新教材2023年高中数学第四章数列检测题新人教A版选择性必修第二册

这是一份新教材2023年高中数学第四章数列检测题新人教A版选择性必修第二册，共10页。
第四章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列2，3，，，2，…，则12是它的(　B　)
A．第28项　　 B．第29项
C．第30项　　 D．第31项
[解析]　将数列变为，，，，，…，因为12＝，所以是数列的第29项．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　D　)
A．2　　 B．1
C．－1　　 D．－2
[解析]　因为S3＝＝＝6，所以a1＝4，所以2d＝－4，d＝－2.
3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　B　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．　　 D．2
[解析]　由已知得：a1q2＝1，a1q＋a1q3＝，
∴＝，q2－q＋1＝0，∴q＝或q＝2(舍)，
∴a1＝4.
4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　C　)
A．18　　 B．24
C．60　　 D．90
[解析]　由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，
即2a1＋3d＝0.①
又S8＝8a1＋d＝32，则2a1＋7d＝8.②
由①②，得d＝2，a1＝－3.
所以S10＝10a1＋d＝60.故选C．
5．等比数列{an}满足a2＋8a5＝0，设Sn是数列的前n项和，则＝(　A　)
A．－11　　 B．－8
C．5　　 D．11
[解析]　由a2＋8a5＝0得a1q＋8a1q4＝0，解得q＝－.易知是等比数列，公比为－2，首项为，所以S2＝＝－，S5＝＝，所以＝－11，故选A．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为(　B　)
A．钱　　 B．钱
C．钱　　 D．钱
[解析]　依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则由题意可知，
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，
∴a＝1，
则a－2d＝a－2×＝a＝.故选B．
7．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝(　B　)
A．1　　 B．8
C．4　　 D．2
[解析]　设{an}的公差为d，则由条件式可得，
(a7－3d)－2a＋3(a7＋d)＝0，
解得a7＝2或a7＝0(舍去)．
∴b3b8b10＝b＝a＝8.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则a＋a＋…＋a＝(　C　)
A．4(2n－1)2　　 B．4(2n－1＋1)2
C．　　 D．
[解析]　∵当n＝1时，a1＝2，当n>1时，an＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，
∴a＝22n＝4n，∴{a}的首项a＝4，公比q＝4，a＋a＋…＋a＝＝.故选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知数列{an}是等差数列，若a1＝3，a2，a5－3，a6＋6成等比数列，则数列{an}的公差为(　BD　)
A．－3　　 B．3
C．2　　 D．－
[解析]　依题意设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝3，a2，a5－3，a6＋6成等比数列，
所以(a5－3)2＝a2×(a6＋6)，
即(3＋4d－3)2＝(3＋d)(3＋5d＋6)
所以11d2－24d－27＝0，
即(11d＋9)(d－3)＝0，
所以d＝3或－.
10．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值为(　AC　)
A．1　　 B．－
C．　　 D．－1
[解析]　因为数列{an}是等差数列，
所以设数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，
则a2n＝a1＋(2n－1)d，
所以＝，
因为是一个与n无关的常数，
所以a1－d＝0或d＝0，
所以可能是或1.
11．若数列{an}对任意n≥2(n∈N)满足(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，下面选项中关于数列{an}的命题正确的是(　ABD　)
A．{an}可以是等差数列
B．{an}可以是等比数列
C．{an}可以既是等差数列又是等比数列
D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列
[解析]　因为(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，所以an－an－1－2＝0或an－2an－1＝0，
即an－an－1＝2或an＝2an－1.
若对∀n≥2，都有an－an－1＝2，则{an}为以a1为首项2为公差的等差数列，A对；
若对∀n≥2都有an＝2an－1，则{an}为以a1为首项2为公比的等比数列，B对；若对∀n≥2部分满足an＝2an－1，部分满足an－an－1＝2，此时{an}既不是等比数列，也不是等差数列，D对．
既是等比数列又是等差数列只有常数列，而{an}显然不是常数列，C错，故选ABD．
12．若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　CD　)
A．an＝3n　　 B．an＝n2＋1
C．an＝　　 D．an＝ln
[解析]　对A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，
所以{an＋1－an}不为递减数列，故A不符合题意；
对B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B不符合题意；
对C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，
所以{an＋1－an}为递减数列，故C符合题意；
对D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，
由函数y＝ln在(0，＋∞)上递减，知数列{an＋1－an}为递减数列，故D符合题意．故选CD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．公差为2的等差数列{an}中，a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前10项和为__170__．
[解析]　由题意，(a1＋4)2＝a1(a1＋10)，
解得a1＝8，所以S10＝8×10＋×2＝170.
14．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于__3__．
[解析]　在等比数列{an}中，
因为a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，
所以a4－a3＝2S3＋1－(2S2＋1)
＝2(S3－S2)＝2a3，
所以a4＝3a3，所以q＝＝3.
15．数列{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝____．
[解析]　依题意，得＝＝＝.
16．定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积．已知数列{an}是a1＝2，公积为－6的等积数列，则a3＝__2__；数列{an}的前n项和Sn＝____．
[解析]　因为数列{an}是等积数列，且a1＝2，公积为－6，
所以a2＝－3，a3＝2，a4＝－3，…，
所以前n项的和Sn＝2＋(－3)＋2＋(－3)＋….
若n＝2k(k∈N*)，则有k个2，k个－3，
所以S2k＝2k－3k＝－k，得到当n为偶数时，Sn＝－；
若n＝2k＋1(k∈N*)，有(k＋1)个2，k个－3，
所以S2k＋1＝2(k＋1)－3k＝－k＋2，
得到当n为奇数时，Sn＝－.
所以Sn＝
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
[解析]　设{an}的公差为d，则
，
即，
解得，或.
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
18．(本小题满分12分)(2021·山东卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
[解析]　(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5，
又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2(k∈N*) ，
故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3，
所以{bn}为等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
(2)设{an}的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，
因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，
所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)－10
＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10＝2×－10＝300.
19．(本小题满分12分)某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为an万元．
(1)写出数列{an}的前三项a1，a2，a3，并猜想写出通项an(不要求证明)；
(2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．
[解析]　(1)依题意a1＝103×－100＝1 150，
a2＝a1×－100＝103×－100×＝1 337.5，
a3＝a2×－100＝103×－100×＝1 571.875.
猜想an＝103×－100×
＝103×－100×＝600×＋400.
(2)由an≥2 000，得600×＋400≥2 000，
∴≥.
∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递增，，∴n≥5.
答：经过5年后，该项目的资金超过2千万元．
20．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，2Sn＋3＝an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且T1＝a1，T3＝a3，求数列的前n项和Qn.
[解析]　(1)当n＝1时，a2＝9，
由2Sn＋3＝an＋1得2Sn－1＋3＝an(n≥2)，
两式相减得2(Sn－Sn－1)＝an＋1－an，
又Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，
所以an＋1＝3an(n∈N*)，
显然an≠0，＝3，即数列{an}是首项为3、公比为3的等比数列，所以an＝3×3n－1＝3n.
(2)设数列{bn}的公差为d，则有b1＝3，
由T3＝a3得3b1＋3d＝27，解得d＝6，
所以bn＝3＋6(n－1)＝3(2n－1)，
又＝＝
所以Qn＝＋＋…
＋
＝＝.
21．(本小题满分12分)从①b1＋b2＝5a2，②a3＝b2－1，③S3＝4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－Sn－1－(Sn－1－Sn－2)＝2，b1＝1，bn＝(an＋1－an)n，且__________，求数列{anbn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析]　因为Sn－Sn－1－(Sn－1－Sn－2)＝2，
所以当n≥3时，an－an－1＝2.
所以bn＝(an＋1－an)n＝
若选择①，
由b1＋b2＝5＝5a2，得a2＝1，
又b1＝1＝a2－a1，所以a1＝0，
所以an＝
所以当n≥2时，Tn＝0×1＋1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n，
2Tn＝0×21＋1×23＋3×24＋…＋(2n－3)·2n＋1，
以上两式相减得
－Tn＝1×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－3)·2n＋1＝－(2n－5)·2n＋1－12，
所以当n≥2时，Tn＝(2n－5)·2n＋1＋12，
所以Tn＝
若选择②，
因为a3＝b2－1＝3，所以a2＝a3－2＝1.
又b1＝1＝a2－a1，所以a1＝0.
所以an＝
所以当n≥2时，Tn＝0×1＋1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n，
2Tn＝0×21＋1×23＋3×24＋…＋(2n－3)·2n＋1，
以上两式相减得
－Tn＝1×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－3)·2n＋1＝－(2n－5)·2n＋1－12，
所以当n≥2时，Tn＝(2n－5)·2n＋1＋12，
所以Tn＝
若选择③.
因为S3＝4，所以a1＋a2＋a3＝a1＋2a2＋2＝4，
又b1＝1＝a2－a1，所以a1＝0，a2＝1.
所以an＝
所以当n≥2时，Tn＝0×1＋1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n，
2Tn＝0×21＋1×23＋3×24＋…＋(2n－3)·2n＋1，
以上两式相减得
－Tn＝1×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n－3)·2n＋1＝－(2n－5)·2n＋1－12，
所以当n≥2时，Tn＝(2n－5)·2n＋1＋12，
所以Tn＝.
22．(本小题满分12分)已知数列{an}，{bn}满足：a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝.
(1)求b1，b2，b3，b4；
(2)猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明；
(3)若Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，且4aSn