高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　6.1

A组·素养自测
一、选择题
1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(　C　)
A．182 B．14
C．48 D．91
[解析]　由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C．
2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(　A　)
A．4种 B．5种
C．6种 D．7种
[解析]　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．
3．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　B　)
A．9 B．14
C．15 D．21
[解析]　因为P⊆Q，所以分两类．当x＝2时，y∈{3，4，5，6，7，8，9}，所以点的个数为7；当x≠2时，x＝y∈{3，4，5，6，7，8，9}，所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个．
4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(　B　)
A．8种 B．10种
C．12种 D．16种
[解析]　首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．
综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．
5．(多选)下列说法正确的是(　ABD　)
A．“将2封信随意投入4个邮箱，求不同投法有多少种”是一个分步乘法计数问题
B．“在1，2，…，200中，求能够被5整除的数的个数”是一个分类加法计数问题
C．某一数学问题有两种解法，有4名同学只会第一种解法，有3名同学只会第二种解法，从这些同学中任选1人解答这个问题，不同的选法有12种
D．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有36个
[解析]　对于选项A，2封信需分2步随意投入4个邮箱，只有当2步都完成才算完成，是一个分步乘法计数问题，故A正确；对于选项B，能够被5整除的数可分成末位数字是0和5两类，是一个分类加法计数问题，故B正确；对于选项C，由分类加法计数原理，共有4＋3＝7种选法，故C错误；对于选项D，∵a，b互不相等且a＋bi为虚数，∴b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个，有6种选法，a从剩余的6个中选一个，也有6种选法，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36个，故D正确．故选ABD．
二、填空题
6．(2022·合肥一中月考)有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有_8__种．
[解析]　要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选派方法．根据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．
7．(2022·辽宁大连高三二模)甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有_72__种．
[解析]　由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的3个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即有8－2＝6种选择，∴所求方法数为4×3×6＝72.
8．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有_96__种．(用数字作答)

[解析]　根据题意，假设正五角星的区域依次为A，B，C，D，E，F，如图所示．

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B，C，D，E，F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96(种)涂色方案．
三、解答题
9．在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的偶数有多少个？
[解析]　(方法一：分类列表法)由题意知个位数字可取2，4，6，8，按个位数字分成4个类别，列表如下：
个位数字
2
4
6
8
十位数字
1
3，2，1
5，4，3，2，1
7，…，1
两位数个数
1
3
5
7
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为1＋3＋5＋7＝16.
(方法二：列举法)将个位数字比十位数字大的偶数一一列出：
12，14，16，18，24，26，28，34，36，38，46，48，56，58，68，78.共有16个．
10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
[解析]　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；
第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．
(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．
B组·素养提升
一、选择题
1．(2022·河北邢台第八中学高二期末)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　B　)
A．243 B．252
C．261 D．279
[解析]　由分步乘法计数原理知，用0，1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，因此组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
2．(2022·河南郑州一中高二检测)安排高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，去哪个工厂可以自由选择，但必须有一个班级去甲工厂，则不同的方案有(　B　)
A．48种 B．37种
C．18种 D．16种
[解析]　高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有43种方法，若甲工厂没有班级去，则有33种方法，所以不同的方案有43－33＝37种．
3．(2022·四川成都七中高三开学考试)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用5种颜色给A，B，C，D，E五个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则A，C区域涂色不相同的概率为(　D　)

A． B．
C． D．
[解析]　分4步进行分析：
第1步，对于A区域有5种颜色可选；
第2步，因为B区域与A区域相邻，所以有4种颜色可选；
第3步，对于E区域，因为与A，B区域相邻，所以有3种颜色可选；
第4步，对于D，C区域，若D与B颜色相同，则C区域有3种颜色可选；
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D，C共有3＋2×2＝7种选择．
综上，不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A，C区域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2＝240种．
所以A，C区域涂色不相同的概率为P＝＝.
4．(多选)(2022·北京第六十六中学高二上期中)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　BD　)
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
[解析]　由于生物在B层，只有第2，3 节有，故分两类：
若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；
若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
二、填空题
5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法_242__种．
[解析]　取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；
取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；
取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．
6．(2022·湖南长沙高三模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有_48__种．(用数字作答)

[解析]　根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48种不同的游览线路．
7．(2022·辽宁沈阳高三期末)中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为_16__.

[解析]　根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.
数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；
数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数．
综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．
三、解答题
8.4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？
[解析]　将该问题转化为“用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分步乘法计数原理可得不同的分配方法为3×3＝9种．
9．如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
A
B
C
D
E
[解析]　先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48(种)；
②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48(种)；综上所述，共有96种种植方法．
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