高中4.4* 数学归纳法同步测试题

这是一份高中4.4* 数学归纳法同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四章　4.4　

A组·素养自测
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　D　)
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有(n2－n)项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有(n2－n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
[解析]　由f(n)可知，f(n)中共有(n2－n＋1)项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.故选D．
2．用数学归纳法证明“2n>2n＋1，对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　B　)
A．2　　 B．3
C．5　　 D．6
[解析]　∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n>2n＋1成立，∴n的第一个取值n0＝3.
3．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　A　)
A．必须运用假设
B．可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[解析]　由“n＝k时论断成立⇒n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
4．(2022·上海高二检测)如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　B　)
A．P(n)对所有自然数n成立
B．P(n)对所有正偶数n成立
C．P(n)对所有正奇数n成立
D．P(n)对所有大于1的自然数n成立
[解析]　因为命题P(n)对n＝k成立，且它对n＝k＋2也成立，又因为P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有正偶数n成立．故选B．
5．(2022·北师大附中高二期末)用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n3＝，n∈N*”，则当n＝k＋1时，应当在n＝k时对应的等式左边加上(　B　)
A．k3＋1
B．(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3
C．(k＋1)3
D．
[解析]　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3；
当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，
所以增加的项为(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3.故选B．
6．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝(　C　)
A．Sk＋
B．Sk＋＋
C．Sk＋－
D．Sk＋－
[解析]　由题意将k替换为k＋1，据此可得
Sk＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋＋…＋＋＋－
＝＋＋＋＋…＋＋－
＝Sk＋－.
故选C．
二、填空题
7．一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③__(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[解析]　由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，
可得P(n)对n＝9不成立，
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．
故答案为③.
8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是__2k__．
[解析]　当n＝k时成立，
即f(k)＝1＋＋…＋，
则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.
三、解答题
9．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
[解析]　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．
10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析]　由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，
b4＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
B组·素养提升
一、选择题
1．现有命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，不知真假．请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为(　B　)
A．不能用数学归纳法去判断真假
B．一定为真命题
C．加上条件n≤9后才是真命题，否则为假
D．存在一个很大常数m，当n>m时，命题为假
[解析]　n＝1时，左边＝(－1)2·1＝1，右边＝＋(－1)2·＝1，左边＝右边，命题成立；假设n＝k，k≥1，k∈Z时，命题成立，即1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1·k＝＋(－1)k＋1·，
则n＝k＋1时，左边＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1·k＋(－1)k＋2·(k＋1)
＝＋(－1)k＋1·＋(－1)k＋2·(k＋1)
＝＋(－1)k＋2·
＝＋(－1)k＋2·＝右边，命题也成立；
命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，是真题．故选B．
2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)，则从k到k＋1时左边添加的项是(　D　)
A．　　 B．－
C．－　　 D．－
[解析]　当n＝k时，等式的左边为1－＋－＋…＋－，
当n＝k＋1时，等式的左边为1－＋－＋…＋－＋－，
故从“n＝k到n＝k＋1”，左边所要添加的项是－.
3．(多选题)用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，下列说法错误的是(　ABC　)
A．当n＝1时，命题的左边为1＋1
B．当n＝k＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k2＋(k＋1)2
C．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分有(k＋1)2－(k2＋1)项
D．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
[解析]　用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，
当n＝1时，命题的左边为1，所以A不正确；
n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.所以选项D正确，C不正确，选项B不正确；故选ABC．
4．(多选题)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．若将数列的每一项按照如图所示的方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论正确的是(　ABD　)

A．Sn＋1＝a＋an＋1·an
B．a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n－1
D．4(cn－cn－1)＝πan－2·an＋1
[解析]　对于A，Sn＋1＝a＋an＋1·an，当n＝1时，S2＝1＋1＝2，a＋a2a1＝2，等式成立，
假设n＝k(k∈N＋)时，Sk＋1＝a＋ak＋1·ak成立，当n＝k＋1时，Sk＋2＝Sk＋1＋a＝a＋ak＋1·ak＋a＝a＋ak＋1·(ak＋ak＋1)＝a＋ak＋2·ak＋1，则n＝k＋1时，等式也成立，故A正确．对于B，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1，当n＝1时，a1＝a3－1＝a1＋a2－1＝1，等式成立，
假设n＝k(k∈N＋)时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＝ak＋2－1成立，
当n＝k＋1时，a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝ak＋2－1＋ak＋1＝ak＋3－1，
则n＝k＋1，等式也成立，故B正确．
对于C，由题意得，a1＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，
∴a1＋a3＝3≠a4－1，a1＋a3＋a5＝8≠a6－1，故C错误．
对于D，cn＝a，4(cn－cn－1)＝4×(a－a)＝π(an－an－1)·(an＋an－1)＝πan－2·an＋1，故D正确．
二、填空题
5．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋__k＋1__．
[解析]　当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k＋1个区域．
6．用数学归纳法证明·…>(k>1)，则当n＝k＋1时，在n＝k时的左端应乘上__…__，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__2k－1__．
[解析]　因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有 ＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．
三、解答题
7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析]　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
当n＝1时，a2＝＝＝；
当n＝2时，a3＝＝＝；
当n＝3时，a4＝＝＝；
所以a2＝，a3＝＝，a4＝，
猜测 an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，＝1，
所以a1＝1，所以n＝1时，等式成立；
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
则ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1时，等式成立．
综合①和②可知，对于任意的n∈N*，an＝均成立．
8．用数学归纳法证明对一切n∈N*，1＋＋＋…＋≥.
[解析]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋≥，
则当n＝k＋1时，
要证1＋＋＋…＋＋≥，
只需证＋≥.
因为－
＝－
＝
＝≤0，
所以＋≥，
即1＋＋＋…＋＋≥，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．