人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第六章　6.2　习题课

A组·素养自测
一、选择题
1．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有(　C　)
A．48种 B．24种
C．60种 D．120种
[解析]　五门课程随意安排有A种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有A＝60(种)．
2．(2022·嘉兴一中月考)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　D　)
A．56 B．54
C．53 D．52
[解析]　在8个数中任取2个不同的数可以组成A＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
3．上午要上语文、数学、体育和英语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是(　B　)
A．24 B．12
C．20 D．22
[解析]　由题意，先排体育课，在第二、三节中安排体育课，有A＝2种排法，再将语文、数学、英语排在剩下的3节课中，有A＝6种排法，由分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12种不同的排法．
4．(2022·重庆渝中区高三检测)在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有(　　)种．(　B　)
A．12 B．14
C．16 D．18
[解析]　根据题意，分两种情况讨论：①甲在2道的安排方法有6种；②甲不在2道，则甲只能在3或4道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙、丁安排在剩下的2个道中，所以甲不在2道的分配方案有2×2×A＝8种．因此共有6＋8＝14种方案．(也可以按乙在1道和乙不在1道进行分类讨论、解法基本相同．)
5．(多选)用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有(　AB　)
A．AA个 B．AA个
C．AA个 D．2AA个
[解析]　解法一：确定最高位有A种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A·A＝300(个)．
解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有A·A＝300(个)．
二、填空题
6．用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1，2相邻，这样的六位数的个数是_40__.
[解析]　可分为三步来完成这件事：
第一步：先将3，5进行排列，共有A种排法；
第二步：再将4，6插空排列，共有2A种排法；
第三步：将1，2放入3，5，4，6形成的空中，共有A种排法；
由分步乘法计数原理得，共有2AAA＝40种不同的排法．
7．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_96__.
[解析]　先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
8．某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有_24__种．(用数字作答)
[解析]　将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A＝24种．
三、解答题
9．某班有A，B，C等7名班委，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两个职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两个职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
[解析]　(1)从A，B，C三人中任选两人担任正、副班长，有A种方法，再安排其余5种职务，有A种方法，根据分步乘法计数原理知，共有AA＝720种分工方案．
(2)7人担任7种职务的分工方案有A种，A，B，C三人中无一人担任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A－AA＝3 600(种)．
10.5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)教师站在4名学生中间；
(2)2名女生必须相邻；
(3)2名男生互不相邻；
(4)教师不站中间，女生不站两端．
[解析]　(1)由题意，得教师站在4名学生中间的不同站法有A＝24(种)．
(2)由题意，得2名女生站在一起有A种站法，将2名女生视为一个元素与其余3人全排列，有A种站法．
所以不同的站法有AA＝48(种)．
(3)先站女生和教师，有A种站法，再在教师和女生之间及两端的4个空隙中插入男生，不同的站法有A种．
所以不同的站法共有AA＝72(种)．
(4)分两类：①教师站两端之一，另一端站男生，有AAA种站法；
②两端全站男生，教师站除两端和正中间外的另外两个位置之一，有AAA种站法．
所以不同的站法共有AAA＋AAA＝32(种)．
B组·素养提升
一、选择题
1．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　A　)
A．A种 B．AA种
C．8A种 D．A种
[解析]　将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A种．
2．有4本不同的书A，B，C，D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A，B不能分给同一人，则这样的分法共有(　C　)
A．18种 B．24种
C．30种 D．36种
[解析]　4本不同的书分给三个同学，共有6A＝36，书A，B分给同一人有A＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．
3．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(　B　)
A．48 B．36
C．30 D．24
[解析]　将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法，而A，B，C 3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2A种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有AA－2A＝36(种)．
4．(多选)A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　BCD　)
A．若A，B两人站在一起有24种排法
B．若A，B不相邻共有72种排法
C．若A在B左边有60种排法
D．若A不站在最左端，B不站在最右端，有78种排法
[解析]　对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知共有AA＝48(种)排法，所以A不正确；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有AA＝72(种)排法，所以B正确；
对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有A＝60(种)，所以C正确；
对于D，分两种情况：一种是若A站在最右端，则剩下的4人全排列有A种，另一种是A不在最左端也不在最右端，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右端外的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知共有A＋AAA＝78(种)排法，所以D正确．故选BCD．
二、填空题
5.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_576__.
[解析]　“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A－AA＝576.
6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是___.

[解析]　6个数任意填入6个小正方形中有A＝720种方法；将6个数分三组(1，6)，(2，5)，(3，4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A×2×2×2＝48种，故所求概率P＝＝.
三、解答题
7．用0，1，2，3，4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
[解析]　(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．
(2)解法一：先排万位，从1，2，3，4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，
故共有A·A＝96(个)．
解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，
故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A，其余任排有A，故有2A·A种．
②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A，所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
8.4名男同学和3名女同学站成一排．
(1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种不同的排法？
(2)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法？
(3)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
(4)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有多少种不同的排法？ (3名女生身高互不相等)
[解析]　(1)7名同学的所有排法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，所以甲、乙、丙排序一定的排法有＝840(种)．
(2)先排甲、乙两名同学，有A种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、乙两名同学中间，有A种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行全排列，有A种排法，故不同的排法共有AAA＝720(种)．
(3)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有A种排法，故不同的排法共有AAA＝960(种)．
(4)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A种排法，然后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有A×1＝840(种)．