高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第五章　5.3　5.3.3　

A组·素养自测
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　C　)
A．8　　 B．　　
C．－1　　 D．－8
[解析]　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0，5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．已知函数f(x)＝－mx(e为自然对数的底数)，若f(x)0，则m>g(x)min，g′(x)＝，则当0.
3．已知圆柱的表面积为定值S，则当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh.
所以h＝.又圆柱的体积V(r)＝πr2h＝(S－2πr2)＝.
而V′(r)＝，而V′(r)＝0，得S＝6πr2，得h＝2r，
又r＝，所以h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，
圆柱的高h为.
4．(2022·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(　D　)
A． cm　　 B． cm
C． cm　　 D． cm
[解析]　设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，令g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由a>b>0，可得g(a)>g(b)，即>，所以bf(a)>af(b)，故D正确；
因为xf ′(x)>f(x)>0，令h(x)＝xf(x)，则h′(x)＝xf ′(x)＋f(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，由a>b>0，可得h(a)>h(b)，即af(a)>bf(b)，故A正确．
3．(多选题)已知不等式(x－2)ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为(　AB　)
A．－4　　 B．－3
C．－2　　 D．－1
[解析]　令f(x)＝(x－2)ex，则f ′(x)＝(x－1)ex，易得当x>1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x0在[1，e]上有解，即ax－2ln x>0在[1，e]上有解，所以a>.
设y＝，则y′＝≥0，
所以ymin＝0，故得a>0.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝ex－x2－1，若f(x)≥kx对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则实数k的取值范围为__(－∞，e－2]__．
[解析]　f(x)≥kx对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于≥k对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．
令φ(x)＝，x>0，
则φ′(x)＝
＝，
当x∈(0，＋∞)时，ex－x－1>0恒成立，
令φ′(x)>0，得x>1；
令φ′(x)0所以f ′(x)>0，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝1.
(2)f(x)在(0，＋∞)上有两个零点⇔方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上有两个根⇔a＝在(0，＋∞)上有两个根，即函数y＝a与G(x)＝的图象在(0，＋∞)上有两个交点．G′(x)＝，当x∈(0，2)时，G′(x)0，G(x)在(2，＋∞)上递增，
所以G(x)的最小值为G(2)＝，
当x→0时，G(x)→＋∞，当x→＋∞时，G(x)→＋∞，所以f(x)在(0，＋∞)上有两个零点时，a的取值范围是.