)
A．－　　 B．
C．－　　 D．
[解析]　∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，
a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
3．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　∵a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.
同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　B　)
A．0　　 B．－
C．　　 D．
[解析]　∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，….
至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始．
∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－.
5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(　C　)
A．－7　　 B．3
C．15　　 D．81
[解析]　由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.
又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C．
6．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列中的最大值是(　B　)
A．107　　 B．108
C．108　　 D．109
[解析]　由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7＝108.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前5项为__，，，，__．
[解析]　∵an＝3n－1(n∈N*)，
∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a4＝__7__，通项公式an＝____．
[解析]　a4＝S4－S3＝16＋1－9－1＝7，
an＝，即an＝.
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)∵a1＝1，an＋1＝an，
∴a2＝×1＝，
a3＝×＝，
a4＝×＝，
a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
10．已知数列{an}满足a1＝1，其前n项和是Sn，对任意正整数n，Sn＝n2an，求此数列的通项公式．
[解析]　∵Sn＝n2an，∴n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，化为＝，
∴an＝···…···a1
＝···…···1
＝，
n＝1时也成立，∴an＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1 000＝(　A　)
A．1　　 B．1 999
C．1 000　　 D．－1
[解析]　a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．
2．(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为(　AD　)
A．an＝2n＋3　　 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝　　 D．an＝1＋log2n
[解析]　A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为，是递减数列；
D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列．
3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　C　)
A．－165　　 B．－33
C．－30　　 D．－21
[解析]　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(　B　)

A．40　　 B．45
C．50　　 D．55
[解析]　交点个数依次组成数列为1，3，6，即，，，由此猜想an＝，
∴a10＝＝45.
二、填空题
5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝__12__，数列{an}的通项公式an＝__2n__．
[解析]　由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.
当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n.
6．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项．
(2)该数列有无限多个负数项．
(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值．
(4)－70是该数列中的一项．
其中正确说法的序号为__(2)(4)__．
[解析]　令－2n2＋13n>0，得0 令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．
即－70是该数列的第10项，所以(4)正确．
三、解答题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式an.
[解析]　因为数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，
所以a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5.
n＝1时，4n－5＝－1≠a1，所以{an}的通项公式an＝(n∈N*)．
8．已知数列{an}满足a1＝，n≥2时，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
[解析]　因为anan－1＝an－1－an，
所以n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋1,\s\do4(共(n－1)个1))＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.当n＝1时，a1＝也适合上式，所以an＝(n∈N*)．